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Donc la solution générale du système proposé sera définie par la formule
P^rt-, H.,
do-^ -+- U«..
U^ étant déterminée par la condition de vérifier l'équation OÙ R) et So sont deux fonctions connues de p et de P\.
lOio. La théorie couiplète des systèmes d'équations aux dérivées partielles précédents nous entraînerait trop loin. Nous nous contenterons de signaler rapidement le cas où la solution générale se présente sous la forme la plus simple et la plus utile pour les applications.
Pour plus de netteté, et comme la méthode est la même dans tous les cas, nous supposerons le nombre des variables égal à 3.
Supposons qu'on ait obtenu par un moyen quelconque un système d'équations aux dérivées partielles
()'U Ou du , (i -A k),
àpiàzk à?i <J?k (?, A = o, 1,2),
pour lequel les conditions d'intégrabilité soient satisfaites et dont
GENERALISATIONS DIVERSES.
on ait déterminé l'inlégrale générale u. Considérons une expression de la forme suivante
(28) Z = Ah^-A,
au
■)n II
dont nous déterminerons les coefficients par la condition que Z
s'annule quand on v remplace l'intégrale générale u par des
intégrales particulières, linéairement indépendantes, du svsténie
proposé, en nombre égal à
-Nous aurons l'équivalent des expressions (m, // ) considérées au Chapitre VIII du Livre IV. La démonstration donnée au n" 399 montrera ici que Z est l'intégrale d'un système tout pareil au proposé (271.
Il V a là, on le voit, un moyen très général de faire dériver de tout système que l'on sait intégrer une suite illimitée d'autres systèmes dont l'intégration se rattache à celle du premier.
Supposons, par exemple, que le système proposé soit constitué
par les trois équations
d'- Il
à'.iàH
En choisissant l'unité parmi les solutions particulières qui doivent annuler Z, on sera conduit à introduire le déterminant suivant :
Ri
Ri .
Tl
.. rr
Si
Wi tPi
où ;•,•• •$(, • . • 5 iVi sont des fonctions données de la variable pi tandis que Ton désigne par R. R|, Ro des fonctions arbitraires de la variable de même indice. Ce déterminant A sera l'intégrale générale d'un système analogue au système (27). On peut d'ailleurs le démontrer directement en répétant le raisonnement du n° 340.
■>.i^O LIVRE VIII. ~ CHAPITRE XII.
Les équations aux dérivées partielles auxquelles satisfait A admettent les solutions particulières
àl f)\ <)\
obtenues en donnant à l'une des fonctions arbitraires R, R,. R^, la valeur i , et aux deux autres la valeur zéro. On pourra donc, par exemple, par la substitution
obtenir pour U un système d'équations aux dérivées partielles ne contenant plus la fonction U.
1046. Parmi les cas particuliers les plus intéressants, on peut signaler les suivants. L'expression
Il R, \\i
OÙ R,: dépend do la seule variable p,, est l'intégrale générale ilu système
fP a au Ou
Si l'on dilFérentie ces équations m — i fois par rapport à p, /;/) — I fois par rapport à pi, m-, — ^i fois par rapport à pj, on verra que
est l'intégrale générale du système
(3J) (p/— p^)-5 — - = wj, nii -— ■ (i-, k =:(), I. 2).
dont nous allons dire quelques mots, en attribuant maintenant des valeurs quelconques aux coefficients m-,.
D'abord le système admet, pour toutes les valeurs de //, la solu-
tion particulière
(34 ) »• ='?-+- /* i-"'i si-i- /0~'"H.-i-»- ^)~"'s
el, sous ce point de vue, il se rattache au suivant
„ , ')- u Ou ilu . ,
OÙ r, dépend de la seule variable p,, et auquel se ramènent tous ceux pour lesquels il existe une infinité de solutions particulières, formées du produit de trois fonctions qui dépendent, chacune, d'une seule des variables p, &,, o-i. Ces solutions particulières ont d'ailleurs pour expression générale
la constante h pouvant recevoir des valeurs quelconques.
En second lieu, les substitutions définies plus haut (n" 1042) transforment le système (33) en un système analogue, où l'un des coefficients est augmenté et un autre diminué dune unité. Cette rouiarque facilite beaucoup l'intégration.
Enfin ici encore on peut démontrer, en généralisant la remarque de M. Appel ( n" 349), que si
Il = /■( p. Ç.,. Ç-î 1
est une solution quelconque du système, on pourra en déduire la solution plus générale
, , , ./rtc-i-6rti|-)-6«s*-!-6\
( co -H <-/)-"'( es, -H f/ )-■"•( e'.-.-t- d)-"'-f{ — ,1 — ,, —^ , ) ,
■' ' \cz, -i- ft cz.i-i- a coi-i-aj
a. 6, c, //désignant des constantes quelconques.
10i7. Nous n'insisterons pas davantage sur la théorie anahtique; les applications géométriques que nous allons étudier nous fourniront d'ailleurs les moyens d'obtenir un grand nombre de systèmes intégrables de la forme que nous éludions ici.
D'après le théorème de Dupin, qui constitue certainement la propriété géométrique la plus importante des systèmes triples
orthogonaux, deux sui^faces quelconques appartenant à deux familles difJ'éreutes d'un système orthogonal se coupent suivant une ligne de courbure commune; de sorte que les courbes suivant lesquelles chaque surface est coupée par celles qui appartiennent à d'autres familles j forment un réseau conjugué. Proposons-nous, d'une manière générale, de trouver tous les systèmes de coordonnées curvilignes pour lesquels les lignes d'intersection des surfaces appartenant à des familles différentes tracent sur chaque surface un réseau conjugué. Si nous désignons encore par p, p,, p^ les paramètres des trois familles de surfaces qui composent le système cherché, les coordonnées cartésiennes x^ j', z d'un point de l'espace, considérées comme fonctions de p, pi, p,, devront être des solutions particulières d'un système de la forme suivante
et cette condition, qui est nécessaire, sera d'ailleurs suffisante.
Or, pour qu'un système de la forme précédente puisse admettre trois solutions x, y, z linéairement indépendantes, il faut nécessairement qu'il soit réductible à la forme déjà indiquée
,„„, à-u I àlii <)u I ()\\i; ()ii
où les fonctions H, H,, IIo vérifieront les conditions d'intégrabililé (4)ou(8).
Ces systèmes particuliers, formés de surfaces se coupant suivant des lignes conjuguées, ont des propriétés géométriques qui les distinguent de tous les autres systèmes de coordonnées curvilignes et dont nous allons dire quelques mots.
Etant donné un système de coordonnées curvilignes, défini par trois familles de surfaces, cherchons s'il en existe un autre, tel que les surfaces coordonnées se correspondent mutuellement dans les deux systèmes et qu'elles aient, de plus, leurs plans tangents parallèles aux points correspondants. En d'autres termes, x., y^ z étant les fonctions de p, pi, oo qui définissent le premier système de coordonnées curvilignes, cherchons si l'on peut déterminer
trois fonctions À. >.|, >.. telles que les expressions
. ')jc , . Ox , , dx ,
A -— rfs -H Al :j— rf^ I -4- /-î j- rt?î, V? </Sl «O;
A -f- <T?S -H A, -^ <S, -H A. -^ rfSi,
A -— '/s -^ A , — — </,C I — Ai -—- (tZi
soient des différentielles exactes dxf^ dy,. dz,. S'il en est ainsi, Xi,yi, Zi. considérées comme fonctions de o, o,, p.,, définiront bien un svstème de coordonnées curvilignes jouissant de la propriété indiquée. Or les conditions d'intégrabilitc des équations précédentes montrent immédiatement que x, y, z doivent être des solutions particulières d'un système d'équations aux dérivées partielles de la forme (3-), ce qui permet d'énoncer la proposition suivante :
Pour que deux systèmes de coordonnées curvilignes puissent se correspondre de telle manière que chaque surface du premier système corresponde à une surface du second et qu'aux points correspondants les plans tangents aux trois surfaces homologues aient la même direction dans les deux systèmes, il est nécessaire que les surfaces de chaque système se coupent mutuellement suivant des familles de lignes formant sur chacune d'elles un réseau coniugué ( ' ).
1018. Du reste celte condition, qui est nécessaire, e^i auwf'^o/"fisante. On le reconnaît aisément en effectuant la transformation suivante. Etant donnée une solution quelconque u du système (38), introduisons les trois quantités U, définies par la formule
< '■ ) Cette proposition résulte aussi des oonsidératiuns géométriques très simples. Soient, en effet, 31, M' les points correspondants dans les deux systèmes. Si l'on attribue à o une valeur déterminée, ces points décrivent deux surfaces dont les plans tangents sont parallèles. Sur ces surfaces, les courbes de paramètres o, et p, ont leui-s tangente» parallèles; donc elles forment un système conjugué.
'>.0i LIVRE VIII. — CHAPITRE XII.
le syslèmo (38) pourra être remplacé [)ar les six t'-quations suivantes
les (3//, étant les quantités déjà introduites et définies par la formule
On a vu qu'elles satisfont aux équations comprises dans la formule unique (ii), que l'on retrouverait ici en écrivant les conditions d'intégrabibité du système (4o)-
D'après cela, aux coordonnées x, )•, 5, solutions particulières du système (38). correspondent, parles formules (39), des quantités X,, \,, Z, telles que l'on ait
i dx = ri\ <h + Hi Xi^/p, -+- iLXorfp,,
(42 ) j dy = HV d'. -f- Ui V, <o, + ILY.. f/p2,
( dz = HZ <o + IIi Zi ^/pi + HoZo do..
Or, si l'on peut, en changeant les valeurs dos fonctions H, II,, PL, conserver les mêmes valeurs aux fonctions (3//,, qui figurent seules dans le système {f\o'). il est clair que, dans les formules précédentes, on pourra conserver les neuf quantités X,-, \,, Z,- avec d'autres expressions de H. H,, IL, ce qui donnera de nouvelles fonctions x' , r', v', définies par des formules telles que les suivantes
r dv' =\\'\ (h + If, \ , d-. , -t- ir, x. r/p,,
(43) f// = II' V r/p ^ H', Yi <si + H'o Y, rfp,,
f r/s' = H'Z r/p -+- H', Zi 4, + H', Z, f/po,
et qui détermineront évidemment un nouveau système de coordonnées curvilignes satisfaisant à la condition demandée.
Tout se réduit donc à faire voir f{u'il y a une infinité de systèmes de valeurs des H,- satisfaisant aux équations (4 0, où l'on considérera les j3,7, comme des fonctions données et connues. Or on reconnaît très aisément que ce système admet des intégrales contenant trois fonctions arbitraires d'une variable. Au reste, on peut établir ce résultat en le ramenant, d'une infinité de manières.
à la forme étudiée dans ce Chapitre. Car si Ion désigne par L , Ui, Lj un système quelconque de solutions des équations ( 4»)» on reconnaîtra aisément que l'on a le droit, en introduisant une fonction auxiliaire 0. de poser
et alors la fonction 0 à laquelle se trouve ainsi ramenée la détermination des H, devra satisfaire aux trois équations
pour lesquelles les conditions d'intégrabililé seront vérifiées. En résumé, on peut énoncer la proposition suivante :
Toutes les fois que Von aura des fonctions |3,7, satisfaisant au.v équations (i i), l'intégration des systèmes (4o) <?' (I')? ^i elle est possible, donnera, avec douze fonctions arbitraires d'une variable, des systèmes de coordonnées curKilignes à lignes conjuguées.
Si trois familles de surfaces se coupent suiiant des lignes conjuguées, il existe d^autres systèmes de coordonnées curvilignes, dépendant de trois fonctions arbitraires d'une seule variable, correspondant point par point, surface par surface, au système proposé et tels qu^aux points correspondants les plans tangents aux surfaces correspondantes soient parallèles.
1019. On peut signaler encore d'autres propriétés géométriques se rapportant aux systèmes à lignes conjuguées. Associons au système proposé celui qui est défini par les fonctions ar,, j,. -i satisfaisant aux trois équations
où 0 est une solution quelconque des équations (38). Si l'on tient compte de ces équations, on verra aisément que l'on peut déduire.
àj-
Or
àz
•Tl
âx
àx
àz.
•>86 LIVRE Vni. — CHAPITRE XII.
par la différentiation des formules prf^cédenles, toutes les relations comprises dans la formule suivante
, , . 'Ar, ()x Wn ()y >)z^ àz / • , , N
(47) -jr -) ^1 f ^T~T-^'* (.iT^J-)-
Ces relations expriment évidemment qu'aux points correspondants des deux systèmes les plans tangents aux surfaces coordonnées forment deux trièdres supplémentaires. Comme, en faisant varier la fonction 0, on obtient une iniînité de systèmes (^X\ ^y^^z^ ,) pour lesquels les plans tangents sont toujours parallèles en vertu même de la propriété précédente, on voit que, dans chacun de ces nouveaux systèmes (a^i, >'<, z^)^ les surfaces coordonnées se coupent aussi suivant des lignes conjuguées.
Cliacune des équations (46) représente le plan tangent à l'une des trois surfaces coordonnées, comme on s'en assure aisément en cherchant l'enveloppe de ce plan.
lOoO. On peut démontrer que les systèmes définis par les équations (4^) sont les plus généraux parmi ceux qui correspondent au système proposé de la manière indiquée; c'est-à-dire de telle manière que toutes les équations (47) soient vérifiées. En effet, s'il en est ainsi, les plans tangents aux surfaces qui composent le système clierché seront évidemment définis par trois équations telles que les suivantes
/ ()x ày dz
