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Ce système (S,), défini par les fonctions x^, r^, z^^ est le plus général de ceux qui correspondent par plans tangents parallèles au système cyclique donné (Cq). Mais, si l'on veut se borner à obtenir le système le plus général à lignes de courbure planes dans un système, il résulte du raisonnement qui a été notre point de départ qu'au lieu de garder le système (Si), on peut se contenter de déterminer le système particulier (Sq) pour lequel les lignes de courbure planes (K) sont dans les plans des cercles (C) correspondants.
Or on obtient ici le plan de chaque ligne (K) en retranchant membre à membre les deux premières équations (80); car cette
opération élimine &2- On trouve ainsi l'équation
àc
')-Xo
'^JAo
ÔT. \
'^Pl
àx
<yu '
àl
-^tJ
■^* l àx à'x I àrx ffu
et il n'y a plus qu'à exprimer que cette équation définit le plaa du cercle (G), c'est-à-dire qu'elle est vérifiée quand on y remplace j?i, j'i, 2, par JT, V. z. On trouve ainsi la condition
à'JL à . . <)-x à . ,
qui nous donnerait, d'une manière générale,
a,, = c ./• -+- c' y -i- c' z -+- C a -h Ci .
C et C( désignant deux constantes quelconques. En se reportant, par exemple, à l'expression de ^ qui précède la formule (78), on reconnaîtra qu'on peut réduire ces constantes à zéro sans diminuer la généralité, et prendre simplement
Dans ce cas, l'intégrale qui figure dans l'expression de i2 disparaît et l'on peut prendre
1 s > . tio = 1- e/o( a-, )
= HM?i 1 — A -4- :-i:^o n- -m ?. -k /.„ -h ^ -- - — 1 j— 7^— •
Les formules (80) nous donnent donc, pour le svstéme (S,), les équations suivantes :
^. .ro- ^ 1/ X - .r + -A-^ 1 = 0[/o. p.) - >.],
OÙ tout est connu et où l'on a remplacé, pour plus de netteté dans la suite du raisonnement, a;, , j^, , Zi par x^, j> ^î ^o-
On aurait pu aussi garder les formules générales (80) : en supposant que la surface (A) se réduise à une sphère.
1061. Si l'on veut appliquer la méthode de récurrence indiquée plus haut au système (So) que nous venons de déterminer, il faudra prendre d'abord l'inverse de ce système, ce qui donnera un système (S^) pour lequel les lignes d'intersection des surfaces de paramètres p, o^ seront sphériques; mais les sphères contenant ces lignes passeront par un point fixe. On déterminera ensuite tous les systèmes ayant même représentation sphérique que (S'o). Nous allons établir d'abord que, parmi ces nouveaux systèmes, se trouvent tous ceux pour lesquels les surfaces appartenant à deux familles déterminées se coupent suivant des courbes sphériques. En d'autres termes, sur les trois familles de courbes d'intersection du système orthogonal, une seule sera assujettie à être sphérique.
Pour établir ce résultat, nous remarquerons qu'on exprime la propriété cherchée en écrivant que les coordonnées .r, y, z du système orthogonal vérifient une équation de la forme suivante :
(84) J^( ./• - a)2= (.r - ccy-^ir - [i)-^+ (s - T)^= '•^
OÙ a, (3, Y, r sont des fonctions des seules variables p, p^. Pour abréger, nous écrirons aussi, sans les déduire de la précédente, les équations
OÙ u et (' sont encore des fonctions de p et de pi assujetties à vérifier la relation
la première est évidente, les deux autres expriment que les sur-
au àv
= Ul,
^Cv,
GÉNÉRALISATIONS DIVERSES. 3oi
faces de paramètres o, et o coupent la sphère contenant la ligne
de courbure commune sous des anejles dont les cosinus - et - ne
dépendent pas de pj,
DifTérentions la seconde formule (85) par rapport à p. On trouve, en tenant compte des formules (54), la relation
S 0% r- au
à laquelle on peut joindre la suivante
S^. âx , dv
