X -j H .ioi « = -p
obtenue en échangeant les indices o et i . Si l'on pose
[ ^f?i àpi dpt
ces deux relations deviendront
(89) SaX, = .3,„-.„ Sa,X = .5,„-.
En difierentiant les deux membres par rapport à po et remplaçant toujours les dérivées de X, X, par leurs valeurs, on en déduit les deux suivantes
Continuons encore et différenlions la première de ces relations par rapport à p^. Il viendra
ou, en remplaçant v AX| par la valeur (89),
3o2 LIVRE Vni. — CHAPITRE XII.
Si les coefficients de Xa, Y2, Z^ n'étaient pas égaux dans les deux membres, l'équation précédente exprimerait que, pour chaque ligne de courbure sphérique, la tangente est parallèle à un plan déterminé; c'est-à-dire que cette ligne se réduit à un cercle. C'est une hypothèse que nous pouvons écarter, et il est, par suite, permis d'écrire les trois relations
OOj f/Çi (Jp^
auxquelles on devra joindre les suivantes
(92) -—^eA, ==B, ^,C,
00 (Jp dp
que l'on en déduit en permutant p et pi .
Pour obtenir toutes les relations qui nous seront nécessaires, nous n'avons plus qu'à ajouter les deux équations (89), après avoir différentié la première par rapport à p, et la seconde par rapport à p, ce qui, en tenant compte de la formule (56) et des relations (91), (92), nous donnera
Tp
àp,
ou
encore
Saxs.,x^S-'S'^'^-S«'S
AA,+ HB,+ (:C,= '|'-^^.
106î2. Toutes les relations (89) à (93) auxquelles nous avons été conduits se rapportent à la représenlion sphérique des systèmes orthogonaux cherchés. En les combinant et les difï'érentiant, on en déduirait d'autres ; on pourrait même supposer qu'elles conduisent à de nouvelles relations entre les A et les s. Leur intégration est loin de paraître facile; mais il est inutile de l'entreprendre. Il nous suffit de savoir qu'il existe des systèmes orthogonaux à lignes de courbure sphériques dans un système, et que nous avons entièrement éliminé des relations finales les fonctions a, (3, Y, M, r; de sorte que, lorsqu'on aura un système, de valeurs pour les huit fonctions de pet de pi, A, Ai, ..., £, £4, toutes les fonctions a, (3, y, w et f qui satisferont aux équations (87), (88)
GÉNÉRALISATIONS DIVERSES. 3o3
conviendront à des systèmes orthogonaux admettant une famille de lignes de courbure sphériques. Comme les conditions d'intégrabilité sont remplies pour les équations (88) en vertu des relations (87) etigiV on voit que les fonctions u et c se détermineront par l'intégration des deux équations (8-); puis les coordonnées a, (3, y du centre de la sphère contenant la ligne de courbure sphérique seront données par les quadratures suivantes
l 3t = / -Kv dz -^ Xiu d^\,
(94) I 2,= f^vdo + ^,udo„
I 7 = / C p rfp -I- Cl a </p I .
Ainsi :
Toutes les fois qu'il existe un système orthogonal à lignes de courbure sphériques dans un système, il y a une infinité de systèmes analogues dépendant de deux fonctions arbitraires d'une x^ariable et admettant la même représentation sphérique que le système proposé.
1063. Nous allons compléter cette proposition en montrant que, parmi ces systèmes associés au premier, il en existe pour lesquels les sphères qui contiennent les lignes de courbure passent par un point fixe et qui, par suite, peuvent être considérés comme les inverses de ceux que nous avons déterminés plus haut in" 971).
Pour cela, il faut montrer que l'on peut satisfaire à la fois aux équations (87), (94) et à la relation
par laquelle on exprime que la sphère contenant la ligne de courbure passe par l'origine des coordonnées.
Si l'on différentie l'équation précédente par rapport à p et à p,, on obtient les deux relations
Uïi -+--.-= Aa -)- B 3 -t- Cy,
Ou . T^ <- r^
f £ -H ^— = A -H B, J-+- CiY. <7pi
3o4 LIVRE VIII. — CHAPITRE XII.
Mais si l'on dirtérentie la première de ces équations par rapport à p<. ou la seconde par rapport à p, on n'obtient pas d'équation nouvelle, en vertu de la formule (93). Cela suffit à montrer qu'il y aura des solutions communes aux équations (87), (90) et (96). Au reste, voici comment on pourra les obtenir. La dilTérentiation des équations (96) donnera les deux écjuations
En éliminant a, [3, y entre les cinq équations (90), (96), (97), on aura deux équations du second ordre en u et p, qui, jointes aux précédentes (87), formeront un système complet.
1064. U est ainsi établi que tout système orthogonal à lignes de courbure sphériques a même représentation sphérique qu'un système analogue, pour lequel les sphères contenant les lignes de courbure passent par un point fixe, et qu'il pourra, par suite, être obtenu par l'application de notre méthode générale de dérivation aux systèmes orthogonaux, déterminés plus haut, pour lesquels les lignes de courbure sont planes dans un système. Nous terminerons ce Chapitre en développant cette application. Et, à cet effet, nous nous appuierons sur la remarque suivante :
Soit (S'i ) le système cherché, défini par les fonctions x ^ , y\ , x;', de p. Pi, P2; soit (S„) l'un quelconque de ceux qui admettent même représentation sphérique, défini de même parles expressions des coordonnées a;^, /„, z^^. (S,) ser^ déterminé par les trois équations
où 12' est une solution convenablement choisie des trois équations auxquelles satisfont a:,,, y„, ^,,. Comme on a, par hypothèse,
a, j3, y, r étant des fonctions qui ne dépendent pas de po, la diffé-
GÉNÉRALISATIONS DIVERSES. Joj
rentiation par rapport à oo nous donnera ou, ce qui est la même chose,
L'équation (98), écrite pour i = Oo; prendra donc la fornie suivante
d'où Ton déduit, en intégrant,
< 100 > 0' = a j-y -H j vé -I- 7 ^0 -*- ^•
r ne dépendant pas non plus de Oj. Réciproquement, la condition précédente, qui est nécessaire, est aussi suffisante, comme on le reconnaît facilement en reprenant en sens inverse la suite du raisonnement.
1065. Ce point étant démontré, choisissons pour le système (S^,) l'inverse de celui que nous avons désigné par (So) et qui est défini par les formules (^82 ), (83). En posant alors
( loi)
