iV^ ~ (i -f-a[i

Indication des différentes formes de 'If' {v) pour lesquelles l'intégration est possible. — Démonstration de différents résultats dus à MM. \\'eingarten, Baroni, Goursat. — Les cas les plus intéressants font connaître toutes les surfaces applicables sur le paraboloïde du second degré dont une génératrice rectiligne est tangente au cercle de l'infini. — Réduction de l'élément linéaire de ces surfaces à la forme de Liouville qui permet l'intégration des lignes géodésiques.

1066. Nous pouvons maintenant rattacher aux propositions des Chapitres précédents une méthode singulière par laquelle M. Weingarten a obtenu de nouveaux succès dans la recherche des surfaces applicables sur une surface donnée ('). L'éminent

(') J. Weingarten, Sur la théorie des surfaces applicables sur une sur/ace donnée. Extrait d'une lettre à M. Darboux {Comptes rendus, t. CXII, p. 607 et 706; mars 1891).

On pourra consulter aussi une Note de M. Golrsat, insérée au même Recueil, p. 707, et un Mémoire plus étendu du même auteur Sur un théorème de M. Weingarten et sur la théorie de sur/aces applicables, publié en 1891, au tome V des Annales de la Faculté des Sciences de Toulouse.

géomètre ne nous a pas fait connaître quels sont les principes qui lui ont servi de guide. Nous espérons que l'exposition suivante expliquera dans une certaine mesure pourquoi, appliquée à certains cas spéciaux, elle devait réussir.

Nous avons vu que les caractéristiques de l'équation aux dérivées partielles des surfaces applicables sur une surface donnée sont les lignes asvmptotiques de ces surfaces. Par suite, toute les fois qu'il sera possible, sinon de déterminer ces lignes asymptotiques. tout au moins d'en indiquer certaines propriétés particulières, le problème pourra être formulé d'une manière nouvelle et conduire ainsi à quelque résultat nouveau. La considération du système conjugué commun à deux surfaces applicables lune sur l'autre va nous permettre d'appliquer celte remarque générale

Nous commencerons par supposer que nous avons une solution particulière du problème, c'est-à-dire que nous connaissions une surface admettant un élément linéaire donné. Si x^, r,, z^ sont les coordonnées d'un point de cette surface (©i), l'élément linéaire sera déterminé par l'équation

( I ) ds- = dxi -+- d}'\ -^- dz\.

Posons

{2) j-i = «. i-i-f-r;! = r, l'i — izi^=-iw.

iv pourra être considérée comme une fonction de u et de p, dont nous écrirons la différentielle sous la forme classique

(3) dw ■= p du -^ q d\-.

et l'élément linéaire considéré prendra la forme

( 4 ) ds'^ = «t/m- -(- 2 dv div = du- -+- 2/) du dv -^ iq dt-.

qui est précisément celle qui sert de point de départ à M. Weingarten.

La manière même dont nous y sommes conduits montre qu'on pourra la reproduire, une fois obtenue, avec six constantes arbitraires, en effectuant sur x^, j'i, Zf une substitution linéaire orthogonale quelconque. Il est vrai que la relation entre u, c, w contient des imaginaires lorsque la surface (6| ) est réelle; mais ici encore, on pourra utiliser ces solutions signalées au n° 704,

3lO LIVRE Vm. — CHAPITRE XIII.

et pour lesquelles deux des coordonnées x\,, y^. ^i sont des fonctions réelles, la troisième étant une imaginaire pure. Si c'est z^, par exemple, qui est purement imaginaire, on reconnaît imédialement sur les formules (2) que w sera une fonction réelle des variables réelles u et r. Les substitutions orthogonales auxquelles on a le droit de soumettre Xt, yi, z^ pourront alors revêtir une forme réelle quand on y remplacera ces coordonnées par leurs expressions en u, c, w.

1067. Soient maintenant a;, y, z les coordonnées rectangulaires d'un point de la surface (0) qu'il s'agit d'obtenir et qui est applicable sur la surface (<")i)' Si l'on fait rouler la surface ((")i) sur la surface (0), une droite isotrope in\ariablement liée à (0i) coupera le plan de contact de (0) et de (0i) suivant un point dont le lieu géométrique sera une de ces surfaces (i') pour lesquelles les lignes de courbure correspondent au système conjugué commun à (0) et à (0|). Prenons la droite isotrope particulière (d) qui, rapportée aux axes invariablement liés à (04), est représentée par les équations

(5) .'i — o, )i-i- i zi — (),

c'est-à-dire par les suivantes

et proposons-nous de déterminer les coordonnées X', Y', Z' du point où elle coupe le plan de contact de (0) et de (0|), Pour cela nous appliquerons la méthode donnée au n" 968; les coordonnées cherchées sont évidemment de la forme suivante :

A et B étant des coefficients indépendants du choix des axes. Par conséquent, les surfaces (0), (0i) étant applicables l'une sur l'autre, on pourra appliquer ces formules aux axes 0,j;(.

ôv

ôz

NOUVELLES CLASSES DE SURFACES APPLICABLES. 3ll

OiXt, Oi 3i auxquels est rapportée la surface {S), sans changer la valeur de A et de B. On aura donc

OU av

(8) ^Y'. = .,-.A^^-hB'^,

Les équations de la droite isotrope {d) nous donnent X', = o, Y', -t- /Z', = o.

et l'on a dailleurs. en vertu de la définition de u et de t-,

àx\ àxi

f)(vi -+■ i Zi ) '^ >'i ■+■ izi I

il viendra donc

Vi-s-fCi = t. —^ — ^ = o. -^ — =i;

du àv

de sorte que les coordonnées du point de {1') seront déterminées par les formules

dx dx

au av

„ àz ôz

\ <^a av

Il est très aisé de déterminer les cosinus directeurs C, G', C de la normale à (2'). Si l'on différentie, en effet, les formules précédentes, on trouve

d\ =— if d V d^r-j

au av

l^io» (d\' = —ud^ vd-^i

au av

dZ = — ud^ —vd-T-' du av

3l'.), LIVRE VIII. — CHAPITRE Xlll.

Comme on doit avoir

il viendra

(il- -H (iy- -I- dz- := (lu'- -t- }.p du dv -+- •.>. (j dv"-,

(lO

().r >).r Oy <)y ')z <)z au ()v i)u ()v i)u i)v '

et l'on déduira de là, eu égard à l'équation (3), les deux relations

identiques

, . o àx ,f).f ri ()x ()x

qui, rapprochées des formules (10), nous permettent de prendre pour les cosinus directeurs de la normale à la surface (i') les valeurs suivantes :

(lu ou- (lu.

Ces valeurs C, C, G" subsisteraient sans modification si l'on substituait à la surface (2i') la surface plus générale (i") définie par les formules

I \ = .A- ( t( — //„) - -■ —((,- (.„) — 5 1 ()U (IV

1 (lu (Iv

OÙ 7^0, ^\, désignent deux constantes quelconques. Au reste, la surface (I^") est de même définition que (^'); elle est décrite par le point OÙ la droite isotrope (ûf") parallèle k [d) et définie par

les équations

./■j = /<„, j'i -+- iz\ = ro,

coupe le plan de contact de (6) et de (0|)- Tous ces résultats sont en parfait accord avec ceux qui ont été démontrés au Chapitre VI de ce Livre. Toutes les surfaces (2") ont, aux points cor-

NOUVELLES CLASSES DE SURFACES APPLICABLES. 3l3

respondanls, leurs plans laujj;ents paralh'ies; car. pour chacune d'elles, ce plan tangent est le plan projetant la droite isotrope correspondante. Elles ont de plus même représentation sphérique de leurs lignes de courbure (n° 947); et ces lignes de courbure correspondent aux courbes du svstéme conjugué commun à (B) età(e,).

Introduisons ici la définition suivante : étant données plusieurs surfaces qui se correspondent point par point, désignons sous le nom de résultante de ces surfaces celle qu'on obtient en ajoutant géométriquement les rayons vecteurs qui joignent un point fixe de l'espace aux points correspondants des surfaces données. Il est clair que la surface (i") la plus générale sera la résultante de la ëurface (2') et de deux autres surfaces homothétiques aux suivantes (2„) et (2), qui sont respectivement définies par les équations

Toutes ces surfaces se correspondent par plans tangents parallèles; la surface (i„) est une sphère: quant à la surface (— ), elle a même représentation sphérique de ses lignes de courbure que les différentes surfaces (2") ; et, par conséquent, ses lignes de courbure correspondent au système conjugué qui est commun à (6) et à (e,).

On peut encore rattacher d'une autre manière la surface (2) aux surfaces (-"). Si l'on suppose que, dans les formules (i4)? ^^"0 grandisse indéfiniment, la droite isotrope correspondante {d') s'éloigne indéfiniment dans le plan

rattaché à la surface mobile. La surface (i') s'éloigne aussi indéfiniment; mais la surface homothétique décrite par le point dont

les coordonnées sont

' Vo V» Va

3l4 LIVRE VIII. — CHAPITRE XllI.

demeure à dislance finie et se réduit à la surface (2) définie plus haut.

1068. Celte surface {!) est précisément celle qui sert de base aux recherches de M. Weingarten. L'éminent géomètre l'introduit directement par les formules (i6) et l'identité (12), déjà démontrée,

Sàx , r)j- - a — =0,

montre alors que les cosinus directeurs de la normale à la surface sont bien les quantités G, C, G" définies par les formules (i3). Nous allons chercher directement les lignes de courbure et les rajons de courbure principaux de la surface (2). Mais auparavant nous remarquerons que, lorsque (2) sera connue, la surface (0) sera définie par les formules suivantes :

du -+- X dk',

(17) }y^Cc'du-h\di^,

C'du -+- Z d(>;

et nous signalerons les identités

( CX + C'Y-^G"Z=y>, (10) •;

I X2 ^ Y--Î -+- L- =-iq,

d'où il résulte que p sera la distance de Vorigine au plan langent de (2) et 2q le carré de la distance de la même origine au point de contact de ce plan langent.

1069. Gela posé, cherchons les lignes de courbure et les rayons de courbure principaux de la surface (2). Les équations d'Olinde Kodrigues

d\ -+- p dC = o, d\ -H p dC =0, d'L ■+■ p </C"= o

nous donnent ici la suivante

à-^.r &^x [(Px fr-x \

I I q ) -T — r- du -\ ; — dv ^r o\ - — dit H — ■ — dv = o

■" àaôv ()v^ ' \àu^ /)udi> /

el les deux équations analogues en r et z. Or, si l'on conserve les notations du Livre VII, Chapitre III, le système (36) [III, p. 25 1] devient ici

au dv ~ H^ "^ •^-

duj àx' au

s I dx àx\

D, D', D" étant les déterminants d(^'jà définis et r, 5, t les dérivées secondes de «■, considérée comme fonction de m, v. Si, dans l'équation (19), on remplace les dérivées secondes de x par leurs valeurs (26) et si l'on égale à zéro le coefficient de c ainsi que celui

âx

p-r--i on trouvera les deux équations

D' </« -f- D' rfr -I- p ( D rfa -H D' dv ) = o,

s du -h t dv -+- p( r du -+- s dv ) = o,

qui détermineront à la fois p et y-- L'équation différentielle (21) ( D' du -+- D' dv) (rdu ■+- s dv) — (D du -t- D' dv)(s du -+- f dv ) = o,

qui résulte de l'élimination de p, définira les lignes de courbure et l'équation

fera connaître les rayons de courbure principaux.

Le premier membre de l'équation(2i) est évidemment de la forme quadratique harmonique aux deux suivantes :

D du-^ r du- ■

2 D ' du dv 2 s du dv

D" dv\ f dv*'.

qui, égalées à zéro, déterminent respectivement les lignes asymptotiques des deux surfaces (^B) et (Bi). On vérifie ainsi que les lignes de courbure de (2) correspondent bien au système conjugué commun à (B) et à (B< ). Quant à l'équation (22), elle peut

3l6 LIVRE VIII. — CHAPITRE XIII.

être remplacée par les deux suivantes :

(23) rp'^"-+- .s-(p'-i- p") -I- ^ = o,

(24) Dû'p"-h D'(p'-t- p")-h D"=o,

OÙ p' et p" désignent les deux rayons de courbure principaux, et dont nous aurons à faire usage plus loin. On en déduit, en particulier, que l'on aura identiquement

6*^- (tu <)V <)V-

comme on le voit en utilisant le système (^o). Il nous reste maintenant à indiquer les conséquences.

1070. Nous remarquerons d'abord qu'on peut, en quelque sorte, supprimer la relation entre (0) et (2), en définissant directement cette dernière surface.

En effet, dans l'équation (28) et dans les valeurs de /', 5, t, exprimons a et (^ en fonction des variables p Qiq qui ont par rapport à (i) une signification géométrique déterminée, indiquée à la fin du n" 1068. Nous aurons ainsi une relation entre les rayons de courbure de (li), les dislances de l'origine au plan tangent et au point de contact, c'est-à-dire une équation aux dérivées partielles du second ordre à laquelle devra satisfaire (i). Voici un moyen élégant de faire le calcul. Posons

(26) 9 = Up -+- (-'(/ — w,

et exprimons cp en fonction de p et q. Comme on a, en diffé-

rentiant,

fh = u dp ■+- V dq^ on pourra poser

De plus, les équations

dp = /■ du H- .V r/c, dq ■=^ s du -+- t dv,

qui définissent les dérivées secondes, nous donnent

,f)-o f dp — s dq , ,f)o r dq — .v 1

du = d -' = — -^ <lv = rt--^ :=

()p rt — .s- ()q rt — s-

NOUVELLES CLASSES DE SURFACES APPLICABLES. 3l7

et, par suite.

àp- 1 1 — v- f)p t)q rt — V- 'hf- rt — 5-

G'est la transformation bien connue de Legendre. qui revient à remplacer la surface ( 6| ) par sa polaire réciproque relativement au paraboloïde défini par l'équation (' )

Après cette transformation, l'équation (28 ) à laquelle satisfait (i) prend la forme

<//)- op ijq ifq-

et les formules définissant la surface (8) deviennent

àp ' f}q

')p ' àq

Quant à l'élément linéaire de (©), il s'exprimera comme il suit :

( 32) f/s-= {d-r- ] -+- ipd -^d~- -^ iqid-— \ •

\ fJp J ^ i)p i)q ' \ oq I

1071. Nous allons maintenant démontrer la réciproque : si la surface (i) satisfait à l'équation aux dérivées partielles (3o), les formules (3i) déterminent une surface ( B ) admettant l'élément linéaire donné.

Comme la formule (Sa ), équivalente à celle (4) qui a servi de point de départ.' résulte immédiatement des équations (3i) en

i^) En effet, d'après les formules (2) qui relient u. v, «' aux coordonnées rectangulaires vT;. >',, -,, on voit que ces variables u, v, w constituent, elles aussi, un système de coordonnées rectilignes. de sorte que la transformation indiquée dans le texte équivaut à prendre la polaire réciproque de la surface (B.), admettant l'élément linéaire donné, relativement au paraboloïde défini en coordonnées rectangulaires par l'équation

y — i z = jc'-^iy ^ i z)-.

3l8 LIVRE VIII. — CHAPITRE XIII.

admettant qu'elles soient établies, tout se réduit à démontrer que les expressions telles que la suivante

op ()q

sont des différentielles exactes.

Or, aux équations d'Olinde Rodrigues, qui définissent les lignes de courbure

d\ -+- p c/C = o, <l\ -h c dC ^ o. dZ -4- p dC"= o, on peut adjoindre la suivante

(34) dq -h p dp =: o.

que l'on obtient en les ajoutant après les avoir multipliées respectivement par X, Y, Z. Si donc on a pris p et rj pour variables indépendantes, on aura, pour chaque ligne de courbure,

-— dl> -I- -T- dq -^ ai dp -h dq ) = o,

et, en remplaçant -j- par sa valeur déduite de l'équation (34).

^ V 'Ir '^q / '^ ')q " '"

de sorte que l'on peut poser

àC àC r)\ 1 ^' ^^ 'àq - àp~à^'

et de là on déduit

)^=-''àq'

^ ()q op <)q

Ces relations, auxquelles il faut joindre les formules analogues en Y et C, Z et C", constituent une des propriétés du système de coordonnées curvilignes/;, q.

Cela posé, écrivons la condition d'intégrabilité de la diffiéren-

NOUVELLES CLASSES DE SURFACES APPLICABLES. 3l9

lielle (33); il viendra

>)q \ àp^-

àp àq J

àp àq

àq^-

àC <r- Ç / >)\ r)C \

âq àp- \àq àp J

àpàq

à\ à-z àp àq-

II suffit de tenir compte des relations (36) pour voir apparaître le premier membre de l'équation (3o) multiplié par 3- • Notre réciproque est donc complètement démontrée.

1072. Nous avons ainsi réalisé une transformation radicale de l'équation aux dérivées partielles qu'il s'agissait d'intégrer, et notre remarque du début nous montre que, pourvu que Ion connaisse une surface particulière admettant un élément linéaire donné, la détermination complète des surfaces admettant ce même élément linéaire pourra toujours se ramener à l'intégration d'une équation de la forme (3o). Comme on a ici. d'après la formule (21) [III, p. 246]

(38) DD'— D'ï=A-^— //.

l'équation à laquelle satisferait la coordonnée x relative à la surface (©) serait, en remplaçant D. D'. D" par leurs valeurs tirées du système (20) et faisant quelques réductions,

(àx àx\ / à^x , '^•^' à-x\

àr ~P àît) \àïF ~ ^'^JiTih- ^ '1)^)

Il reviendra au même d'intégrer cette équation, ou celle (3o) que nous avons formée plus haut et qui détermine (- 1.

Nous savons [n" 703) que l'équation précédente admet pour caractéristiques les lignes asjmptotiques de la surface (0) définies par l'équation différentielle

( 40 ) D ^«ï -)- 2 D ' du dv -^W r/i* = o.

3?.0 LIVRE Vin. — CHAPITRE XIII.

Ces caractéristiques sont aussi celles ([ui conviennent à l'écjuation (3o). On pourrait, comme l'a fait M. Goursat dans le Mémoire cité plus haut, établir ce résultat par un raisonnement a priori. Nous nous contenterons de remarquer que les caractéristiques de l'équalion générale aux dérivées partielles

(4l) *Ip'p"-+- l^lp -+- ?" } H- I^ = O.

OÙ p', p" désignant toujours les rayons de courbure principaux, les fonctions H, K, L ne contiennent que les coordonnées X, Y, Z du point et les cosinus directeurs C, C, C" de la normale à la surface, sont déterminées par l'équation différentielle

( 4.>- ) H ^ rK: rf\ — K ^ ./C^ ^ o.

Cette équation, à laquelle conduit l'application régulière des méthodes générales, deviendra ici

')q-^ O àp <)(] O

ou, en tenant compte des formules (28),

( 43 ) r C r/C r/\ — .V C rfC:' = c.

Or, calculons les trois formes quadratiques

relatives à la surface (i), et qui définissent, pour cette surface, les lignes asjmptotiques. les lignes de longueur nulle et les lignes de longueur nulle de la représentation sphérique; c'est-à-dire trois systèmes de courbes divisant harmoniquement les lignes de courbure de (i). Un calcul facile, où l'on aura à employer les formules (20) et à tenir compte de l'identité (38), nous donnera

k dC- — .- ., ( 1 ) <:/m2 -(- 2 D' du dv -1- D" dv"- ) -f- ;.- ( /• du- -+- > s du dv -+- t di

( 44 ) < V r/G d\ = jy;; ( 1 > du- -^ iX)' du dv -+- D" di>- ) H- -j; ( /' du- -1- 2 .« du dv -h- t di

V d\- = yy- ( 1) du- -+- > D' du dv -\- D" dv'- ) -j- ,- ( /■ du- -+- '>.s du dv -^ 1 di

Ces relations permettent, en premier lieu, d'établir le fait annoncé et de mettre en évidence l'identité des deux systèmes de caractéristiques définis par les équations (4o) et <^43)- Elles montrent aussi que les trois familles de lignes précédentes sont en involution avec les lignes asymptotiques des surfaces. (B) et (0|». 11 fallait s'y attendre, puisqu'elles divisent toutes harmoniquement le réseau formé par les lignes de courbure de ( i'>. qui correspond au réseau conjugué commun à (Q) et à ( ©iV

1073. On peut faire des applications diverses des résultats précédents. Nous présenterons dabord la remarque générale suivante.

Supposons qu'on veuille déterminer toutes les surfaces admettant un élément linéaire donné. La connaissance d'une solution particulière ( 0| ) nous permettra de ramener le problème à l'intégration d'une équation de la forme (3o^. Cette intégration étant effectuée, onconnaîtra un nombre illimité de surfaces (0'.i admettant l'élément linéaire donné; et à chacune délies correspondra une forme déterminée de l'équation (3o). Donc, lorsqu'on sait intégrer une équation de cette forme, il en existe un nombre illimité d'autres de même forme, mais où la fonction z, aura une détermination diflérente. que l'on saura intégrer. Rappelons même pour plus de netteté la signification géométrique de la fonction ■^. Nous avons vu que l équation

représente, si l'on y regarde les variables p. q. w comme des coordonnées cartésiennes, reliées aux coordonnées rectangulaires par les formules (2), la polaire réciproque de l'une des surfaces admettant l'élément linéaire donné, prise relativement au paraboloïde représenté par l'équation (29) donnée plus haut.

Pour examiner maintenant quelques applications particulières, envisageons d'abord l'élément linéaire de la sphère

En prenant ici

.ri = ?/ = cosO, f = T'i ^ /^i = sinfle''r', iw = >'i — ?;i = sin6e— '!',

l'équation

nous donnera la relation

2VW = l — U-,

d'où l'on pourra déduire