AS
dp
âp
''■Ij
de 2
Si l'on dilférentie la première équation par rapport à pi, on sera conduit, en tenant compte des équations (38) et (4^), à l'identité
dl J'^. I dU , d^, ~ W, ~df'^^^ H df/^'
qui, jointe aux identités analogues, nous donne
dl.
fjf^ ^ 'dj^
dp.
dp'
dp -2
dpi
Oa peut donc prendre pour /, À,, ).> les dérivées d'une même fonction 6; et cette fonction devra satisfaire aux équations (38). On retrouve donc bien les formules (46).
1051. Ces nouveaux systèmes donnent naissance à une équation identique de la forme suivante :
(49) dxi ox -f- dvi oy ■+- dzi oz — A ch oz -f- B c?ii opi h- C ch^oz.,.
Le plan défini par l'équation
(50) Xx-H Yr-i- Zr = e,
où X, l , Z désignent des coordonnées courantes, donne lieu aux propriétés suivantes.
Suivant qu'on y fait arriver Oi et pa, ou 0 et 0.,, ou encore p etp,, il enveloppe trois surfaces différentes et a, par suite, trois points de contact distincts. Pour chacun de ces points de contact, on connaît deux tangentes conjuguées de la surface correspondante : ce sont les droites qui les joignent aux trois surfaces coordonnées du système (a:,, r,, :?,). Si, donc, on prend le pôle du plan précédent relativement à une quadrique quelconque, on obtient un nouveau système de coordonnées curvilignes à lignes conjuguées.
1052. Ajoutons que les systèmes à lignes conjuguées permettent d'interpréter très simplement les six substitutions définies au n° 1042. Si l'on considère au point M(x, )', z) la tangente à la courbe d'intersection de deux surfaces coordonnées, par exemple de celles de paramètres pi et p-., cette droite engendre trois congruences différentes suivant que l'on fait varier p, et p^, ou 0 et p^, ou p, et p.
Ces trois congruences ne donnent sur la droite que trois points focaux. Par exemple, si Ion fait varier p et po, c'est-à-dire si la droite se déplace en restant tangente à la surface (pi\ les points focaux sont le point M et un autre point Mo. Si la droite demeure langente à la surface (p>), les points focaux sont M et un autre point M, ; mais alors, si le point de contact de la droite décrit la surface (p), les points focaux sont M, et Mo. Les formules par
lesquelles on passe de M. aux poinls M|, Mo correspondent préciséinenl à deux des subslilulions du n" 1042. D'ailleurs, la relation établie ainsi entre M et M|, ou entre M et Mo, fait dériver du système proposé un autre système à lignes conjuguées correspondant, point par point, surface par surface, au système donné.
1053. On pourrait ici étudier, en suivant les méthodes analytiques du Livre IV, et plus particulièrement du Chapitre VIII, les relations que présentent tous les systèmes d'équations aux dérivées partielles analogues au système (5) et relatifs aux différents systèmes de coordonnées curvilignes qui sont rattachés les uns aux autres par les propositions géométriques précédentes.
Nous réserverons cette discussion pour le cas, plus important et plus simple, où les systèmes deviennent orthogonaux.
Ici les deux séries de systèmes dérivés considérées aux n"' 1047, 1049 se ramènent à une seule et l'on peut évidemment énoncer la proposition suivante :
Etant donné un système triple orthogonal^ pour obtenir tout autre système triple admettant la même représentation sphérique^ c est-à-dire tel que les surfaces coordonnées se correspondent une à une dans les deux systèmes et qu'aux points correspondants les plans tangents aux surfaces homologues soient parallèles, il faudra former le système des trois équations linéaires de la forme (38) auxquelles satisfont les coordonnées X, j', z considérées comme fonctions p, p,, po. Si 12 désigne la solution la plus générale de ce système, les équations
I à.r <)y àz >hl
définiront le système cherché.
Le systèuie primitif correspond au cas où l'on prend pour 12 la
■^'' TF'^ -^'^
(ly <
"''Il — ^ y
solution
qui, nous l'avons vu (n"^ 1^7, li8 i, vérifie, dans ce cas et dans ce cas seulement, les trois équations (38).
lOoi. On peut encore établir comme il suit la proposition précédente.
Reprenons les quantités déjà introduites
/- X ., \ au
où u désigne, conformément à la notation de Lamé, une quelconque des coordonnées x, y, z. Les neuf quantités ainsi définies sont évidemment les cosinus directeurs des normales aux surfaces qui composent le système orthogonal; par exemple, X,, Y», Z,définissent la direction de la normale à la surface de paramétre Oj. Par suite, dans le cas spécial que nous envisageons, il faut introduire la relation nouvelle
(53) U^-f- Uî^ U]= I,
entre les trois cosinus, ce qui va nous conduire à de nouvelles relations différentielles, venant s'ajouter aux suivantes
déjà établies plus haut ( n" 1048). Si l'on différentit\ en effet, la relation (53) en tenant compte de celles que nous venons de rappeler, on sera conduit à une relation du type suivant
(55) ^' = UxPx-,- U/p/,- (t j^k^ l).
Ces nouvelles relations donnent naissance elles-mêmes à de nouvelles conditions d'intégrabilité; et, en égalant les deux valeurs de -; — r^ que l'on peut déduire des formules (54) et (55), on est conduit à trois relations différentielles
(56) ^■ + ^:|ii^o^,.;î,, = o {i^k^l),
DARBOVX. — IV.
qui viennent s'ajouter aux suivantes
(57) '^=hi'^a (i^k^l),
Op l
déjà démontrées plus haut.
Cela posé, on peut reprendre la démonstration du n" 1048. Si, conservant tous les Uj, on calcule de nouvelles quantités Hj satisfaisant aux équations
on obtiendra de nouveaux systèmes triples orthogonaux ayant même représentation sphérique que le système proposé (' ).
lOoo. Revenons à notre première démonstration. On peut en déduire très simplement les formules propres à définir le nouveau système orthogonal. SI l'on introduit, en effet, les notations de Lamé déjà employées (n" G72) pour des invariants analogues et si l'on pose
^^= (h^p)'-^(h. i;)'-^(îiTjp;)"'
les relations entre les neuf cosinus X/, Yj, Zj nous permettent de résoudre très simplement les équations (5i) et nous donnent
(60) :r, = A(a:, O), jK, = AO', O), z,= ^{z, Q),
( 61) x\ -I- y\ -^ z'\ = AQ.
(') C'est M. E. Combescure qui, dans un Mémoii'C Sur les déterminants fonctionnels et les coordonnées curvilignes, présenté en 1864 à l'Académie des Sciences et inséré en 1867 au tome IV (i'° série) des Annales de VEcole Normale supérieure, a fait le premier la remarque que l'on peut toujours associer à un système triple orthogonal d'autres sj'^stèmes ayant, aux points correspondants, leurs plans tangents parallèles. On pourra consulter le paragraphe VIII de ce Mémoire et aussi une Note de l'auteur, insérée en 1868 au tome LXVII, p. iioi, des Comptes rendus.
D'autre part, les relations évidentes
UTi d^i ITi
àçi àc,i àpi
nous conduisent à la suivante
r}Xi ri »)jri I /7AQ
«/x ri <yx ri àx
En tenant compte de l'une des équations (5i), on obtient la formule
.,,. (ixi I tJx àpi
Si donc on pose (64) dx\ ■+- dy\ ■+■ dz\ = H ^ dc.^- -f- H',- dz\ ^ H',^ dz\,
on aura
de sorte que le second système sera aussi complètement counu que le premier.
IO06. Pour indiquer au moins une application, supposons le système primitif déterminé par les formules
qui définissent une inversion. Les trois familles de surfaces coordonnées sont formées de sphères qui passent par l'origine et sont tangentes à lun des plans coordonnés.
Le système (38) prend ici la forme
M<;p--f- CJ H- Sj) = O il^k).
à?i àpk
Son intégrale générale est évidente; elle est déterminée par l'équation
m(p'--i- p7 -h pi) — K -4- H] -+- R-2,
où R/ dépend do la seule variable pj. Les formules (60) nous donnent alors
/ R — pR'H-Ri- piR'i + Ro— PoR;
Xi — ■?. p i 5 :: — — - -+■ R ,
p2-h p-f -+- pi
R — pR'H- Ri— PiR'i -t- Ri
-Pi Ri
p2 -1- pj -H pi
R — p R'+Ri— piR', -+-R.,
— Pi R'i
(66) l yy=i^,- ' ' ■ y \ ^' L^ll^ + R',,
p -t- PT -t- pî
R — p R'+Ri— piR', -+-R.— p,R'.> ,,,
Zy = 2 Pi ■ ; ^- -, : — -+- R'., .
p2-^piH-p5
On aura de même
,. . ,j, R p]r-+-R,-p,R', -f-Ro-p,R; ,
P-+ PT+ pi
Les surfaces coordonnées du nouveau système ont toutes leurs lignes de courbure planes. Elles appartiennent à la classe définie par les équations (12) du n" 104.
1057. Revenons au cas général. Nous avons déjà remarqué que les équations (38), auxquelles doit satisfaire la fonction £2. doivent admettre la solution particulière x- -^ y- -\- z"^ . D'après cela, il suffit de répéter le raisonnement fait au n" 140 pour reconnaître que, si l'on effectue la substitution
les trois nouvelles équations en lij seront celles auxquelles satisferont les coordonnées x' ^ y' , z' relatives au système orthogonal qui se déduit du premier par une inversion dont le pôle est l'origine des coordonnées. En rapprochant ce résultat de tout ce qui précède, on peut conclure la proposition suivante :
Lorsqu'on sait déterminer tous les systèmes triples admettant la même représentation sphérique qu'un système orthogonal donné, on sait résoudre le même problème pour tous les systèmes orthogonaux qui en dérivent par inversion; et cela sans aucune intégration.
Plus exactement, à chaque solution du premier problème correspond une solution du second et vice versa.
Ce résultat, qui peut être considéré comme la généralisation des propositions que nous avons données dans les Chapitres précédents, relativement à la représentation sphérique des surfaces. va nous permettre d'étendre beaucoup les applications de la méthode.
Considérons, en ellet, un svstéine orthogonal (S), défini par les fonctions x. y. z. et supposons qu'on sache intégrer les équations (38) relatives à ce système. Si 12, désigne une solution quelconque de ce système, les formules
(68) N-^' "^ = wT" (i = o.i.>)
définiront des fonctions x^, r,, Zt qui feront connaître un nouveau système orthogonal (S|) dérivé du premier. Or, il est évident géométriquement que les systèmes orthogonaux ayant même représentation sphérique que (S,) ont aussi même représentation sphérique que (S). Donc, on saura résoudre les équations (38) relatives au système (S,), comme on sait les résoudre pour le svstème (^S i. C'est d'ailleurs ce que confirme la remarque analytique suivante.
D'après les formules (6o) et (63^ on a. par exemple,
2 dXi = ^ ;^^ dZj
t^ Ox
et les formules anologues pour i', et pour Zi. Or x, y, z sont des solutions particulières du système (38) relatif à (S): ctx,, y,. r< sont des solutions du système analogue relatif à (^S, ). On est donc conduit à conclure que si Î2 est une solution quelconque des équations relatives au système (S), il existera une fonction îi' définie par la formule
et, de plus, cette fonction il' sera la solution la plus générale du système (38) relatif à (Si). Aucun calcul n'est nécessaire pour vérifier cette conclusion. Il suffit, en effet, de remarquer que les conditions d'intégrabilité de il', les équations du second ordre auxquelles elle doit satisfaire, étant vérifiées quand on remplace il par X, y ou z, doivent l'être identiquement, sous la seule réserve que il satisfasse aux mêmes équations (38) que ces solutions particulières x, y, z.
Ces points étant admis, on reconnaît immédialemenl la possibilité, dès qu'on sait intégn^r le système (38) relatif à un système orthogonal (S), d^obtenir une suite illimitée de systètnes triples orthogonaux contenant un nombre de plus en plus grand de fonctions arbitraires. Il suffira de passer de (S) à un système (S)) admettant la même représentation sphérique, puis de prendre l'inverse (S',) de (Si) et de recommencer sur (S'j) les mêmes opérations que sur (S). Ces opérations introduiront seulement des quadratures analogues à celle qui est définie par la formule (69), quadratures qui s'effectuent d'ailleurs complètement quand le système initial est complètement intégrable.
1058. Pour compléter et faciliter les applications de la méthode, nous indiquerons comment on passe d'un système orthogonal (S) à un système inverse (S') par rapport à l'origine des coordonnées.
Soit, pour abréger,
(70) rs — *•--+- ,r--t- Z-.
Si i2 est une solution du système (38) relatif à (S), ^ sera la
solution correspondante du même système relatif à (S'). D'autre part, si l'on désigne par A' le A relatif à (S') on a, comme on sait, en prenant le module de l'inversion égal à l'unité,
Donc les formules qui définissent les fonctions a?',, j',, z\ relatives'au système (S'j) dérivé de (S') par l'emploi de la solution i2,
formules qui se déduisent des équations (60), seront
(7.) •'v, = ,=A(ff)
En appliquant les règles données au n" 679 relativement au symbole opératoire A et tenant compte des formules données plus haut, on trouvera
', = Xi— — -(!> — .rj-,— ri 1— :zi),
(72) < y, = 1,— ^(û — j-j-i—.r»,— ;::,), -.\ = ;, -H ^ (û — XX, — r> 1 — --1),
x,.^,, Zf étant les coordonnées définies par les formules (60) et relatives au svstéme (S,) dérivé de (S) par l'emploi de la solution £2.
1039. Supposons, par exemple, que le système (S) soit celu,* qui correspond aux coordonnées polaires ayant pour origine le point \^h. A', /) et qui est défini par les formule^
■ X = h -i- ç sin S| cos p».
(73) ' V = A' -+- ? sin Si sin Pi,
( JZ = /^ocosp,.
Les équations en x, y, z admettront la solution générale
(74) o = R -^ Ris -i- RîS sinp,,
où R, dépend de la seule variable p,; et les formules (60), (7a) feront alors connaître, avec les trois fonctions arbitraires R, Ri , R2, un système orthogonal admettant même représentation sphérique que le svslème inverse de (S), c'est-à-dire composé de trois familles de surfaces à lignes de courbure -.planes dans les deux systèmes. Elles appartiennent cette fois^à la classe de celles qu*
soQt les plus générales et qui ont été déterminées par les équations (i i) du n" KM.
On pourra poursuivre l'application de la méthode et introduire autant de fonctions arbitraires qu'on le voudra, sans aucun signe d'intégration.
1060. Pou^^" obtenir des applications très générales, nous choisirons la série admettant comme système initial (S) celui qui a été déjà déterminé plus haut (n" 971) et pour lequel les lignes d'intersection des surfaces de paramètres p et p,, par exemple, sont des courbes planes (K). On peut d'ailleurs le retrouver, comme nous l'avons indiqué (note du n" 972), par la méthode suivante :
Si nous construisons les cercles osculateurs (C) aux ditférentes lignes (R), au point où elles sont coupées par une surface déterminée de paramètre p2, tous les cercles (C) forment un système cyclique, d'après la proposition de Ribaucour (n° 972). Nous avons donc deux systèmes orthogonaux : (S) et le système cyclique. Faisons correspondre à chaque courbe (K) le cercle (G) de son plan; il est clair que les surfaces de paramètres p et pi se correspondront dans les deux systèmes. Mais si, de plus, on associe à chaque point M de (K) le point Mi de (C) où la tangente est parallèle à celle de (K), les surfaces de paramètres 0 et pi se correspondront par plans tangents parallèles dans les deux systèmes orthogonaux; et, comme ce sont leurs lignes de courbure qui forment le système conjugué commun, on voit que les surfaces de paramètre p2 se correspondront aussi dans les deux systèmes orthogonaux : par suite, ces deux systèmes auront la même représentation sphérique dans le sens précis défini plus haut. On obtiendra donc les systèmes (S) en cherchant tous ceux qui admettent même représentation sphérique que le système cyclique le plus général.
Or nous avons donné au Livre IV, Chapitre XV. toutes les formules nécessaires, relatives au système cyclique (Co) formé de cercles normaux à une surface quelconque (A). Conservons toutes les notations adoptées : :r, y, z désignant les coordonnées d'un point de la surface (A) (n" 481); c, c', c" les cosinus directeurs de la normale à la surface en ce point; X, Y, Z les coordonnées du
point du cercle (Ci dans le svsténie cyclique; À et fi. deux fonctions de s et p, vérifiant le svsténie ^^54) [II, p. 389], on aura, d'après les équations (66) [II, p. 342],
l m , - '^0 I 'J\ I fJH I . r^s, I
de sorte que, pour former les équations aux dérivées partielles de la forme (38) dont X. \ , Z sont des solutions particulières, il suffira d'employer ces deux formules et d'en éliminer x et c, en tenant compte uniquement de ce fait que x et c sont des solutions particulières du système (54) [II, p. SSg], solutions qui ne dépendent pas de Oo- On déduit de là qu'il est inutile de former ces équations aux dérivées partielles el que Ton aura immédiatement leur intégrale générale en cherchant la fonction il qui satisfait aux deux équations du premier ordre
où Ào, /Xu sont les fonctions les plus générales de p et de p, satisfaisant aux équations (54): <I"^ nous reproduisons ici,
'Jo
Par exemple, en adoptant les solutions suivantes
/-Il = /-o ^ '■ » [J-,, = ;JL'y ^ eu- — '■ \ -^ c' z-.
on trouverait que l'on peut prendre pour 12 la valeur
Nous ferons usage de cette remarque.
L'intégration des deux équations simultanées {r6)se fait à vue;
agS LIVRE VIII. — CHAPITRE XII.
elle nous donne
Après quelques transformations simples et en tenant compte de la formule (65) [II, p. 342], on peut écrire
en posant, pour abréger,
rr l / f)'X\- I / àf.
Les formules qui déterminent alors le système cherché sont les suivantes
àc \ à\^ ]
