V ^ IV- ■ V

L'équation (3o) devient ici

Elle exprime que la sphère ayant pour diamètre la droite qui joint les deux centres de courbure principaux de (2) doit passera l'origine des coordonnées. 11 n'y a là qu'un fait curieux, l'équation précédente étant plus compliquée que celle des surfaces à courbure constante.

107i. Pour obtenir d'autres applications, nous remarquerons une conséquence intéressante des équations (44) relatives aux trois familles de lignes tracées sur (D). Il faudra une seule condition pour que les lignes qui composent Vune de ces trois Janiilles deviennent les caractéristiques de Véquation aux dérivées partielles (3o) à laquelle doit satisfaire la suif ace (D). .

Si l'on veut, par exemple, que ces caractéristiques soient les lignes de longueur nulle de la représentation sphérique, il faudra supposer

/• = O OU -— ! = o.

La fonction la plus générale satisfaisant à cette condition sei'ait

9 ^ çf(p)-^A(p);

on verra aisément qu'on ne restreint pas la généralité en supposant f(p) =/>< ce qui permet d'écrire o sous la forme

NOUVELLES CLASSES DE SURFACES APPLICABLES. 3a3

et l'équation à intégrer deviendra

On aura ici

de sorte que l'élément linéaire de (0) pourra s'écrire (^48) ds"- = ffn- -^ oc clu di -+- fï>.^/ -♦- 2r--i- -i-V iv )'[ dv- .

Posons

il viendra

(50) </s- = rfaî -1- 2[j/i -f- •y(r)]rf<.-ï.

La détermination de toutes les surfaces qui admettent cet élément linéaire sera ainsi ramenée à l'intégration de l'équation aux dérivées partielles (46).

Or cette équation prend une forme très simple si 1 on emploie le système de coordonnées tangentielles défini au n" 165, c'està-dire si l'on regarde la surface ( -^ comme l'enveloppe du plan dont l'équation est

On aura ici

/ 'It ^ r ^ "*" -^ .