t-Jii

on aura

(lo-ï i

On pourra prendre pour Ci' le quotient

i^" étant la solution par laquelle on passe de (S„ 1 au système de même représentation sphérique (S,) défini par les formules (78) et (80); de sorte que Ton aura (n" 1057)

DARBOrX. — IV.

3o6 LIVRE VIII. — CHAPITRE XII.

Q. étant la fonction définie par la formule (78) et le symbole A se rapportant au système cyclique (Gq) (n° 1060) d'où sont déduits à la fois (So et (S|). L'équation (100) qu'il s'agit de vérifier prend donc la forme

( 1 04 ) 0" = a .r (, -+- p ro -+- Y iJo -I- s ^(1 .

En la difFérentiant par rapport à p2 et utilisant les équations telles que les suivantes

à Aiio â.fo i)p., àX

do-, ()iln ()o.

-0 = Al.>„

démontrées plus haut d'une manière générale, on trouve, après la suppression du facteur -r— ^> la condition

(io5 ) -— = a -^ h ji h Y \-->X-—'

</po (3'p2 <t^l 'Jpt Opi

Réciproquement, si cette équation est vérifiée, on en déduira, en remontant la suite du raisonnement, l'équation un peu plus générale que la précédente ( io4)

où y) ne dépend pas de p^. Mais, comme le système (Sy) a ses lignes de courbure planes, il y aura entre Xo, j^o, Zo une relation linéaire ne dépendant pas de po, qui permettra toujours de ramener la relation précédente à la forme ( io4); de sorte que l'on peut regarder les équations (io4) et (io5) comme absolument équivalentes.

Or l'équation (io5) peut évidemment être remplacée par la suivante

(106) Q =aX+ [jY -h yZ -H2^L)o-+-8,

ô étant indépendant de p^ comme a, [3, y, ....

D'autre part, si l'on remplace ii, i^o, par leurs valeurs, données plus haut (n'' 1060), et X, Y, Z par leurs valeurs données au n° 482, la relation à vérifier, divisée par 0, se ramène à la forme

GÉNÉRALISATIONS DIVERSES. Soj

où M, N. P ne dépendent pas de &o.

Pour que cette équation ait lieu identiquement, il faudra, comme on le reconnaît par la dillerentiation, que X se réduise à une constante. Les formules (io3) et (io4) montrent même que cette constante disparaîtra dans les dérivées de li', qui interviennent seules pour la définition du système cherché. On peut donc supposer

et il faudra alors que la fonction /(pa' se réduise à un polynôme du second degré en po. En égalant ensuite à zéro les coefficients des puissances de û>, on trouvera trois équations qui établiront les relations nécessaires entre les fonctions arbitraires a, ^. -;, r,.

Comme il fallait s'y attendre, la solution précédente exige l'intégration des deux équations aux dérivées partielles (77). intégration qui était déjà requise pour la détermination des systèmes à lignes de courbure planes et qui équivaut à la détermination des surfaces admettant même représentation sphérique que la surface (A).