I -+- at|i

ai — I

et un calcul facile donnera les formules très symétriques

/ ,. ^ .1-^ a3)2 (àp àC àp ÔC\

1 ,- ^. I I -H ai )- I dp àC ôp <)ÇJ\

/ „ ^„ (i-^a3)^ (dp àC' àp dC'\

Oa déduira de là

r55) „ = X--+- V--^Z-^ ^ p^- (i + gp)^ dp dp

^ ' ' ■>. 2 2 àoi df

Les rajons de courbure sont exprimés par la première des équations (33) [1, p. 246], qui donne ici

et, par suite, l'équation (46) prendra la forme extrêmement simple

Lorsque l'on aura intégré cette équation, on aura x, y^ z par les formules Cii)', ce qui donnera, après quelques réductions,

U\ ayant la valeur définie par la formule (49)5 qui devient ici

Or il suffit de se reporter aux propriétés des lignes géodésiques et à la forme (to) de l'élément linéaire pour interpréter géométriquement les formules qui définissent (2).

Considérons la surface auxiliaire Ç^x) définie parles équations

(60 ) ,rj = .r — Cu[, .'■i=J' — G'«i. ^i=; — C'uv

Il résulte immédiatement des équations (58) que l'on a G d.i\ -+- C dy'i -+- G" dzi = o.

Par conséquent la surface (2i) est une développante de (0) suivant le système de lignes géodésiques de paramètre p : ce sont les courbes de paramètre v sur {^\) qui auront pour développées les lignes géodésiques de (0).

La surface ( i, ) est déterminée ponctuellement par les formules I 60 I. On peut la déterminer langentiellement en la considérant comme enveloppe du plan défini par l'équation

Cxi-f- C Vi-i- C'^i-T- 7 =0

ou encore

I 61 ) (a -t- 3 >J-iH- i(p — a)vi-t- (2,3 — i)Zi-i-oi = 0,

ce qui donne les relations

(ftà

-3 ^ J-i — ni -^.i;i = o,

ox

à- o) 'h- 1 . ày'x ^ àz i âoL- âiL du dT.

<P(3} àxi .àji ^ âzi aoL oit d'j Oj a'^

et deux autres relations semblables faisant connaître -tf^i -^r-'

dp ap-

On déduit de là

-— — iJ ■ ~^-

dx '>>

-/['(iy--Kiy^?-^'<''>'-^^]^

et ces trois équations, toujours compatibles, détermineront jj. Les termes de la forme

A -f-Ba-,- CW Da.i

introduits par les intégrations conviennent à des surfaces qui se déduisent les unes des autres par une translation ou par le passage à la surface parallèle.

On voit que les lignes de courbure sont déterminées (n° 163) par les équations différentielles

Donc, comme il fallait s'y attendre, une des familles est formée

326 LIVRE VIII. — CHAPITRE XIll.

des courbes

p = const.,

auxquelles correspondent sur (0) les lignes géodésiques de paramétre V.

1075. En résumé, les formules auxquelles nous avons éké conduits font dépendre la détermination de toutes les surfaces (0) dont l'élément linéaire est donné par la formule

( 63 ) cW- = dii] -h ■?. [i/i -h i/'(c)] dr-

de l'intégration de l'équation aux dérivées partielles

àa à^i (' I H- a[i)-

ou de la détermination des surfaces (2) dont les rayons de courbure satisfont à la relation

dans laquelle p désigne la distance de l'origine au plan tangent.

Malheureusement, quelque simple qu'en soit la forme, l'équation aux dérivées partielles (64) n'est pas intégrable en général. M. Weingarten, et ensuite M. Goursat, ont cependant indiqué quelques cas dans lesquels on peut obtenir son intégrale générale.

Supposons, par exemple, que la fonction j/" soit linéaire, et posons

/n désignant une constante quelconque. L'équation (64) deviendra

et, si l'on effectue la substitution

elle se réduira à l'équation d'Euler

((\n\ '^''' in{i — m)v

que nous savons iulétirer, soit par des formules finies lorsque m est ealier, soit par des intégrales définies dans tous les autres cas (Livre IV. Chap. III et IV).

Alors la relation (65), qui sert de définition à la surface (2), sera

6g y -+- s'-+- -ip =^ m (m — i )/>.

•Si Ion mène le plan perpendiculaire à la normale d'une surface à égale distance des deux centres de courbure, il enveloppe une autre surface à laquelle nous donnerons ici le nom de développée moyenne àe la première (M. Gomme la dislance de l'origine à ce plan e>t

on voit que l'équation (69) exprime que la développée moyenne de la surface < i) est une surface homothétique à ( — ) (- ).

■ 'j Au n" 912 nous avons déjà donné le nom de développée moyenne k la surface décrite par le milieu du seg^raent formé par les centres de courbure principaux. Nous mettrons à profit cette occasion pour rappeler ici que Ribauconr a introduit avec succès deux surfaces dilTérentes dans la théorie des congruences rectilignes : Tune, la surface moyenne, décrite par le milieu du segment focal; Tautre. l'enveloppe moyenne, enveloppe du plan perpendiculaire sur le milieu du segment focal. Quand la congruence rectiligne est engendrée par les normales d'une surface (H). on a ainsi deux surfeces distinctes rattachées à > S). On pourrait. si on les rencontrait dans une même étude, les désigner respectivement sous les noms de développée moyenne ponctuelle et de développée moyenne tangentielle.

(*) Les surfaces jouissant de celte propriété avaient été déjà considérées par Ribauconr et par M. Appell dans le cas particulier où m = o et ou, par suite, la développée moyenne se réduit à un point. Elles avaient été étudiées pour toutes les valeurs de m par M. Gonrsat. Le lecteur pourra consulter les Mémoires suivants :

A. RiBAitocR. Mémoire sur la théorie générale dés sur/aces courbes. Cliapitre VI (Journal de Mathématiques pures et appliquées, t. VII. 4' série, 1^91. présenté en 18-6 à l'Académie des Sciences).

P. Appell, Surfaces telles que l'origine se projette sur chaque normale nu milieu des centres de courbure principaux (American Journal of Matbematics. t. X, p. 175; 1S88).

E. GocRSAT. Surfaces telles que la somme des rayons de courbure principauœ est proportionnelle à la distance dun point fixe au plan tangent. (Même Recueil et même tome. p. 187).

Mais, il est juste de le reconnaître, c'est à un jeune géomètre italien, M. Ettore Baboxi. que revient le mérite d'avoir, le premier, signalé qu'à chaque sarface liomothétjque à sa développée moyenne on peut faire correspondre une sarface

Examinons les cas particuliers les plus intéressants. Pour 7?2 = o ou m = i, les surfaces (0) sont les développées des surfaces minlma; cela résulte de la forme même de leur élément linéaire ( n" 751). La surface (i) est celle dont la développée moyenne se réduit à un point. 1^'équation (68) s'intègre alors sans difficulté et nous donne

'•=/(«)-+- /o(P)- Pour m = 2, on a

Ce cas intéressant avait été étudié depuis longtemps par M. Weingarten dans un Mémoire cité plus loin [p. 335] et inséré au Nachriten de Gœtlingue. Les surfaces (i) se réduisent aux surfaces minima; elles sont, par suite, identiques à leur développée moyenne.

1076. Considérons, d'une manière plus générale, la fonction vp définie par la formule

(71) J;'(c) = '"(i — "0^ + Ar,

OÙ A désignée une constante quelconque. L'équation (64) à intégrer prendra la forme

(T- (• 1)1 ( I • — tn ) (• -t- A

Et il est clair que si m(i — m) n'est pas nul, on peut, parla substitution très simple,

la ramener à l'équation (67). D'ailleurs l'hypothèse m{i -- m) = o,

admettant un élément linéaire donné; de sorte que l'intégration complète de l'équation (69) pour une valeur donnée de m fait connaître par cela même toutes les surfaces qui admettent un même élément linéaire. Fo//le Mémoire intitulé : Superflue S in cui la somma dei raggi principali di curvatura è proporzionale alla distanza di un punto flsso dal piano tangente^ inséré par M. Baroni, en 1890, au tome XXVIII du Giornale di Matematiclie, p. 349.

nous donne

r = A Lo- r - a3) +/, a; ^/„(?).

L'élément linéaiie de 6

(Is- = du \ -+- ( 2 i< i -H 2 A V ) dv-

convient (n" 693) aux surfaces que nous avons reconnues être applicables sur le paraboloïde de révolulion. Les surfaces (i) correspondantes admettent comme développée moyenne une sphère. Pour le cas général de la formule (ji); ^^ développée moyenne serait homothétique à une surface parallèle à (2).

Comme on peut toujours remplacer (i) par une surface parallèle, notre nouvelle hypothèse ne donne donc rien d'essentiellement nouveau. Au reste, par un changement de notations, on peut toujours faire disparaître la constante A dans l'expression de l'élément linéaire, toules les fois que le produit md — m^ est diftérent de zéro.

1077. Pour trouver, s'il en existe, d'autres cas dans lesquels l'équation aux dérivées partielles puisse être intégrée, appliquons les méthodes régulières et commençons par chercher si elle peut admettre, par exemple, une intégrale première. Soit

cette intégrale première. Si on la différenlie par rapport à a, par exemple, on aura

, , ^F . d¥ ॠ<)U- /VF 'l'(v)

dv doi dp tJ-x- 'Jq < i -f- z j i-

p et (jf désignant les dérivées premières de v. En dift'érenliant par rapport à 3, on,*aura de même

d¥ , ôY d¥ yCr» d¥ dn-

di- ^ di dp ( I -H 3£ j )- dq oy

Si Tune ou l'autre des deux équations précédentes n'est pas véritiée identiquement, on pourra déterminer les trois dérivées secondes ou les deux dérivées premières de v\ et, par suite, les seules solutions qui pourront être communes à l'équation i~'^^ et

33o LIVRE VIII. — CHAPITRE XIII.

à la proposée contiendront louL au plus des constantes arbitraires. Supposons donc que l'une des équations (74)5 i']^)^ la seconde par exemple, soit vérifiée identiquement. 11 faudra que l'on ait

àq

L'équation (~3) pourra donc s'écrire //=.*(p, a, p),

et l'équation (70) deviendra

ce qui donne

<J;"(^) devra donc se réduire à une constante^ et l'on retrouve une des hypothèses déjà examinées.

1078. Voilà tout ce que donnerait la méthode de Monge. Essayons celle que j'ai proposée et qui consiste à chercher des équations aux dérivées partielles de tous ordres ayant en commun avec la proposée la solution la plus étendue possible. Nous nous bornerons à examiner le cas où ces équations sont du second ordre. On reconnaîtra aisément qu'elles doivent être de la forme suivante

ou de celle qu'on obtient en changeant a en (3. Pour déterminer F, il faut différentier par rapport à |3, ce qui donnera

d <>"((0 dF àF 6"{u)

(^a ( IH- afi)2 d'à àp' ( 1 + afi)-2

et exprimer que cette équation a lieu identiquement. Le développement du calcul nous donne

, , (l"'(p) , 2<I."(P)3 ⥠dF è"(p)

(l-+-ap)2^ (H ap)3 e^P dp' {i -+- ot.'^y-

NOUVELLES CLASSES DE SURFACES APPLICABLES. 33l

Comme F ne contient pas t-, on peut donner à x. ^, p' des valeurs constantes et l'on aura une relation linéaire entre ^J/" et '1/ . Ecartant le ca> déjà examiné ou <!*" serait constante, nous écrirons

et il restera à égaler les coefficients de -y, ainsi que les termes qui ne contiennent pas cette fonction, dans les deux membres de l'équation t -- ). C)n aura ainsi

'^F •> , ï j <^F hp'

i)p' Il 1 -*- ai 'Vj I I -t- aVr-

Pour que ces équations soient compatibles, il faut que l'on ail /i = — 2. Il vient alors

L'équation (761 prend donc la forme

On pourra de même poser

Quant à l'équation aux dérivées partielles, comme on déduit de l'équation (78). où 1 on a remplacé li par — 2. la valeur suivante de •j."

elle deviendra

âj.d'i. 11-1- riv-

al il ne restera plus qu'à trouver la solution commune aux trois équations ^79), (80) et (81).

Ce calcul n'offrirait aucune difficulté. Mais il vaut mieux, une fois l'équation obtenue, opérer comme il suit.

Effectuons la substitution

( 82 ) p = a Log( 1 -f- a[i ) -+- w.

L'équation (81) prend la forme

d^ ai h

dont Liou ville à donné l'intégrale (n° 726) ( ' ). (3n a (84) e^^Jl±^l,

A désignant une fonction arbitraire do a et B une fonclion arbitraire de [3. On trouvera donc pour c la valeur définie par l'équation suivante

(«») • ■ ^^-"^Bi^-

Quant à l'élément linéaire de (0), il sera donné par la formule

(86) ds^ = du\ -4- ( 2 ?/) -f- 2 ap r <^ " ) <^*^'-

Par une substitution de la forme

( V = ap -I- A,

on peut obtenir l'expression plus simple

( 88 ) r/52 = «4 [ du">- -f- ( 2 u' -h 2 c' + e2''' ) r/(/2 ].

Ce cas nouveau a été signalé par M. Weingarten. L'éminent géomètre a indiqué qu'on peut alors ramener l'élément linéaire à la forme suivante

(89) ds^-={'J.-^){^~^da^-^^^dr-

Cela nous conduit à présenter les remarques suivantes, par lesquelles nous terminerons ce Chapitre.

(') Les démonstrations de Liouville se trouvent, soit dans la Note IV de la cinquième édition de V Application de l'Analyse à la Géométrie par Monge, soit au Journal de Mathématiques pures et appliquées (i" série, t. XVIII, p. 71; i853).

1079. La forme générale

(go) ds- = dit\ -<- [ 2 «1 -I- 2 -y I f (] dv-

est évidemment un cas limite de celle qui convient aux surfaces réglées. Et, en etîet, il est possible de trouver toute une classe de surfaces réglées imaginaires admettant cet élément linéaire.

Si l'on se reporte aux calculs du n" 7!28, on trouvera que toutes ces surfaces réglées sont engendrées par la droite

les fonctions a\, a-,, a^. 6|, bo, b^ étant définies par les relations (2) [HT, p. 294], qui deviennent ici

a\- -+- a'-r -i- a'^ = o, «161 -f- «jè* -1- «363 = o.

a\ b'i -t- a', 6'î -i- a'^ 6'^ = i , «f -f- al -+- uf. — i .

b-2 ^ èV- - b'? ^26'ic).

La première de ces relations montre que les surfaces réglées cherchées admettent un plan directeur isotrope. Comme on peut supposer que ce plan soit parallèle au suivant

y -+- iz = o,

on trouvera aisément que. si a désigne une fonction de v et a' sa dérivée, on peut écrire les équations qui déterminent la surface sous la forme

r dv

(91) < r — iz-z^^-xiLi— \ :i' 'V iy\ di- — / — -,dv.

X = Ui — / —dv.

Inversement, toutes les surfaces réglées qui admettent un plan directeur isotrope ont leur élément linéaire réductible à la forme (90V

D'après cela, cherchons toutes les surfaces du second degré qui rentrent dans la classe précédente. Une seule est réelle, c'est le paraboloïde de révolution. Nous l'avons déjà examiné, et nous

avons même donné (n" 727) la forme de 4''(^) 4"^ correspond à son élément linéaire. Mais il y a d'autres paraboloïdes qui remplissent les conditions que nous venons d'indiquer : ce sont ceux qui admettent une génératrice rectiligne tangente au cercle de l'infini.

Considérons d'abord celui ([ui touche le plan de l'infini, en un point non situé sur le cercle de l'infini. Son équation pourra toujours se ramener à la forme

En substituant les valeurs (91) de x, y, z dans les formules précédentes, on verra aisément que Ton peut prendre

et l'on trouvera

( Ç)3 ) ■ 'Vi (•) = -- (.■ \ I — 2 ke *'^

C'est, aux notations prés, l'expression de 'Y {i') qui correspond au cas nouveau signalé par M. Weingarten.

On peut donc énoncer le résultat que nous lui devons en disant qu'il nous a appris à connaître toutes les surfaces applicables sur ce paraboloïde particulier dont une génératrice rectiligne est tangente au cercle de l'infini, le point de contact de cette génératrice et du cercle étant distinct du point de contact du paraboloïde et du plan de l'infini.

Considérons maintenant le paraboloïde dont une génératrice est tangente au cercle de l'infini, le point de contact de cette génératrice étant aussi celui où le paraboloïde touche le plan de l'infini. L'équation de la surface pourra être ramenée à la forme

Appliquant la même méthode que précédemment, on trouvera

C'est le cas qui a servi de point de départ à toutes les nouvelles

recherches de M. ^^ eingarten et qui a été signalé plus haut (n" 1075). M. Weingartea l'avait obtenu dès 1887 (M et il semble bien que la méthode que nous avons exposée dans ce Chapitre, et qu'il a ensuite appliquée aux cas les plus généraux, a son point de départ et son origine dans celle qu'il avait d'abord employée pour cette forme plus particulière de l'élément linéaire.

1080. Dans les deux hvpolhéses que nous venons d'examiner, M. ^^ eingarten, sans chercher si les éléments linéaires pouvaient convenir à des surfaces du second degré, a reconnu qu'ils sont, l'un et l'autre, réductibles à la forme de Liouville, ce qui permet l'intégration des lignes géodésiques. Ce point paraîtra maintenant évident au lecteur puisqu'il suffit, pour obtenir cette forme de l'élément linéaire, de rapporter une surface du second degré à ses lignes de courbure. Mais il ne sera pas inutile d'effectuer cette transformation de l'élément linéaire et de retrouver effectivement les expressions données par M. Weingarten. Nous nous contenterons seulement d'indiquer la marche du calcul, que rétablira aisément tout lecteur un peu versé dans la connaissance de la Géométrie analytique.

Soit

(96) fi^y yt -) = A. j:- -T- A' »■- -H A"^- -*- 2 B » .: ~ îB'xz — 2 B'xy

-i- -iCx -f- iC'y — C':; — E' = <>

l'équation d'une surface du second degré. Désignons par H le

hessien

de cette équation. Les lignes de courbure seront à l'intersection de la surface et des suivantes, où a désigne un paramètre arbi-

(') J. WsiîfGARTEy, Eine neue Classe auf einander abwickelbarer FlSchen {Nachrichten de Gœttingue. janvier. 1887, p. 28).

traire

àll àU àll àU àH à H

^j-^v-^' + r-^--) ^jç^-^ 5q,v ôâ' '' ' àX ■ àX' ■ âK

Si l'on pose

/,'= iii/^ À"= fi p,

/.' et X" étant les deux racines do l'équation en >. (98), on aura, pour l'élément linéaire de la surface, l'expression

da^

OÙ l'on a désigné, pour abréger, par A(S) le déterminant suivant

(loi) ' A(S) =

A — S B" ir

Appliquons d'abord ce résultat au paraboloïde défini par l'équation (92)

■> r- -f- 1 i yz -H '}. /. ,/■ = o. On aura ici

Il= — /,S A(S) = — S(S — 1)-^

V dv-

et il viendra

Pour le second paraboloïde, ayant pour écjuation

2 xy -¥■ lixz — 2 A" r -+- 2 i/i r = o.

on trouvera

de sorte qu'il viendra

( io3 ) di^- = A- ( ?/ — p ) ( ?/- du''- — V dv- ).

Ces résultats sont conformes à ceux qui ont été indiqués par M. Weingarten.

H)81. Bien que les paraboloïdes considérés dans les numéros précédents soient imaginaires, il nous a paru utile de les introduire pour préciser le degré de généralité des résultats nouveaux qui ont été obtenus dans la th«''orie de la déformation et pour bien montrer combien on est encore éloigné d'une solution quelque peu étendue du problème. Si l'on se place à ce point de vue, il ne sera pas inutile d'indiquer quebjues surfaces réglées, aussi simples que possible, admettant les éléments linéaires, indiqués par MM. Baroni et Goursat, pour lesquels la solution du problème de la déformation peut être obtenue d'une manière complète.

A cet etVet. nous remarquerons que si. dans les formules générales (91), on remplace la fonction arbitraire y. par av. on obtient une surface réglée admettant l'élément linéaire (63) et définie par l'équation

(io4 ' — / ; = 2 ./■( r — /;) — - ' »' — /; • — 2 '\\y — ' •; >

Si donc Ton pose

la surface correspondante aura pour équation

En laissant de côté le cas où m est égal à 2, on voit que, pour les cas signalés par MM. Baroni et Goursat. lélément linéaire convient à une surface réglée du troisième degré à plan directeur isotrope.

DARBOCX. — IV.