Dans les rapides indications que nous avons données

DÉFORMATION INFINIMENT PETITE. PREMIERE SOLUTION. i5

[I, p. 419-42*] sur les congruences isotropes, nous avons signalé une propriété de ces congruences. à savoir que les surfaces réglées élémentaires contenant une droite quelconque de la congruence ont toutes, pour cette droite, le même point central et le même paramètre de distribution; d'où il résulte que la surf ace moyenne (lieu du milieu du segment focal) contient les lignes de striction de toutes les surfaces réglées formées avec des droites de la congruence. Or il est très aisé de montrer que cette surface moyenne est ici la surface (S| ).

En effet, si l'on considère, d'une manière générale une surface réglée engendrée par une droite dont les cosinus directeurs seront désignés par x. Y' ~-i il est évident que dx, dy, dz sont les paramètres directeurs de la normale au plan central, puisque cette normale, perpendiculaire à la génératrice, est, en même temps, parallèle au plan tangent à l'infini. Donc si a:,, ri, -^4 sont les coordonnées d'un point de la ligne de striction, on a

dxdxi -+- dydy'i -h dzdzi=^ o,

en tous les points de cette ligne et seulement en ces points. Cette relation étant identique à l'équation (i5) et se trouvant vérifiée pour chaque point de la surface moyenne, il en résulte la propriété annoncée. On peut donc énoncer la proposition suivante, qui est due à Ribaucour ( ' ) :

Pour obtenir la surface la plus générale correspondant par orthogonalité des éléments à la sphère, il sujfit de prendre la surface moyenne de la congruence isotrope la plus générale.

On a vu [I, p. 420] que l'enveloppée moyenne d'une telle congruence est une surface minima.

En rapprochant du reste les diflférents raisonnements que nous venons de faire, on voit que, seules, les congruences isotropes jouissent de la propriété d'avoir les lignes de striction des différentes surfaces réglées que Von peut former avec les

(■) A. Ribaucour, Etude des Èlassoîdes ou surfaces à courbure moyenne nulle. Chapitre VIII [Mémoire déjà cité (I, p. 4 '9)]-

l6 LIVRE Vin. — CHAPITRE I.

droites qui les composent, toutes distribuées sur une même surface (^).

864. Revenons à la relation (i5) et appliquons un théorème donné plus haut. Si, k désignant une constante, nous considérons les deux surfaces lieu des points {Xi-\- kx, y^-\- ky, z^-\- kz) et {x\ — kx^Yi — ^T' ^1 — ^'^)' c'est-à-dire les surfaces obtenues en portant, dans les deux sens à partir de M<, sur les droites de la congruence isotrope, des longueurs égales à k, on aura deux surfaces applicables l'une sur l'autre de telle manière que les points correspondants soient à une. distance invariable l'un de l'autre. Réciproquement, si les extrémités d^ un segment PPi de longueur constante, dont la direction dépend de deux paramètres, décrivent deux surfaces applicables l'une sur l'autre, la droite PPi engendre une congruence isotrope (^).

(') C'est d'ailleurs ce que l'on peut établir directement comme il suil : Prenons une droite de la congruence pour axe des z et soient

les équations des plans focaux, z' , z" les z des points focaux.

Pour déterminer le point central relatif à l'une des surfaces élémentaires contenant la droite, il faut lui adjoindre le point à l'infini, les points focaux et exprimer que le rapport anharmonique des quatre points de contact est égal à celui des plans tangents correspondants, ce qui donne

m étant le coefficient angulaire du plan central. Pour que z soit invariable, il faut que la fraction rationnelle

(m — /rt' ) ( I -H m fit" )

( m — m" ) (i -h mm' )

soit indépendante de m, ce qui donne, en écartant l'hypothèse inadmissible m' — m.",