CHAPITRE

SURFACES A LIOES DE COCRBURE SPHÉRIQUES.

Les surfaces à ligaes de courbure sphériques dans un système correspondent à des équations aux dérivées partielles à invariants égaux qui sont du premier, du second ou du troisième rang. — Méthode directe de recherche. — Étant donnée une surface à lignes de courbure sphériques (l), il existe une infinité de surfaces (21^) de même définition, dépendant d'une fonction arbitraire et admettant la même représentation sphérique. — ThéoFème de M. Blutel. — Construction géométrique des surfaces (£,). — Comment on peut, sans aucune intégration, déduire toutes les surfaces à ligues de courbure sphériques des surfaces à lignes de courbure planes. — Propriétés diverses : en appliquant des inversions convenablement choisies à chaque ligne de courbure sphérique de la surface, on peut les placer toutes sur une même développable isotrope. — Définition de la rotation autour dun cercle; proposition qui rapproche les surfaces à ligues de courbure sphériques des surfaces à lignes de courbure planes.

— Des surfaces dont toutes les lignes de courbure sont planes ou sphériques.

— Leur détermination se ramène à la solution de l'équation fonctionnelle

— Résultat : toutes les surfaces cherchées dérivent simplement, soit du cône, soit de la surface dont les normales sont tangentes à un cône.

1019. Si nous poursuivions l'application de la méthode développée dans le Chapitre VIII de ce Livre, nous obtiendrions une suite illimitée de surfaces, déterminées sans aucun signe de quadrature, et pour lesquelles on saurait résoudre d'une manière complète le problème de la représentation sphérique. Les surfaces à lignes de courbure planes correspondent, nous l'avons vu (n"" 996), à des équations aux dérivées partielles du premier ou du second rang. Nous allons terminer cette étude en montrant de même que les surfaces à lignes de courbure sphériques correspondent à des équations aux dérivées partielles du premier, du deuxième ou du troisième rang.

24o LIVRE VIII. — CHAPITRE XI.

Nous commencerons par la remarque suivante :

LorsqiC une ligne de courbure est sphérique. la développable circonscrite à la surface suivant cette ligne de courbure doit aussi être circonscrite à une sphère; et, réciproquement, si cette développable est circonscrite à une sphère, la ligne de courbure est sphérique.

En effet, d'après le théorème de Joachimsthal, tous les plans tangents aux divers points d'une ligne de courbure située sur une sphère (S) coupent celte sphère sous un angle constant et, par suite, sont tangents à une sphère (S') concentrique à (S). Inversement, si tous les plans tangents en tous les points d'une ligne de courbure (C) sont tangents à une sphère, soit (C) la courbe de contact : on connaîtra deux lignes de courbure, ((1) et (C), de la développable enveloppée par ces plans tangents; et comme (C) est sur une sphère, (C) sera sur une autre sphère concentrique à la précédente ( ' ).

i02(). Appliquons cette remarque à la détermination de toutes les surfaces pour lesquelles les lignes de courbure de l'un des systèmes, que nous appellerons dans la suite les lignes de première courbure, sont toutes sphériques. Il suffira évidemment d'exprimer qu'en chaque point d'une telle ligne le plan tangent à la surface est circonscrit à une sphère, qui variera d'ailleurs lorsqu'on changera de ligne de courbure.

Soit toujours X le paramètre des lignes de première courbure. Le plan tangent à la surface cherchée, défini par l'équation

(l) (a-HP)X + /(.3 — a)Y + (a,3 — i)Z+ ? = o,

devra, entons les points d'une ligne de courbure, être tangent à une sphère (S'). Soient x\^, x\, x,, x'.. les coordonnées carté-

(') A propos du tliéorènie de Joachimsthal, nous signalerons la réciproque suivante dont le lecteur trouvera la démonstration :

Si les sphères assujetties à contenir trois points consécutifs d'une ligne de courbure et, de plus, à être tangentes à la surface au point où elles touchent la ligne de courbure coupent toutes une sphère (S) sous un angle constant, la ligne de courbure est sphérique et située sur la sphère (S).

siennes du centre et le rayon de (S'). Ce sont quatre fonctions de a: que nous supposerons données. En traduisant analjtiquement la propriété qui nous sert de définition, on aura

Changeant un peu les notations, nous écrirons cette condition comme il suit

"> ) 2t3.ro -*- 2.ri -t- 3.r; -+- .r-.-. -f- ^ ^= o,

7 ,. a, , x-î. x.i étant toujours des fonctions de x.

Différentions par rapport à j' : en remplaçant — ^ par sa valeur

déduite des équations ( 7 i [p. 199]. -j-- ^^^'^ ®^ facteur^ et il

viendra. /) et o désignant --» v

( 3 ) 3 ./o -t- -Il -*- p = w- ( a .r„ -h .r^ -+- ^ 1.

Uiiterenlions encore par rapport a r et remplaçons -f-i -y- par

leurs valeurs (7) [p. 199]. II viendra, en supprimant le facteur 2&>,

ÛM ( >)x f)q \

-T- ( 2 .ro -I- J--. -+- V ) -t- to I ./■„ -- ^ -J- \ — o.

f)y ' \ ôy ()y I

Cette équation s'intègre à vue et nous donue ' 4 I .ro^io -H ./.:CJ — «yw =^ .C\.

X , désignant une nouvelle fonction de x. La relation précédente s'obtiendrait aussi en exprimant que la ligne de courbure est sur une sphère concentrique à (Si.

1021. Si nous remarquons que oj, ^co et aw sont trois solutions particulières d'une même équation à invariants égaux, nous voyons que l'on retrouve ici. sous une forme un peu plus générale, un problème déjà rencontré pour les lignes de courbure planes et dont nous allons dire quelques mots.

Lorsque, pour une équation à invariants égaux, la suite de

Laplace se termine, l'équation admet une solution de la forme