CHAPITRE m

DERNIÈIIKS RKCHERCHES.

Nouveau développement donné pav M. Weingarlen aux reclierches précédentes,

— Problème proposé. — Etant donné un élément linéaire, pour résoudre le problème de la déformation, on mène par chaque point de la surface clier- (•liée (0) une tangente faisant un angle déterminé, mais d'ailleurs variable, avec les courbes coordonnées; puis ou prend comme variables indépendantes deux paramètres quelconques pi'opres à définir la direction de cette droite dans l'espace. — Formation des équations aux dérivées partielles auxquelles satisfont les coordonnées curvilignes u et v considérées comme fonctions de ces paramètres. — A ce propos, l'on rappelle et l'on complète quelques propriétés de la ligne de striction des surfaces réglées. — Étant donnée une congruence rectiligne, assembler les droites en surfaces réglées dont les lignes de striction soient sur une des nappes focales de la congruence, — Les propriétés géométriques établies permettent de simplifier les équations qui détemninent m et p et (le les réduire à une seule équation aux dérivées partielles du second ordre.

— Renvoi au Ménioii'e de M. Weingarten couronné par l'Académie des Sciences.

1082. Si l'on analyse la méthode suivie par M. Weingarlen el exposée dans le Chapitre précédent, on remarquera qu'elle peut être interprétée comme il suit. Par chaque point de la surface (0) admettant l'élément linéaire donné par la formule (4) [p- ^09] on mène une tangente (d) dont les cosinus directeurs C, C, C" s'expriment par les formules (i3) [p. 012]. On exprime ces cosinus directeurs en fonction de deux paramétres u' et e' et l'on essaye de déterminer les coordonnées curvilignes w et p en fonction de ces paramètres. Dans le cas particulier le plus important, celui où l'élément linéaire de (0) revêt la forme (48)? l'une des coordonnées ç est déterminée par une équation aux dérivées partielles du second ordre, l'équation (07) [p. 824 1- L'autre u s'exprime rationnellement en fonction de p, supposée connue, et de ses dérivées premières par rapport aux variables a et (3, en fonction desquelles les cosinus C, C, C" ont été exprimés par les foi-mules (ya).

DESNiEKES RECHEBCHES. 339

Pour rechercher si des siuiplificatioas analogues se produisent toujours, proposons-nous donc le problème général suivant :

Etant donné un élément linéaire quelconque, défini par Im formule

! ^s-=E ^11- — > F '//' 'A — G rfi-.

supposons qu'il sagisse de déterminer toutes les surfaces ^^B i admettant cet élément linéaire. Si l'on mène, par chaque point d'une de ces surfaces, une tangente (6^) déterminée exclusivement au moven de l'élément linéaire, c'est-à-dire une tangente faisant a*ec l'une des courbes coordonnées un angle qui sera une fonction détermiut'e de u et de v. la direction des droites telles que id) dépendra de deux paramètres que l'on pourra choisir d'une infinité de manières différentes. Par exemple, on mènera par le centre d'une sphère <S» de ravon i des parallt-les aux droites [d). Si l'on prend snr la sphère (S) un sTstéme de coordonnées curvilignes quelconques u'j i\ la direction de chaque droite îd) sera définie par les coordonnées curvilignes du point où la parallèle à celle droite rencontre la sphère (S). Proposons-nous, avec M. Weingarlen, de déterminer les coordonnées curvilignes u et f du point de la surface -. O » en fonction des variables indépendantes u et v.

Employons ici encore le triêdre (Ti. U est clair qu'on peut le déterminer par la condition que son axe des x coïncide avec la droite • d). D'après les notations que nous avons adoptées, a, al ^ a sont les cosinus directeurs de cette droite et Ton doit avoir

I 1 ' fis- := da- -^ ffa- -^ da- = r du'- -r- ■?. f du' dv -t- ^ dv'-.

e,/. ^ étant des fonctions connues de u et de v. L'équation précédente donne l'élément linéaire de la sphère {S}, exprimé en fonction des variables u' et v. Si l'on emploie les formules

!da = bi r dit -»- /-| r/r » — c{q du -»- y i </r). dtt = b'ir du -^ fi dv i — c'iq du -t- qi drt, da''=^ b'i r du ^- /"i d\- > — c'iq du -r- qi df >.

ou peut lui donner la forme suivante

14 ■ q du — qi //r 1--^ > •• -hi — '-. d\- - ^ »* du- -^ > f du' di' -r- çdv-.

qui. jointe aux six équations fondamentales (A ) [II. p. SSa] entre

34o LIVRE VIII. — CHAPITRE XIV.

les rotations cl les translations, permettra d'éliminer les rotations et conduira aux équations aux dérivées partielles propres à déterminer M et f en fonction de u' et de p'. Le premier point à établir est le suivant : parmi les équations du système (A), l'une d'elles, la première, peut être laissée de coté et sera toujours, dans le cas actuel, une conséquence des cinq autres.

Si, en effet, l'on mène, par le point m de (S) qui sert de représentation sphérique à la droite {d) tangente en M à (0). un trièdre (Ti) ayant ses axes parallèles à ceux de (T), ce trièdre aura son axe des x normal en m à la sphère (S); et, comme il a les mêmes rotations que le trièdre (T), il suffit de faire une permutation circulaire pour reconnaître que la première équation (A) exprime le fait suivant : la courbure totale de (S) est égale à l'unité. Comme la formule (2) nous donne l'élément linéaire de cette sphère, il n'est donc pas douteux que la première équation (A) sera une conséquence de toutes les autres et que nous pourrons la négliger.

1083. Gela posé, revenons à l'équation (4). Si nous v remplaçons du, dv par leurs expressions

du = -T-7 du H — —7 dv , dv — -— , du -+- -—7 di- .

au (Jv iJu âv

et si nous égalons les coefficients de duJ-, du' dç' , dv'- dans les deux membres, elle se décomposera en trois équations. Comme r et }\ sont des fonctions connues de u et de c, ces trois équations, non seulement nous fourniront les valeurs de q et de q^. mais elles nous donneront de plus une relation entre u' . r', les fonctions w, v et leurs dérivées premières par rapport à m' et à c'. Voici comment on peut obtenir cette relation. Donnons à l'équation (4) la forme suivante :

(5) (q (lu H- c/i c/rV- = >' du'- -(- x f du' dv' -+■ ,;,'■ dv'-

ôu

,)v \. , I ,)u Ov \

En écrivant que le second membre est un carré parfait, nous aurons la relation

(6) r- \u -+- 2/v'i A(«f, v) -H ri \{v) — i,

DERNIÈRES RECHERCHES. 34l

le symbole AO élanl le paramétre ditlérentiel du premier ordre

eg—p-

relatif à F élément linéaire de la sphère (S).

Quand la relation (6) sera vérifiée, le second membre de l'équation (5) sera un carré parfait

(Qc^m'-+-Q, «/^■')^

où Q et Q, seront des fonctions connues de 'a', f', de a, v et de leurs dérivées premières. Les rotations q et ^i seront déterminées par l'identité

q (lu -!- «/i f/p- = Q du -¥- Qi dv',

qui donnera

du dv -.

au i)v ^

On déduit de là les valeurs de q et de ^|. Ces valeurs donnent lieu à l'identité suivante

<^Q ^ — ( ^1 'hl\ ( '^"^ '^^' ^" èl\

t't' au \ àv au ) \àu' àv' àv' du'}

dont la vérification n'offre aucune difticulté.

Les valeurs de q et de q^ une fois obtenues, il n'y a plus qu'à les porter dans les équations (A), qui se réduisent aui suivantes, si l'on tient compte de la remarque faite plus haut,

' >)q dqx O'z ')zi

ov Ou <h- Ou

(lo) \ dr dr^ >h. dr.i

p^t\ — ^./>i =qli—:.qi-

Les deux premières de droite servent de définition à r et à ri ; les trois autres contiennent le> deux rotations/», p^ que l'on peut

éliminer; et il reste l'unique équation

ôq

()qy (ht

àr,

àv

— qi

Si l'on remplace g. c/., -—- '■ — —-par leurs valeurs déduites des

équations (8) et (9). on sera conduit à une nouvelle relation entre u, v et leurs dérivées par rapport à m' et à v . Cette équation, jointe à celle (6) que nous avons obtenue, donnera toutes les relations nécessaires entre les variables m, p, u\ v' . Mais elle sera cette fois du second ordre par rapport aux dérivées de u et de r.

1084. D'ailleurs, lorsqu'on aura les expressions de a, v en fonction de u\ v' . la surface (0) s'obtiendra par de simples quadratures, pourvu que le système de coordonnées u' , v' soit choisi, sur la sphère (S), de telle manière que l'on connaisse les expressions de «, a . <(" en fonction de u' et p'. Dans cette hypothèse, en effet, les formules (3) nous feront connaître h^ 6', b" en fonction des dérivées premières de a, a', a", et la surface (0) sera définie par les formules

du -H ;i c/c ) -i- l)(■r^ du H- r, i dv ). du -H ;i d\' ) -H />'(r, du H- r^ i f/r), du -i- ;] l'A' j H- //'( T^du -f- T, I cA).

Les deux équations qui déterminent m et p en fonction de w' et de p' sont, en général, assez compliquées. On les ramène à la forme la plus simple qu'elles puissent recevoir à l'aide de l'artifice suivant.

1085. Supposons d'abord que les droites {d) aient été données a priori, c'est-à-dire que l'on ait indiqué d'une manière précise comment le triédre (T) est rattaché à la surface (0). Cherchons sur cette surface les courbes (K) définies par l'équation difi'é-

rentielle

(i3) r iJu -r- /•] dv ^ o.

c'est-à-dire les courbes telles que. lorsqu'on se déplace suivant Tune d'elles, la composante de la rotation du irièdre autour de la normale soit nulle. On peut interpréter géométriquement cette condition.

En effet, les formules (3), qui donnent les différentielles de a, a', a", nous montrent que, si l'équation (i3) est vérifiée, la surface réglée engendrée par l'axe des x du triédre (T) a son plan tangent à 1 infini perpendiculaire à l'axe des r de ce triédre. c'està-dire normal au plan langent de (6). Donc les courbes définies par l'équation différentielle (i3) sont les lignes de striction des surfaces réglées engendrées par l'axe des x du triédre iT», et nous pouvons énoncer la proposition suivante :

Étant donnée une congruence formée de droites (d) tangentes à une sur/ace (B), si Uon veut assembler ces droites en sur/aces réglées dont les lignes de striction soient sur la surface (8), il faudra intégrer une équation différentielle du premier ordre, qui fera connaître ces lignes de striction. Cette équation ne changera pa^ de forme quand la surface {%) se déformera en entraînant les droites de la congruence.

Il résulte de la méthode suivie que ces lignes de striction subsisteront si, à chaque droite {d) de la congruence, on substitue, dans le même plan tangent de (6), une autre droite {d') faisant avec (d) un angle qui demeure constant sur chaque ligne de striction, car alors les triédres relatifs aux droites \d) et {d') auront les mêmes rotations.

Au lieu de donner la congruence formée par les droites (d) supposons que l'on donne les lignes de striction (Ki. Nous allons voir que, pour déterminer la congruence, il ne sera pas nécessaire celte fois d'intégrer une équation différentielle : il suffira d'effectuer une quadrature.

Employons, en effet, un triédre (Ti rattaché à (6) d'une manière arbitraire, mais connue; et déterminons la droite id) de la congruence qui passe en un point M de (©) par 1 angle a qu'elle fait avec Taxe des x du triédre. Lorsqu'on se déplace sur une des

lignes (K) dounées, la droite (d) engendre une surface réglée. Délerminons le plan tangent à l'infini de celle surface. Pour cela, menons par un point fixe O une droite Om de longueur i, parallèle à {d); et rapportons celte droite à un Irièdre (T'), de sommet O, parallèle au trièdre (T). Le point m ayant pour coordonnées relatives à ce Irièdre

les projections de son déplacement seront

— «ina(r/a -i- ;■ du -+- i\ di>), cos a ( <5^x -H r du -k- ri dv ), {p du ■+- jOi dv ) sin a — ( q du -+- qy dv ) cos y..

Pour que la courbe (R) décrite par le point M de (0) soit ligne de striction de la surface réglée engendrée par la droite (c?), il faut que le déplacement précédent soit normal au plan des xy^ c'est-à-dire que l'on ait

(i4) dy. -\- r du -v- i\ dv = o.

Cette équation met immédiatement en évidence le résultat énoncé. On aura

(l5) a = — 1 r du H- ri dv,

l'intégrale étant prise suivant l'une quelconque des courbes (K). La constante qu'il faudra lui ajouter pourra varier quand on passera de l'une de ces courbes à une autre. Si, par exemple, on a choisi le système de coordonnées curvilignes de telle manière que les courbes (K) soient définies par l'équation

u = const., on aura

a = — / i\ dv -f- 9 ( ?< ),

(p(a) étant une fonction arbitraire de u.

1086. Les remarques précédentes établissent implicitement certaines propriétés intéressantes delà ligne de striction d'une surface réglée. On savait déjà que celte ligne conserve sa définition quand

la surface se déforme de telle raaaiére que ses génératrices demeurent rectillgnes. Nous vovons maintenant que, si l'on inscrit suivant la ligne de striction une surface quelconque (0) tangente à la surface réglée, on pourra déformer cette surface de telle manière qu'elle entraîne dans ses plans tangents les génératrices de la surface réglée sans que la ligne de contact cesse d'être la ligne de striction. Cette nouvelle proposition comprend la précédente, car la surface (0) peut se réduire à la surface réglée elle-même; il serait d'ailleurs aisé de la démontrer par une voie entièrement géométrique. Elle conduit à la conséquence suivante :

Soit (K.) une courbe quelconque tracée sur (0); proposons-nous de déterminer les surfaces réglées, tangentes à (0). dont elle est la ligne de striction. Nous substituerons à la surface (0*) la développable (A) circonscrite à (0) suivant la courbe (K>, et nous effectuerons le développement de (A) sur un plan. I.a courbe (K) se transformera ainsi en une courbe plane (K'). Les génératrices {d) de la surface réglée deviendront des droites (d'). situées dans le plan de (K'i et passant par ses différents points. Pour que la courbe (K') puisse être regardée comme une ligne de striction pour la surface réglée engendrée par ces droites («?'), il faudra (jumelles soient toutes parallèles. Car, si elles se coupaient à distance tînie, le plan tangent à l'infini de la surface réglée coïnciderait avec le plan de (K); tandis que, dans le cas où les droites sont toutes parallèles, ce plan tangent est indéterminé et peut être considéré comme perpendiculaire au plan de (K'i. Nous sommes donc conduits à la construction suivante :

Etant donnée une courbe (K) située sur une surface (0), pour obtenir les surfaces réglées, tangentes à (0) suivant cette courbe, dont elle est la ligne de striction, on circonscrira une développable à la surface {S) suivant la courbe (K); puis on déformera cette développable de telle manière que, ses génératrices demeurant rectilignes. elle vienne s'appliquer sur un plan. La courbe (R) sera ainsi transformée en une courbe (K'). Si, par les différents points de cette courbe plane, on mène des parallèles (d) à une direction quelconque, ces parallèles seront les transformées des génératrices rectilignes {d) de la surface cherchée.

Au lieu d'employer la Géométrie, on peut aussi, pour retrouver ces résultats, remarquer que, si l'on introduit le rayon de courbure géodésique p,. de (R), l'équation fondamentale (i4) peut s'écrire

les notations du Livre V, Chapitre IV, étant conservées, a — w est l'angle que fait la droite cherchée avec la courbe (K), si nous le désignons par I, on a

(iC) r/I=-'^%

de sorte que la théorie actuelle nous donne une interprétation géométrique élégante de l'angle de contingence géodésique. En particulier, les propositions démontrées au u" 737 et dues à M. Bonnet sont ramenées à leur véritable origine; la formule (44) de ce numéro est d'ailleurs identique, aux notations près, à celle que nous venons d'indiquer.

1087. Prévenons maintenant à la question que nous avons à traiter, et supposons que l'on ait pris sur la surface (0) une famille quelconque de courbes (K). Associons-leur une seconde famille de courbes (^L), qui détermineront avec les premières un système de coordonnées curvilignes u et ç, le paramètre u étant celui qui convient aux courbes (K). Je dis d'abord que l'on peut toujours déterminer les courbes (L) de telle manière que, si l'on fait correspondre au point de (0) un point d'un plan (P) de coordonnées rectilignes u et c, la courbure d'une portion quelconque de (0) soit égale à l'aire de la portion correspondante du plan (P).

Comme la courbure est représentée (n'"* 490 à 499) par l'intégrale

double

du fh\

il faudra que l'on ait

, dr ()r\

('"• à. -du

Or. si l on a clioisi arbitrairement les courbes (LV on aura Changeons les courbes de paramètre v. c'est-à-dire posons

i" =^ z< II. r^:

/•". r" désignant les nouvelles rotations, on devra avoir

/• ' r/ii ~ r'\ (lv'> = /• du -t- ri di\ ce qui donnera

'Ju àv

et, par suite.

')r àr, I /ir- Or'^ \ àv*

àv du \ ffr"

i)r^ \ àv au I àv

On doit avoir, avec le nouveau système de coordonn»'es ii. (",

àr' àr"

àv au

Donc l'équation précédente nous donnera

àv ^

-7- = / 1 "- » 'àv '

(•( désignant une constante: de sorte que. par une simple quadrature, la question proposée sera résolue.

Ainsi, en laissant entièrement arbitraires les courbes de paramètre u. on peut toujours réaliser la condition

àr art

ài-' au

Il existera donc alors une fonction a, déterminée à une constante prés et satisfaisant aux deux équations

àx ài.

Or, si l'on substitue au trièdre (T) choisi primitivement un autre trièdre dont l'axe des x fasse avec le premier l'angle cf. défini par les deux relations précédentes, les premiers membres de ces relations seront les rotations nouvelles de ce trièdre autour de l'axe des z. On peut donc, par de simples quadratures., et en laissant entièrement arbitraires les courbes de paramètre u, réaliser les deux conditions

(20) /• = f , ri = o.

Alors les lignes de paramètre u seront lignes de striction pour les surfaces réglées qui sont engendrées par Vaxe des x {ou par Vaxe des y) du trièdre (T) lorsque le sommet du trièdre se déplace suivant une de ces courbes.

1088. Avec ce système de coordonnées, la première des deux équations (6) et ( i i), qui déterminent u et v en fonction de u' et de i'', se ramène à la forme simple

de sorte qu'elle permet d'exprimer ç en fonction de u. La valeur de p, portée dans l'équation (i i), donnera une équation, nécessaire et suffisante, qui déterminera u. Il est facile de reconnaître que cette équation est du second ordre et de la former, en employant les paramètres différentiels pour abréger les calculs.

Reprenons à cet effet l'élément linéaire de la sphère (S), défini

par l'équation

ds'- = e du --h 2 f du' dv' -\- ,^- di'''^,

et formons les paramètres différentiels de u. relatifs à cet élément. Par suite des propriétés d'invariance de ces paramètres, on pourra écrire l'élément linéaire avec les variables u et c, ce qui donnera, en tenant compte des relations (4) et (20),

( 22 ) ds'- = (■- du- -h ((/ du -+- q \ dv )- ,

puis former les paramètres différentiels avec ces variables u et v.

On aura, 0. n désigiianl des fonctions quelconques,

„, ' , ^ I f)b an I / àh à%\/ fh à7\

■ «Zr '^t' àv i-^qi \^ ai- ^ àii/\^ àv ^ au J

t \ f, I 'i I (Ji àb Ç àb\ I à / i^'-i- q- àb q â*) \

iqi ')i( \ (• àii V ôv I vqi àv\ vqi Ov v Ou )

Et l'on déduit de là immédiatement lôquation (21) donnée plus

haut. Appliquant aussi la seconde formule aux deux fonctions a

et u, on trouvera

ou, en remplaçant ^- 5 -j- parleurs expressions connues, déduites des formules (3),

Oa J Oa ,

et tenant compte des équations (20)