H ( -■ ) ^ , ©'(CO

H ( 2 (.0 ) H'( o ) / u rr- /Vi -I- (.)

L'équation ,

('1 = const.

définira une famille de courbes planes isothermes. Faisons correspondre à chaque courbe [v\)la droite définie par V équation

( 47 ) e ' , ® (w) e ( co -t- /('i ) ( ,r j -f- iyx ) = e ' © («J 6 ( to — 7V1 ) ( ./'i — iyi ).

Faisons rouler le plan qui contient les courbes sur un cône quelconque ayant pour sommet Vorigine des coordonnées. Alors la courbe ((^"i), qui. dans chaque position du plan, corres-

pond à la génératrice de contact du plan et du cône, engendre précisément la surface cherchée.

On peut établir, à l'aide de considérations géométriques directes, une partie des résultats précédents; montrer, en particulier, pourquoi la solution obtenue contient une fonction arbitraire et pourquoi cette fonction arbitraire tient si peu de place dans le développement de la solution. Reportons-nous à la génération de toute surface à lignes de courbure planes au moyen de tr<jis développables (D). (D,) et (A). Si l'on transforme par flexion la développable (D) en un plan (P), les lignes de courbure constitueront sur ce plan (P) un réseau orthogonal. Soit c le paramètre des lignes de courbure planes, dont la forme n'aura pas changé, et u le paramétre des lignes de seconde courbure. L élément linéraire du plan sera de la forme

et, d'après la proposition du n" 998, celui de la surface sera déterminé par la formule

ds- — A- du- -1- C- ( I -H V- ) df---.

OÙ V désigne une fonction de v. qui n'est autre que la tangente de l'angle <p défini au n° 999. La condition d'isothermie se traduisant par une équation de la forme

on voit immédiatement qu'elle est indépendante de la fonction V . Ainsi :

Lorsqu'une sur/ace à lignes de courbure planes sera isothermique, la m.ême propriété devra appartenir à toutes les surfaces à lignes de courbure planes que l'on en peut dériver par la flexion de la développable (D).

1018. Dans tout ce qui précède, nous avons étudié seulement le cas le plus général. Les calculs se trouveraient en défaut, par exemple, si l'on envisageait ce cas particulier de l'équation de