CHAPITRE XU

GÉKÉRALISATIOîlS DIVERSES.

Systèmes d'équations linéaires aux dérivées partielles du second ordre à n variables indépendantes dans lesquels chaque équation ne contient qu'une dérivée seconde prise par rapport à deux variables différentes. — Forme type de ces systèmes, condition pour qu'ils admettent ft-i-i intégrales linéairement indépendantes. — Extension à ces systèmes de la méthode de Laplace. — Comment on les intègre lorsque la suite de Laplace se termine dans un sens. — Indication de certains systèmes généraux dont l'intégrale peut être obtenue. — Cas particuliers. — Applications géométriques. — Systèmes de coordonnées curvilignes à lignes conjuguées. — Ces systèmes sont les seuls qui puissent correspondre à d'autres systèmes, les plans tangents aux surfaces coordonnées étant parallèles pour les points correspondants. — Interprétation géométrique des substitutions de Laplace généralisées. — Cas particulier des systèmes triples orthogonaux. — Théorème de M. Combescure. — Démonstration directe de ce théorème. — Application. — Détermination d'une classe de systèmes triples pour lesquels toutes les lignes de courbure sont planes. — En combinant l'inversion avec le théorème de ^L Combescure, on peut faire dériver d'un système triple orthogonal une suite illimitée de systèmes analogues. — Détermination des systèmes orthogonaux à lignes de courbure planes dans un seul système. — Détermination des systèmes orthogonaux à lignes de courbure sphériques dans un seul système.

1039. Bien qu'il a' entre pas dans notre plan de faire une étude détaillée et complète des systèmes orthogonaux, nous croyons cependant qu'il sera utile, pour bien saisir les méthodes précédentes, de montrer comment elles peuvent être généralisées et étendues. Nous trouverons ainsi l'occasion de revenir sur les propositions analytiques établies au Livre IV et de montrer qu'elles peuvent être beaucoup développées; que les démonstrations subsistent, presque sans modification, lorsqu'on substitue à une équation linéaire du second ordre certains systèmes du même ordre auxquels doit satisfaire une fonction inconnue de plusieurs variables.

Désignons par p, p,, p-j. ..., p,i, un système de n variables

indépendantes et envisageons le système des équations

, , à- Il i)u du

OÙ i et /. peuvent prendre deux valeurs diU'ércntes quelconques dans la suite o, 1, 2, . . ., n i ; de sorte que le système coni-

prend équations simultanées. iNous cherclierous en premier lieu les conditions qui sont nécessaires pour qu'il admette, en dehors de la solution évidente w = i, n solutions distinctes, linéairement indépendantes.

Pour obtenir ces conditions, nous allons former de trois manières différentes les valeurs des dérivées troisièmes telles que

- — -. — ;— et nous (écrirons que ces valeurs sont égales. On trouve,

ffO 1(101; ()0l T ^ '

par exemple, en prenant la dérivée de l'équation (i) par rapport à D/, / étant différent de i et de /.•, et en substituant les \aleurs des dérivées secondes qu'introduit celle opération,

<)'■'■ U / àuki \ '^i'

l ôau; \ <)u

Ottik \ <)u au

Permutons dans les deux membres les indices /. et /, par exemple; le premier membre ne changera pas. Comme, par hypothèse, le système doit admettre n solutions linéairement indépendantes ou, ce qui revient au même, une solution dont les dérivées premières peuvent être choisies arbitrairement pour un système quelconque de valeurs des variables indépendantes, les coefficienls des mêmes dérivées du premier ordre devront être égaux dans les deux expressions ainsi obtenues de la dérivée troisième. Cela nous conduit à des relations du type suivant

(2) -r^ = fii/ni/,-h anau,-— (liian- (i-^k-^l).

Echangeons dans cette relation les indices /cl / : le second membre ne change pas. On doit donc avoir

àilll; <)((/h

el, par conséquent, a,*, aïk sont les dérivées, par rapport à p, et à p/, d'une même fonction que nous désignerons par logH/t; de sorte que l'on pourra poser

(i) Uik= Tj r— {l ^ A).

L'équation de condition (2) deviendra

et le système (i 1 prendra la forme suivante

Les relations i4), auxquelles doivent satisfaire les fonctions H,,

sont au nombre de ixous indiquerons plus loin de

nombreux exemples dans lesquels ces relations en si grand nombre sont toutes vérifiées. Dans ce cas le sjstème [b) admettra d'ailleurs, non seulement n solutions particulières linéairement indépendantes, mais aussi une solution générale contenant n fonctions arbitraires d'une seule variable indépendante: c'est-à-dire que. si l'on calcule de proche en proche les dérivées des différents ordres de u pour un système quelconque de valeurs de o, p^, .... pn 4,

les dérivées de chaque ordre relatives à une seule variable — — >

* tjz'"

-r-Tj ... demeureront toujours arbitraires.

Pour ne pas compliquer la théorie, nous avons laissé de côté les systèmes de la forme

fPn 'hi ou (6) -7 ;— — «/Jt "i— = (iki -. bik u = o,

qui contiennent la fonction inconnue; mais, dès que l'on en

connaîtra une solution particulière u\ il suffira d'effectuer la

substitution

pour être ramené à un svsléme en i- qui devra admettre la solu-

tioii «^ = 1 et, par suite, sera de la forme (i). On peut donc dire que, dès qu'un système de la forme précédente admet Ji + i solutions linéairement indépendantes, il est réductible à la forme (5) et admet une solution contenant n fonctions arbitraires d'une variable.

1040. Si l'on désigne, conformément à une notation déjà employée au Livre IV, par /a (m) le premier membre de l'équation (5), c'est-à-dire si l'on pose

, , /• / N à-u i ()\\k au I àWi du

on reconnaîtra aisément que les relations auxquelles doivent satisfaire les Hj s'expriment par la formule simple

(H) fii,{\\i)^o iijLk^l).

D'après la manière même dont on les a obtenues, on voit qu'il y a, entre les symboles y,Vf, les relations identiques

, s (^fik{u) I àWk ,. , . I àlli . . ^

(9) , ^ 71- -r-yxK«»+ rr T— /'H«)

(loi \\k <)^^i -^ H, àok^

() fkiiu) I ÔWi ... I OWk ^ , ,

<) fil ( u )

les indices i, k, l étant toujours supposés différents. Ces identités montrent déjà que les relations auxquelles doivent satisfaire les fonctions H ne sont pas essentiellement distinctes.

Elles permettent encore de donner une forme plus précise à un énoncé précédent et de démontrer que, sous les conditions habituelles de continuité pour les coefficients, le système des équations aux dérivées partielles simultanées (5) admet une solution u satisfaisant aux conditions initiales suivantes.

Soient p**, p", . . . , p)|j un système de valeurs des variables indépendantes. Choisissons n fonctions /(p), f\ (pi )? • • • ■> /"-i (P"-i )' assujetties à l'unique condition de se réduire à une même constante quand on remplace dans chacune d'elles la variable p^ par sa valeur initiale p". Il existera une solution du système (5), et

GENERALISATIONS DIVERSES.

une seule, se réduisant k fi[Oi) lors que toutes les variables pt autres que p,- se réduiront à leurs valeurs initiales o,'.

Celle proposition est une simple conséquence de celle que nous avons établie au Livre IV, Chapitre I\ . relativement à une seule équation. Pour plus de netteté, bomons-nous au cas de trois variables indépendantes p, pi. p^. La solution cherchée u doit se

réduire

à /(?) pourfi^.'î; ?t=?%,

à/i<;?i) pour ==^0"', rî=?*>

à/i(s.) pour c = .-•'. r;^?i-

Elle sera donc pleinement déterminée, pour pi:=pj, par la condition de satisfaire à l'équation

/oiiU) = o.

et de se réduire à /{o) ou à /^{pi) suivant que pa ou o prennent les valeurs pî ou p". Soit u' la fonction, ainsi obtenue, de p et de p2.

Pour le même motif, la fonction u sera déterminée, />OMr p = p*», par la condition de satisfaire à l'équation

.et de se réduire à/«(p«) ou à/a(pî) suivant que p, ou pi prennent les valeurs initiales p* ou p*. Soit ?/' la fonction ainsi obtenue de pj et de pa.

Cela posé, en vertu même de la proposition que nous venons d'invoquer, la fonction cherchée u sera complètement déterminée par la condition de satisfaire à l'équation

(a) /oi(«) = Oï

pour toutes les valeurs de p, p^, p^, de se réduire à u', pour Of = &', et à u' pour p = p*. H ne reste plus qu'à démontrer que la fonction ainsi obtenue satisfait, pour tontes les valeurs des variables indépendantes, aux deux autres équations

/os(«) = o, /ij(a) = o,

qui composent, dans ce cas, le svstème (5).

Si l'on tient compte de l'équation (a), les identités (9) nous

donnent ici les relations

qui ont lieu pour toutes les valeurs des variables indépendantes. Ces relations peuvent être envisagées comme des équations aux dérivées partielles du premier ordre auxquelles doivent satisfaire les deux fonctions inconnues fooiu), /]n{u). En éliminanl, par exemple, f^„(u), on sera conduit à une équation de la forme

<)o ()o 1 â^ api ^ - ^

Recherchons les conditions initiales auxquelles doit satisfaire f\->{u). On a d'abord, u se réduisant alors à a",

/\-i( u) =^ o pour p = p".

D'autre part, si Ton fait, dans les identités (6), p, = p, , comme on a alors yoo(w) = o, il vient

et. de là, on déduit

fii{u ) = H l 'J; ( p.i ) pour p 1 = p 'i* .

Mais comme f^^^iu) est nul par hypothèse pour p ==: p", quelles que soient les autres variables, il faudra que l'on ait

H,(;'i)(p2) = o ])our p = po,

et, par conséquent, H, n'étant pas nul en vertu des conditions

de continuité,

On voit que la fonction f\-xiu) devra êlre nulle soit pour p = p", soit pour o.\=L^\ et, comme elle doit en outre vérifier l'équation (c), elle sera nécessairement nulle pour toutes les valeurs de p, pi, p;,.

GÉNÉRALISATIONS DIVERSES. ajS

Le raisonnement fait iponr fi^( u) se répète évidemment pour fui{u) et l'on voit que la fonction u satisfait aussi à l'équation

ce qui achève la démonstration.

1041. Nous ajouterons la remarque suivante relative aux relations entre les H,. Introduisons les quantités j5,^ définies par la formule

Les relations (4) ou (8) s'exprimeront uniquement au moyen des 5,M- et prendront la forme simple

de sorte que, si l'on pose il viendra

, = .^Ui^ap/i-^ p/ti'pili^lt,

et l'on aura, par suite,

âçi dçi àç-jc

Ces relations permettent d'introduire une fonction V telle que l'on ait

On peut exprimer tous les 2>n en fonction de V, former des équations aux dérivées partielles auxquelles \ devra satisfaire: mais nous laisserons de côté tout ce qui concerne cette fonction.

1042. Supposons que l'on ait obtenu d'une manière quelconque un système de la forme (5), pour lequel toutes les conditions d'intégrabilité soient vérifiées, et proposons-nous de rechercher comment on peut l'intégrer.

1^74 LIVRE VIII. — CHAPITRE Xll.

Nous allons montrer qu'ici encore on peut employer avec succès la substitution de Laplace (n" 330). Considérons, en eiTet, l'équation particulière

Si elle était seule et si l'on A^oulait lui appliquer la substitution de Laplace, il faudrait, par exemple, substituer à a la fonction ç^ définie par l'équation '

(i3) au 1 àlîk.

Si l'on pose alors

()pi ()qi

on aura

et V satisfera à l'équation

. „. à'^\ I ()hk <)v I ()hi ()v

OÙ l'on a posé

On verra de même que si l'on introduit les quantités L^. définies par les relations

(18) U'= ^!îi—-—!!îL (/.v.VA-),

la fonction v satisfera, pour toutes les valeurs distinctes de i' et de k' , au système

, ()-v] f)Li' ()v I i)L/,' ()v

tout semblable au proposé.

Comme on a —^ équations, comme chacune fournit deux

substitutions, on voit que chaque système de la forme (5) admettra, en général, n(n — i) systèmes dérivés, /t(/i — i) systèmes continus. De ceux-ci, on pourra en déduire d'autres et continuer, soit indéfiniment, soit au moins jusqu'à ce que l'une des équations qui composent le svstème ait un de ses deux invariants égal à zéro.

Il y a de nombreuses relations entre toutes les substitutions ainsi obtenues : nous nous contenterons de signaler la propriété suivante :

Si l'on désigne par S,* la substitution définie parla formule (i 3), l'effet de deux substitutions S,>, S,'jt/ appliquées successivement ne change pas lorsqu'on échange, soit les deux premiers, soit les deux seconds indices.

104-3. Examinons ce qui arrive lorsqu'une des substitutions S,> devient impossible, c'est-à-dire lorsque l'équation d'indices /' et A" du système (5) a l'un de ses invariants nuls. Pour [)lus de simplicité, nous nous bornerons au cas de trois variables p, pi. pj, qui se présentera seul dans les applications.

Considérons l'équation

, , . (Pu I r>Hi Ou I ()U^ r)u

et supposons que son invariant

soit nul. Cela se traduira par la relation (21) /,,(H0=o.

On a déjà

/o-2(HO=o.

Si donc nous substituons H, à la place de u dans les identités (9) où l'on remplacera par 0,1.2 les indices différents /, A", /,

■.>76 LIVRE Vin. — CHAPITRE XII.

il viendra

On déduit donc de là, soit

soit

Envisageons d'abord la première hypothèse : H, est alors une

solution des trois équations qui composent le système; si l'on

elïectue la substitution

Il = H,r.

on aura un système lôut semblable au pi'oposé, mais dans lequel, H.2 et II;{ étant remplaces par de nouvelles fonctions, Hi serait fait égal à l'unité. Inlroduisons donc, pour ne pas changer de notations, celte hypothèse directement dans le système propcjsé. La première et la troisième équation s'intégreront à vue et nous donneront