AX^ A,\ -^...^X

DARBOrX. — IV. 16

de sorte que, si l'on prend ^ + i solutions ^, , z.,^ ..., Sj+i , correspondantes aux déterminations Xi, ..., Xj+i de X, elles vérifient identiquement la relation linéaire

dont les coefficients sont fonctions de la seule variable js. Mais, réciproquement, si l'on a une relation de cette forme entre des solutions particulières au nombre de i-\-i, peut-on en conclure que l'équation sera intégrable et de rang au plus égala «'+ i? C'est la question que nous allons examiner pour le cas où i est égal à 2. Suivons la même marche que pour les surfaces à lignes de courbure planes. Pour plus de netteté, posons

ato = ^1,

(-/ Cl) = ^îj ;

la relation (4) prendra la forme

(6) z-i — X,, — .r-j, 0) — XoZi.

Soit

à'-z âx dy

l'équation dont co, z^^ Zo sont trois solutions particulières. Si l'on j substitue la valeur précédente de z^, on trouvera, en supposant, comme il est permis, jcq différent de zéro.

X'o ÛM

x'o dy

ou, plus simplement,

()Zi j àto

ày dy

Xi et x% désignant de nouvelles fonctions de x. DifTérentions par rapport à x^ et remplaçons les dérivées secondes de x;, et de w par leurs valeurs déduites de l'équation (7), dont elles sont des solu-

lions parliculières. Il viendra

àk 1 . , , «'M

dx dy

ou. en supposant A ditïerent de zéro,

d\o"k , , I di'i

'/./ A' oy

Pour éliminer ^, substituons la valeur précédenle dans l'équation (8). En posant

à-\o"k , Xs

t/x </)' Xt.

on trouvera

C^ / I 6>tO \ ,

^'^^ Ty\kT,)-^^^--

et celle condition contient Tunique solution particulière co.

Pour l'éliminer enfin, différentions les deux membres par rapport à x. Nous aurons

d ( I d\o^k fk->\ , , f)ki

àvii I à-\o^k ài-> ()]o«:k "^ / i '^wX , Jki

ày ou encore

ày k àx ày ày àx ày\k ày / <' ' âx

En lenant compte des formules (lo) et (12) et supposant /. 1 ditïerent de zéro, il vient

( 1 3 i ^- = kx- -f- A .^7 2

Il ne reste plus qu à substituer celte valeur de y- dans 1 équation (12) pour obtenir la relation

, àAo'^kki

'.>4.» kl --^-^ — =0.

ax oy

qui constitue une équation aux dérivées partielles du quatrième ordre à laquelle devra satisfaire la fonction A. Mais, si l'on se reporte aux formules qui relient les invariants dans une suite de Laplace ( n" 331), on reconnaît immédiatement que l'équation (i4)

244 LIVRE Vin. — CHAPITRE XI.

est la condilion nécessaire et suffisante pour que la solution générale de l'équation (7) soit de rang égal à trois.

Gomme, dans la suite des calculs, nous avons écarté l'hypothèse où l'une ou l'autre des fonctions A, k^ serait nulle, on voit bien que toutes les surfaces à lignes de courbure sphériques seront fournies par les équations aux dérivées partielles des trois premiers rangs. Mais comme, pour l'équation du premier rang, les lignes de courbure des surfaces correspondantes sont toutes planes, elles ne pourront être sphériques sans être circulaires.

En différentiant l'équation (i3) par rapport à ^, on trouve

ï àJil éc^'-'"''''^]^

et il est clair, par suite de la symétrie de la relation (6 ), qui nous a servi de point de départ, relativement aux trois solutions particulières ^1, ^2 et 0), que atji et ^w seront définis par des formules toutes semblables à la précédente, mais où x-^ devra être remplacé par d'autres fonctions, d'ailleurs arbitraires de x. En développant les calculs, on trouvera

(16) co = x-; -t- x', 4- loïï k'- kl -^ 7 X-, f- (' A-

âx ^ k ' ()x \ àx

C'est la partie de la solution générale qui contient une fonction arbitraire de x; l'autre s'obtiendrait en changeant x en 1' et remplaçant la fonction arbitraire de x par une fonction arbitraire de y.

Nous avons maintenant tous les éléments nécessaires pour poursuivre la recherche. En continuant et étendant jusqu'au troisième rang les calculs qui terminent le Chapitre VII de ce Livre, nous obtiendrons, sans aucun signe de quadrature, les équations qui définissent les surfaces cherchées. ISous avons même donné au n" 994 les éléments nécessaires pour écrire immédiatement la valeur de 00. Mais ici encore, au lieu de poursuivre la solution analytique, nous préférons revenir à la Géométrie en nous appuyant sur un théorème dû à M. Blutel ( ' ).

(•) E. Blutel, Suj' les surfaces qui admettent un système de lignes de courbure sphériques et qui ont même représentation sphéricjue pour leurs lignes de courbure {Comptes rendus, t. CXVI, p. 2^9; 1898).

1022. Etant donnée une surface (i) à lignes de courbure sphériques dans un système, nous allons montrer tout d'abord qu'il existe une infinité de surfaces de même définition, et admettant par surcroît la même représentation sphérique que ( — ).

Désignons, en effet, para, ft, c, r, h des fonctions du paramètre a des lignes de première courbure de (2), par x, y, z les coordonnées d'un point de (2), par v, -/, v" les cosinus directeurs de la normale en ce point. D'après le théorème de Joachimsthal. on aura les deux équations

Y 1 jr — a 1 — -•

'i y — 6 » -+- -''i :: — c) = hr.

dont la première exprime que la ligne de courbure de la surface se trouve sur une sphère (S) de centre ( </. b, c) et de rayon r; la seconde exprime, conformément au théorème de Joachimsthal, que le plan tangent à la surface en chaque point de la ligne de courbure coupe la sphère (S i sous un angle constant, dont le cosinus est h. Si 1 on pouvait éliminer le paramétre x entre ces deux équations, on serait conduit à une équation aux dérivées partielles propre à définir toutes les surfaces (i). On peut traiter cette équation par les procédés réguliers; nous nous bornerons ici à remarquer que ses caractéristiques sont les lignes de courbure du second système.

En effet, pour déterminer toutes les surfaces vérifiant Téquation et passant par un point AI de l'espace, il faut d'abord exprimer que la sphère (S), définie par l'équation (17), passe par ce point; et cette condition fait connaître une ou plusieurs valeurs de oc. Prenons une des sphères ( S^ qui passent en M : les plans tangents aux surfaces correspondantes, devant couper cette sphère sous un angle constant, envelopperont un cône de révolution dont l'axe sera le rayon de (S ) qui passe au point M. Or les caractéristiques de l'équation aux dérivées partielles, étant par définition les courbes tangentes aux génératrices rectilignes de ce cône, auront évidemment mêmes tangentes en M que les lignes de seconde courbure, et, par suite, se confondront avec ces lignes, puisque le raisonnement s'applique à tout point de chaque surface (i^.

1023. S'il existe une surface (^o) de même définition que ( — ) et

24fi LIVRE VIII. — CHAPITRE XI.

admettant la même représentalion sphérique, y, y', y* auront les mêmes valeurs aux points correspondants des deux surfaces. La surface (i) sera donc définie par les équations telles que les suivantes

(19) (x'o— «o)--^ (vo—boy^ (^0 — co)2 = /•;-;,

OÙ a7o, JKo, ^0 désignent les coordonnées du point de la surface et où «0, 60, ('i,. To, h^) sont des fonctions de a comme a, b, c, r, A. La première équation représente la sphère (Sq) qui contient la ligne de première courbure de (^o)j et la seconde exprime que le plan tangent coupe (So) sous un angle de cosinus A„. Si nous désignons par G, Co les centres des deux sphères (S), (S,,); par M, Mo deux points correspondants des surfaces (D), (^o), pris respectivement sur les sphères (S), (So), il est clair que les normales, parallèles, en ces deux points et les deux rayons CM, C,iMo sont parallèles à un même plan, à celui qui est normal en M, par exemple, à la ligne de courbure sphérique de (H). En traduisant analjtiquemenl cette propriété, on obtiendra les relations suivantes

!.r() — «1, = À ( ,/• — rt ) -t- tjL-; . j'o — />o = X(.r — 6) -H uy'.

-d — Co = À ( s — c) -h uv",

OÙ X et |JL sont deux fonctions auxiliaires que l'on déterminera en substituant dans les équations (19) et (20) les valeurs précédentes de sco—ao-, fo—bo, Zo — Co.

On a ainsi les deux équations

d'où l'on déduit