X-r--\- iXixrh -h [ji^ = /'l
ijL = Au/o — X hr
et qui font connaître X et |ji comme des fonctions de a,
11 reste à exprimer la condition essentielle que l'on a identiquement
7 da-o -+■ y' dvo -+- y" dzo = o.
Si l'on substitue les valeurs des différentielles dx^,, dy^, dzy^^ déduites des équations (21), eu tenant compte de la relation
7 dx H- "J dy -4- ",' <lz = o, il vient
rh d'K ^>- d'j. ■+- -^{dao — >- da) -+- -^'idb^ — À db) -+- -^'i dt\, — X de) = o.
Si les coefficients de -;, y', y' n'étaient pas nuls identiquement, on aurait, en tous les points de la ligne de courbure sphérique, une relation linéaire entre ces cosinus; et, par suite, celte ligne de courbure, ayant pour représentation sphérique un petit cercle, serait elle-même un cercle. Ecartons d'abord ce cas exceptionnel : il faudra que nous ayons
(24) r'i cD. ■+- du = o,
, . dao ^0 dco ,
^^^ lia ~ Hb ~ 1c ~ '^'
Mais je dis que ces relations conviennent aussi au cas des lignes de courbure circulaires, pourvu que l'on choisisse convenablement la sphère (So) parmi toutes celles, en nombre infini, qui passent par la ligne de courbure circulaire de (— o)- Car soit alors
la relation linéaire entre les cosinus directeurs, relation nécessairement unique. Supposons H^o. Si l'on choisit (So) de telle
manière que l'on ait
(/rt^) = À da,
comme il ne peut y avoir aucune relation linéaire entre 7', y", cette unique équation entraînera les autres relations contenues dans les formules (24) et (25).
1024. Ce point étant admis, il faut interpréter les équations (24) et (25) qui définissent toutes les surfaces (i^)- Voici le théorème de M. Blutel.
Désignons par (K) et (Ko) deux lignes de courbure correspondantes de (— ) et de (— d). Ces lignes de courbure ne sont pas généralement horaothétiques ; mais les développables (D), (Do) formées par les normales en tous leurs points le sont toujours.
Les courbes (G) et (G,,), décrites par les centres G et Go des deux sphères (S) et (So), ont leurs tangentes correspondantes toujours parallèles ; par suite la droite CC„ engendre une développahle et touche Varête de rebrousse ment (R) de cette développable en un certain point O. Ce point O est le centre d^homothétie des deux développables (D), (D,,). U homologue du point G dans cette homothétie est le point Go; et le rapport de similitude est égal au rapport des distances de ces points Go, G aux deux plans principaux qui contiennent respectivement la tangente à la ligne de première courbure de (^o) €t la tangente correspondante de (2)-
Dans cette proposition, il y a des points qui sont évidents a priori: il y en a d'autres que l'on pourrait démontrer par la Géométrie, mais qui résultent immédiatement des relations précédentes. Les équations (aS), par exemple, montrent immédiatement que les deux courbes (G), (Go) ont leurs tangentes toujours parallèles et que X est le rapport des distances OGo et OG des points G,,, G au point de contact de la droite GGo avec la courbe qu'elle enveloppe nécessairement. 11 est évident, au contraire, sans calcul que les développables (D), (Do) sont homothétiques ; car : i" elles ont leurs plans tangents parallèles; 2" les plans de la première, coupant la sphère (S) sous un angle constant de cosinus égal à /i, sont tous tangents à la sphère (S') concentrique à (S) et de rayon r\l i — h'^] 3" pour la même raison, les plans de la seconde sont tangents à une sphère (S'„) concentrique à (So) et de rayon r^^\^| \ — h\. Or deux développables dont les plans tangents sont parallèles sont évidemment homothétiques dès qu'elles sont assujetties en outre à être circonscrites respectivement à deux sphères (S') et (S'o ). On passe de l'une à l'autre par l'homothétie qui transforme (S') en (S'o); de sorte que le centre d'homothétie est sur la ligne des centres GGo et que le rapport de similitude est égal au rapport des rayons des deux sphères. Or, d'après la première formule (aS), ce rapport est égal à À: le centre d'homothétie est, par suite, le point O. La proposition de M. Blutel se trouve ainsi complètement établie.
On verrait de même que les développables (D"), (D|^) circonscrites aux deux surfaces (2), (2o) en tous les points des lignes de courbure (K), (Ko) sont homothétiques, car elles sont circon-
scrites à des sphères (S") et (S„), de ravons rh el r,Ji„, concentriques respectivement à (S) et à (S„ I. Mais ni le rapport, ni le centre d'homothétie, ne sont les mêmes que pour les développables (D), (D„i. Toutefois ce complément donné à la proposition de M. Blutel est essentiel pour la suite de la recherche.
1025. Il nous faut maintenant indiquer comment, à l'aide des propositions précédentes, on pourra déterminer toutes les surfaces (^— o) lorque la surface ( i i sera donnée. On aura sept fonctions inconnues «o» ^oj Co, ''»? li»-, ' - [^ et seulement les six équations (23), (2/{) et (25); une des fonctions pourra donc être choisie arbitrairement. Si c'est), par exemple, que 1 on supposera exprimée en a, les équations (24), (aS) fourniront «„. 6„. c,,, y. par des quadratures et les deux équations (28) détermineront ensuite ;•,), Ao en fonction algébrique de r et de A. Du reste ces valeurs de To, ^o ressortent immédiatement des formules précédentes (22). Comme on peut ajouter à toutes ces relations la suivante
( 26 ) d{ ho f-Q ) = 6 d[ hr).
obtenue en différentiant la seconde équation (28 ) et tenant compte de la relation (^24), on reconnaît que h(, ne pourra être égal à zéro tant que h ne sera pas aussi égal à zéro. En tenant compte aussi de la première équation (28 i, on peut dire que /i et h,, prennent en même temps les valeurs o et i.
Par suite, toutes les fois que ( i ) et (^i,, ) auront leurs lignes de courbure circulaires, tous les théorèmes précédents leur sont applicables, soit que l'on prenne comme sphères (S) et (So ) associées dans les énoncés précédents, les deux sphères inscrites ou les deux sphères orthogonales aux deux surfaces. Ainsi se trouvent justifiées les propositions dont nous avons fait usage plus haut au n" 1006.
1026. Pour que la solution précédente puisse fournir sans aucun signe de quadrature la surface (io) il faudrait pouvoir résoudre sans aucun signe de quadrature les équations suivantes
(la y, «7^0 flci\ d\ r\,/io) . ■' ^ da ~ db ~ de ~ dirh) ~ "'
25o LIVRE VIII. — CHAPITRE XI.
après quoi [j. et r,, se détermineraient sans difficulté par les formules (aS ).
Le problème auquel on se trouve ainsi conduit peut être résolu de la manière suivante.
Déterminons les rapports mutuels de quatre fonctions A, B, C, H de a par les relations suivantes
!A da -(- B dh -+- C de -h H d{rh) = o, A d-a -h B d- b -^ Cd-c -^ Il d^ ( rh ) — o, , A d^ a ■+- B d^ b -+- C d^ c -t- H «^3 ( ,./< ) = o.
La différentialion de ces relations nous conduira aux suivantes
dK da -H dVi dh -t- dC de -+- d\{ d{ rk) = o, # A da -t- # B db + # C de -4- d' H d{ rh) = o,
OÙ l'on peut remplacer, de même que dans la première (28), da, db, de, d{rh) par les quantités proportionnelles dao, dbo, dCi,, d(r,) h(,), de sorte que l'on aura nécessairement
1 A da(: -+- B dbi, -+- G de,) -t- H d( ro Ao ) = o,
r 29) < dX dut, -+- dl> dùu -+- dC de^^ -1- d\\ d{ /'o ho ) = o,
' d- A daQ -In d-B db^ ■+- d- C dco -1- c/^ H «?( ro Ao ) = o.
Prenons maintenant comme inconnue auxiliaire u la fonction
(3o) ?i = Aao-h B èo -I- Cco-H H /'o/io-
En différentiant les deux membres de cette relation et tenant compte des formules (29), il viendra
!dii = ao dS. -+- 60 d\y -+- Co dC -+- roho dH, d- u = ao rf- A -f- 60 «f^ B -f- co d'C -¥- /o Ao d'^ H , d' u = «0 <r/3 A -+- èo <^' B -H c" d' C -i- ro ho d^ H,
de sorte que a,,» ^05 Co? ^'o/io seront déterminées par ces trois équations et s'exprimeront linéairement au moyen de la fonction arbitraire u et de ses premières dérivées.
La question proposée se trouve ainsi complètement résolue. On peut remarquer que X sera une fonction linéaire de u et de ses quatre premières dérivées; ei comme ï.da, Idb, Idc, "kd^rfi) sont des différentielles exactes. >. sera V adjointe de l'expression
SURFACES A LIGNES DE COURBURE SPHÉRIQUES. 25l
linéaire, qui, égalée à zéro, donnerait une équation dillérentielle admettant les solutions particulières a', 6', c' {fhy.
1027. Au lieu des calculs précédents on peut indiquer une construction géométrique déterminant la surface (i„). Il suffit de remarquer que les formules ( 23 ), (24 ) et (20) ne cessent pas de subsister si l'on y remplace d'abord h et h^, par i , puis r. r„ par /7i, To hi,. Gela revient à dire que les surfaces à lignes de courbure circulaires (^'), (— 0) ^tn-eloppées respectivement par les sphères {S'), (^o) ^^^ même représentation sphérique. D'après cela, la construction donnée plus haut (n" 1007) et indiquée par M. Rouquel pour déduire de toute surface à lignes de courbure circulaires une surface de même définition admettant même représentation sphérique nous permettra de construire la sphère (Sj^ ) et. par suite, la courbe (Go)- Gelte courbe une fois connue, on pourra construire le point O, la sphère (S,j ), les développables (Do), (D^) qui se couperont suivant la ligne de courbure (K.„). Du reste, le carré du rayon de (S„) est la somme des carrés des rayons de (S'^") et de (S^ i.
. 1028. Revenons à la solution analytique. Nous avons vu que la surface (^.1) dépend d'une fonction arbitraire. On peut disposer de cette fonction arbitraire de telle façon que la surface remplisse certaines conditions données à l'avance, par exemple que toutes les sphères (So) soient orthogonales à une sphère fixe ou passent par un point fixe. Ges-deui conditions se traduisent, avec des axes convenables, par une équation de la forme suivante
a% -+- bl -+- cl — l'I = con>t. :
et, si l'on y substitue les valeurs de rt,,, 60» Co, r„ en fonction de m, on obtiendra une équation différentielle du 4* ordre à laquelle devra satisfaire cette fonction. Cette équation est quadratique; mais, en la ditférentiant, on fera apparaître le facteur À que l'on devra supprimer; et il restera une équation linéaire du 5* ordre. Gela se voit tout de suite si on l'écrit sous la forme
«5 -i- 6f, -+- c3 — (, /'o Ao )- — '-- r- (i — II- ) = const .
202 LIVRÉ Vin. — CHAPITRE XI.
Car en difFérenliant il viendra
À [uq da -f- />o db h- cq de — l^^^ /lo d{r/i)] — X /■ V i — /i'^ di'u r \J \ — A-) = o.
Ainsi, parmi les surfaces (— n ), il en existe toujours un nombre illimité pour lesquelles les sphères (So) passent par un point fixe ou sont orthogonales à une sphère fixe- Or, toute surface (i) pour laquelle les sphères (S) passent par un point fixe est l'inverse par rapport à ce point d'une surface (T) à lignes de courbure planes. Donc on pourra toujours, par des constjuct/ons géométriques qui n'exigent aucune intégration^ faire dériver toutes les surfaces à lignes de courbure sphériques des surfaces à lignes de courbure planes : i" en prenant 1rs inverses de celles-ci; a" en construisant ensuite les surfaces à lignes de courbure sp/iériques de même représentation sphérique que ces inverses.
10!29. De cette génération des surfaces à lignes de courbure sphériques résultent plusieurs propriétés que nous allons indiquer.
Remarquons que, pour deux surfaces (^), (^o) ayant même représentation sphérique et pour deux lignes de courbure sphériques correspondantes (K), (Ko), les cônes enveloppes des plans normaux ont leurs plans tangents parallèles et, par suite, sont homothétiques. Les développées isotropes des lignes (R), (Ko), développées qui sont tracées sur ces cônes, ont leurs tangentes parallèles, et sont, par suite, des courbes hoinolhétiques (bien que leur rapport d'homothélie ne soit pas en général égal à X). Si nous supposons que, pour la surface (^o), toutes les sphères (So) passent par un point fixe, cette surface sera l'inverse d'une surface (T) à lignes de courbure planes, et les développées isotropes de ses lignes de courbure (Ko) seront les inverses des développées isotropes des lignes de courbure planes de (T). C'est, en eflet, une propriété essentielle, signalée depuis longtemps (^), des dévtiloppables et par suite des développées isotropes, de se conserver par l'inversion. C.omme les développées isotropes des lignes de
(') Voir la première Partie de l'Ouvrage cité plus haut [III, p. 4/9)
courbure planes de i T i sont égales, nous pouvons donc énoncer la proposition suivante :
Etant donnée une surface à lignes de courbure sphériques (2), toutes les développées isotropes de ses lignes de courbure sphériques peuvent, par des inversions convenables appliquées à chacune d'elles, se transformer en des courbes identiques.
En d'autres termes, en soumettant les lignes de courbure (K) à des inversions convenables et variant de l'une ii l'autre ligne, on peut les placer toutes sur une même développable isotrope i A).
Si donc une des lignes de courbure sphériques est algébrique, toutes les autres sont nécessairement algébriques.
103<). Les remarques que nous venons de signaler rapprochent évidemment les surfaces à lignes de courbure sphériques des surtaces à lignes de courbure planes, et Ton est conduit ainsi à rechercher s'il n'existerait pas. pour les lignes de courbure sphériques. une proposition analogue au théorème du n" iOOO. Cette proposition existe etléclivenient. mais son énoncé demande quelques explications préliminaires.
Considérons, d'une manière générale, deux inversions, définies parles deux sphères principales ^^S) et (S„). L'effet de ces deux inversions ne sera pas changé ('). si l'on substitue à ces deux sphères {S). (So) deux autres sphères passant par leur cercle d'intersection (G) et se coupant sous le même angle a que les deux premières. On peut donc dire que l'effet des deux inversions est défini si l'on donne le cercle ( C » et l'angle a. Ajoutons que pour choisir les deux sphères principales des deux inversions successives dans l'ordre convenable, il faut indiquer aussi un sens déterminé sur le cercle (G ). Nous appellerons l'effet de ces deux inversions une rotation d'angle y. autour du cercle (GV Tandis qu'une inversion simple imprime toujours des déplacements finis aux points de l'espace qui ne sont pas voisins de la sphère prin-
(') Voir, en particulier, la Note VI de l'Ouvrage cite à la page précédente.
cipale, une rotalion autour d^un cercle peut imprimer des déplacements infiniment petits à tous les points de l'espace, pourvu que son angle soit infiniment petit.
Si l'on soumet la figure et sa transformée à une inversion dont le pôle se trouve sur le cercle (G), la rotation autour de ce cercle se transforme en une rotation du même angle autour de la droite transformée du cercle.
1031. Si l'on admet cette généralisation de la notion de rotation, il est clair que l'on peut soumettre toute surface à lignes de courbure circulaire (i) à une déformation analogue à celle déformation particulière d'une développable dans laquelle les génératrices rectilignes restent rectilignes. Faisons correspondre aux cercles de la surface les génératrices rectilignes d'une développable; aux rotations infiniment petites autour de ces génératrices rectilignes, des rotations d'angle égal autour des cercles correspondants. A toute flexion de la développable correspondra une flexion isomorphe de la surface (2), comportant dans sa définition une fonction arbitraire.
Celle notion admise, le lecteur démontrera aisément le théorème suivant :
Pour obtenir la surface ii lignes de courbure sphériques la plus générale on coupe une développable isotrope (A) po-r une famille de sphères (S)j on soumet ensuite ces sphères et leur surface enveloppe {^) à la flexion qui vient d'être définie. Les sections de la développable (A) par les sphères (S) se transforment ainsi dans une famille de courbes engendrant la surface cherchée.
Les surfaces qui coupent à angle droit une famille de sphères (S) apparaissent ainsi comme les analogues des surfaces moulures de Monge. Pour elles, les lignes de courbure sont les transformées par des inversions d'une même courbe, d'ailleurs quelconque.
La proposition précédente permet évidemment de retrouver les propositions que nous avons obtenues plus haut (n° 1029 ).
1032. Nous terminerons ce Chapitre en donnant la démonstration d'une proposition déjà énoncée au n" 483, et en déterminant
toutes les surfaces dont les lignes de courbure sont planes ou sphériques dans les deux systèmes. Nous commencerons par établir un lemme relatif à deux équations simultanées aux dérivées partielles du premier ordre. Soient, avec les notations habituelles,
ces deux équations. Si l'on veut qu'elles admettent une solution commune aiec une constante arbitraire, il faudra, comme on sait, que la relation
^^^ ) \dx^P dz) dp^\ày^^ àz) àq
) (àfi àf,\df (âj\ àj\\àf
se vérifie identiquement ou soit une conséquence des proposées. La première équation aux dérivées partielles (Sa) a ses caractéristiques définies par les équations différentielles
.„,. djT ày dp dq
dp àq dx^P^z dy'^'^dz
de même, pour la seconde, les caractéristiques sont définies par le système suivant
ox ov op <j<l
dfi dj\ d/j dj\ <Ll ^ iÙ.
dp dq dx dz dy " dz
de sorte que la condition d'intégrabilité (33) se ramène à la relation
1^ 36 ) dp ox — op dx -+- dq oy — oq dy := o.
qui doit avoir lieu, bien évidemment, pour deux directions quelconques, en chaque point d'une surface intégrale. Or. supposons que les caractéristiques soient les lignes de première courbure pour la première équation, et les lignes de seconde courbure pour la seconde. On aura alors
dp dq . on oq
d.c -r- p dz dy -i- q dz ' ox -i- p oz oy -i- q oz
A el p. désignant des inconnues auxiliaires; de sorte que la condition d'intégrabilité (36), où l'on remplacera dp^ dp, clq. oq par leurs valeurs déduites des équations précédentes prendra la forme
(À — ;j. ) { d.i- o.r -+- (/y 5\- -h dz riz) ^= o.
et elle exprimera simplement, À étant diilerent de p., la propriété d'orthogonalité des deux familles de lignes de courbure.
1033. D'après cela, supposons qu'une surface (2) ait toutes ses lignes de courbure sphériques. Désignons par (S|) les sphères qui contiennent les lignes de première courbure et par (So ) les sphères qui contiennent les lignes de seconde courbure. Soient co, l'angle sous lequel la surface doit couper la sphère (S|) et wo l'angle sous lequel elle doit couper la sphère (Sa). Parmi les sphères (Si) et (Sa), choisissons celles qui se coupent en un point M de l'espace et dont l'intersection est un cercle (C) qui passe en M. Le plan tangent en M à la surface cherchée sera évidemment défini par la double condition de faire les angles w, et w^ respectivement avec les plans tangents en M aux deux sphères (S| ) el (So), cette double condition montre qu'il doit être tangent à deux cônes de révolution avant pour axes les rayons des deux sphères qui passent en M, ce' qui donne, en général, quatre plans distincts. Prenons l'uu quelconque d'entre eux. Il coupera évidemment les deux plans tangents aux sphères suivant les deux tangentes principales de la surface cherchée. Par conséquent, pour que la surface existe, pour que la condition d'intégrabilité soit vérifiée, il sera nécessaire et suffisant que ces deux droites soient rectangulaires . Cela donne une condition à laquelle doivent satisfaire les deux familles de sphères (S,) et (So). Cette condition peut d'ailleurs s'exprimer sous la forme suivante :
Pour chaque point du cercle (C), construisons le trièdre ayant pour arêtes les rayons des deux sphères (S| ), (S2) qui aboutissent à ce point el la normale à la surface cherchée : le dièdre formé par les faces du trièdre qui se coupent suivant cette normale devra être droit; et, par suite, si V désigne l'angle des sphères (Si), (S2), la Trigonométrie nous donnera immédiatement la relation suivante (38) oo<V = cos Wi coscjo,
Si les équations des deux familles de sphères (S|) et (S3) sont données sous les formes suivantes
( (j- — a,;--i-( V — fei)2-»-(- — c,)i= rf, { ( X — ai)î-t-Q' — bi iî-i- 1';; — Ci}-= rt,
a,, 6|, Cl, Ti, U) élaiil fonctions d un paramètre a et a-,, b^. Co, Ta, cuo d'un autre paramètre y, la relation (38) donnera la condition
('4<> I < «i a*)--!- ( fei h-, >- -I- I C] — C; )- = r] -r- /"n — i /i /'i COS Wi costo*,
qui devra être vérifiée identiquement et qui a été le point de départ du Mémoire de M. J.-A. Serret (').
103 i. Au lieu de suivre la même méthode, nous reprendrons le cercle (C) intersection des deux sphères (S,) et (Sa) et nous remarquerons que. si (i) est la surface cherchée, une sphère (L) tanfijenle en M à (i) coupera le cercle (C) en un second point M, tel que le plan langent à cette sphère en M4 fasse aussi les angles coj , w.> avec les deux sphères (S|), (So) et coupe les plans tangents en ce même point M, aux deux sphères suivant deux droites rectangulaires. 11 sera donc toujours possible d'associer à la surface cherchée (i) une autre surface (— i) de mêmes propriétés, de même définition, coupant les sphères (S,) et ^^So) sous les mêmes angles, telle, en outre, que (i) et (2|) constituent, à elles deux, les deux nappes de l'enveloppe des sphères variables (U); et, de plus, les lignes de courbure se correspondent évidemment sur les deux nappes de cette enveloppe de sphères (-).
Xous pourrons donc appliquer les propositions démontrées au
1'/ J.-A. Serket. Mémoire sur les sur fa es dont toutes les lignes de courbure sont planes ou sphirii/ues (Journal de Liouville, t. XVIII. i" série, p. ii3; i85:>).
(-) Pour bien comprendre ce poiat essentiel, remarquons que. lorsqu'on donne Il priori les familles de sphères (S,), (S,), ainsi que les angles w,, w, sous lesquels ces sphères doivent être coupées par la surface cherchée (1), celte surface devra vérifier deux équations aux dérivées partielles du premier ordre qui admettront une intégrale commune a^'ec une constante arbitraire lo\xXts\t> fois que la condition (38; ou (^o) sera vérifiée. Mais, comme il passe, en chaque point du cercle (C), quatre plans tangents coupant respectivement les sphères (S,), (S.) sous les angles co,, ut^, il y aura quatre familles distinctes de surfaces (2),
nARBOLX. — IV. 17
Livre IV, Chapitre XV, relativement à ces enveloppes. Pour plus de symétrie, nous emploierons les coordonnées pentasphériques (Liv. II, Ghap. VI). Soit
(40 ^f/iiXi^o
l'équation de la sphère (U). Soient de même
(42) ^ai.Xi=0, (43) ^hiXi=:0
les équations des sphères (S|) et (So); les ai étant des fonctions d'un paramètre a et les 6, des fonctions d'un paramètre 6; les m, dépendront à la fois de a et de (3.
Pour avoir les deux points de contact de (U) avec son enveloppe, il faut joindre à l'équation (4i) ses deux dérivées
Les deux points de contact devant se trouver par hypothèse sur les sphères (S^), (So), les cinq équations précédentes doivent se réduire à trois. On aura donc nécessairement
, asi.
— — = A, ,11/ -+- Al <7j -4- h />/.
}., À), A, B, A|, B, étant des fonctions auxiliaires et i devant recevoir les valeurs i, 2, . . ., 5.
D'autre part, les six coordonnées m,- de la sphère (U) doivent être (n" 477) des solutions particulières d'une équation aux dérivées partielles de la forme suivante :
à- nii „ ànti , à/ni ^
qui correspondront ,iux quatre plans précédents; et ces familles se grouperont deux à deux de telle manière que deux surfaces différentes prises dans deux familles associées forment les deux nappes de l'enveloppe de splières que nous considérons dans le texte.
Substituons dans celte équation les valeurs de -~^ — ;r-' définies par les équations {io) et celle de -r-d déduite, par eiemple, de la première de ces équations. Nous aurons
(46) ( ^-(-CÀ-i-D>.i-(-ÀÀi-i-E)/«j-i- / — -+-CAh-DA,-hXA ja/
^(^ -i- CBi-h DB ^ }.b\ bi-^- B,bl = o.
Si les coefficients de a,, è,, b] , m, dans cette équation n'étaient pas nuls, l'équation (40 ^^ 1^ sphère tangente apparaîtrait comme une combinaison linéaire des équations
ce qui est en contradiction avec la remarque faite au début de ce numéro, ces trois équations définissant deux points déterminés du cercle (G). Il faut donc que la relation (46) se réduise à une identité et que l'on ait, en particulier,
Bi = o.
On verra de même que Ton a aussi
de sorte que les deux équations (4^) peuvent se ramener à la forme plus simple
ai
Ecrivons maintenant que les deux valeurs de -r— n; déduites de
' tJx àp
ces équations sont égales. Il viendra
Pour les raisons déjà indiquées, on doit avoir
à\ àli à\ . ^ ^B .
ai àx dp âx
26o LIVRE VIII. — CHAPITRE XI.
Ces équations nous donnent, en introduisant une fonction auxiliaire h,
^ I à h , I dh <)\Mi) à{V>h)
A — — 7 T~ ' ''^i = — T jo ' iô — = *^- "~^~i = "•
h ua. h ap d^ t)y.
Nous aurons donc
et les équations (47) nous fourniront la valeur suivante de «?, nii h = I aif{ a).da -h j biç([i)d'p.
Comme on peut évidemment multiplier tous les m, par une fonction quelconque /i, nous pourrons prendre, pour / = i , 2, 3, 4* ^,
-.Jaif{a)rh^Jbi^{<^)d^1>.
L'équation à laquelle satisfont (n" 477) les six coordonnées de la
sphère sera donc
à' tiii
de sorte que la sixième coordonnée m^^ sera^ elle aussi, la somme d'une fonction de oc et d^ une fonction de {3.
1035. Réciproquement, considérons la surface enveloppe d'une sphère pour laquelle les six coordonnées sont données par la formule
OÙ A(, B, dépendent respectivement de a et de (3. Pour obtenir la surface il faudra joindre à l'équation
(49) ^{ki+\\t)xi=o
ses deux dérivées
( 5o ) V a; Xi = o, 2^; .?•;■ = o,
SURFACES A LIGNES DE COURBURE SPHÉRIQUES. o6l
par rapport à a et à 3. Prises isolément, les deux équations précédeales définissent deux courbes sphëriqucs de la surface. La sphère qui contient la première, par exemple, coupe la surface sous un angle 'jJ) défini par la foruiule t n" lo()j
0O>Wi =
Or si Ion diflérenlie, par rapport à a, la relation identique
qui doit nécessairement exister (n" 156^ entre les six coordonnées de la sphère, il vient
V A;( Aj-t- Bj) -1- A'j, A«-i- Bf, I = o,
de sorte que l'on a
I )I I CO«tOi =
-y.Ar
L'angle «i étant une fonction de y., on voit que la sphère définie par la première équation (5o) coupe la surface sous un angle qui est partout le même; et, par suite, les courbes de paramètre x sont les lignes de courbure sphériques de la surface. La démonstration est toute semblable pour les lignes de paramètre i3.
En résumé, nous obtenons la proposition suivante :
Pour définir les surfaces dont toutes les lignes de courbure sont planes ou sphériques. on déterminera de la manière la plus générale six fonctions A, de a. et six fonctions B, de ,3
vérifiant idenllqueinent la relation
puis on prendra l'enveloppe de la sphère variable
Les deux nappes de cette enveloppe seront deux des surfaces cherchées.
C'est la proposition déjà ônoncée au n° 483.
I03(). Appliquons-la à la délenuinalion effective des surfaces cherchées : il faudra d'abord résoudre l'équation fonctionnelle (02). Cette résolution se simplifie beaucoup si l'on emploie toutes les substitutions linéaires orthogonales, qui transforment en ellemême la forme quadratique
Dans la géométrie des sphères elles jouent le même rôle que le changement de coordonnées dans la géométrie du plan. En utilisant les résultats obtenus au Livre II, Chapitre VI, on reconnaîtra aisément qu'on les obtient toutes en combinant des déplacements, des inversions, des dilatations (augmentation d'une quantité constante pour le rajon de toute sphère). Nous admettrons ce résultat.
Si nous différentlons l'équation à résoudre par rapport à a et à (3, elle devient
Etudions d'abord cette dernière équation.
Comme tous les B| ne sont pas nuls, en donnant à (3 une valeur
fixe quelconque, on obtiendra au moins une relation linéaire, à coefficients constants, entre les A- . Supposons d'abord qu'il n'existe qu'une pareille relation, savoir
Si l'on a
on peut, par une substitution orthogonale, ramener la relation à la forme
(55; Af, = o.
et si l'on a
on la ramène de même à la forme suivante
(56) A'5-HiA6 = o.
Dans le premier cas, pour que l'équation (54) soit vérifiée, il
faut que l'on ait
et l'équation (Sa) devient alors
2» A,-^B,^^ = -(A,-Be.^.
Le premier membre ne pouvant dépendre que de a et le second dépendant nécessairement de 3, il y a impossibilité. Le raisonnement s'appliquera de même si l'on substitue la relation (56) à la précédente (55). Il n'y a donc, en avant égard à ce que l'échange de a et de ^ revient à un changement de notations, qu'à examiner deux hypothèses : i" ou bien il y a deux relations linéaires entre les dérivées A' par exemple, et quatre entre les dérivées B- : 2° ou bien il y a trois relations linéaires entre les unes et les autres.
Une discussion facile montre que des relations linéaires, en nombre quelconque, entre les A] par exemple, peuvent toujours,
par une subsliluliou orthogonale, être ramenées à vérifier les deux conditions suivantes :
i" Chaque relation sera de la forme
'A/, = <> oii A'f^ -+- i \'/. = o;
2" De plus, la même dérivée A'/^ ne figure que dans une seule relation.
Les cas où quelques-unes des relations contiennent deux dérivées se déduisent des autres par le passage à la limite.
1037. J3'après cela, s'il y a deux relations seulement entre les A- , on pourra, en se bornant au cas général, les prendre sous
la forme
Al = o, A', = o.
Il faudra que l'on ait
15', = ir, = Jr, = H', = 0:
par suite, B^, B^, Bk, Bg, A5, A. seront des constantes que Ton pouri'a prendre égales à zéro; de sorte que l'équation à vérifier prendra la forme
Ai + Aa+ \l-+- \?, = — \H — ^H
et chacun de ses membres devra se réduire à une constante. On pourra prendre par exemple
1},, = COS [î, B:j = sili 3,
Si l'on choisit un système de sphères coordonnées comprenant les trois plans principaux, la sphère de coordonnées m, sera définie en co3rdonnées cartésiennes x, y, ^, par l'équation suivante
./•- -I- 7--t- :■- — H- L> /u I ./• -4- 2 niiY -+- 1 ni:, -5 -H III ; ■
^•--1- y- -+- :---h J-v-2 H- f//io '■ f- = o ;
de sorte qu'ici la surface cherchée deviendra l'enveloppe de la
sphère
{^5-j) î Al x- -!- 2 A:: )- -+- 2 A3;; -+■ c'? -f^ ^ e"'? R = o.
TT
Enjoignant à l'équation précédente les deux dérivées
on reconnaît que celle surface se réduil à un cône, d'ailleurs quelconque.
1038. Envisageons maintenant le cas où il y a trois relations entre les A,; et. nous bornant toujours au cas le plus général, prenons-les sous la forme
il viendra
B', = Bo = B, = o.
On pourra encore supposer nulles A^, Aj, Ac, B,, Bo, Bj, et l'on
aura
Af-H A|-t- An = — B? — B? — B^
Il sera nécessaire et suffisant que les deux membres se réduisent à une même constante.
La surface étant l'enveloppe de la sphère définie par l'équation
(39) a Al j- -(- 2 Ai K -H 2 A:, - -H Bi ^- ^ =— ^^^
il faudra joindre à cette équation les deux dérivées
!A', X ■+- A'i )• -1- A-'-^z = o, j-î— ) 2-^- c2— Rî .„, jr^H- v2-i- c2 RO B ■■ =- 1- i B., : 7T = o.
On voit que les lignes de première courbure sont dans les plans tangents d'un cône et que les lignes de seconde courbure sont sur les sphères avant pour centre le sommet de ce cône. On reconnaît
la surface de Monge, dont toutes les normales sont tangentes à un cône.
En résumé, on peut énoncer le ihéorème suivant :
Les surfaces dont toutes les lignes de courbure sont planes ou sphérlques se déduisent^ par des inversions et des dilatations^ soit d^un cône, soit de la surface dont toutes les normales sont" tangentes à un cône, ou bien elles dérivent par dégénérescence des surfaces ainsi obtenues.
