I .>4 ' A = i- A' o. Il

Ainsi, quand u sera connue, les coordonnées du point de la surface cherchée (9) seront définies par les quadratures

iX = f ft {l (fil -+- ri f/^' » — <■ A( a, u){^■r^ du -+- t,, rfr;. Y = / «'(; du -r- ^1 </i- 1 — (• A(a'. u}{r, du -t- t,i dv). Z = / «'(^ du -t- ;i (A- ) -r- (• A( «'j ^<)(T, du -t- t,i ^p). Tout est donc ramené à la détermination de u. Or on a

et enfin

(27) ' a({fi — -J—

35o LIVRE Vni. — CHAPITRE XIV.

'j{u) étant l'invariant défini au n" 707 et exprimé en fonction des précédents par la formule

, „, lia — -îK u. \u) \oU

i A II

Il n'y a plus qu'à adjoindre la dernière des relatious (10). écrite sous la forme

et à remplacer, dans celte nouvelle équation, les rapports ? —5 -— par leurs valeurs, que l'on déduira des équations (26) et (2-),

( 29 ) r, I 0: ( M ) H ^ A2 î< -H -r ' — — — Ai//. A // i = <>.

à laquelle devra satisfaire u. H faudra y remplacer partout, et en particulier dans les expressions des translations ;, /;. ;,, rj,, la

variable v par sa valeur — —• Ces translations satisfont à deux des \ A'/

équations (10) qui deviennent ici

[rh-- 7F, - ''■'■

1081). Pour faire des applications de sa méthode, M. Weingarteu a choisi sur la sphère (S) le système de coordonnées symétriques pour lequel on a

l'élément linéaire ayant pour expression

On a ici, en adoptant les notations de Monge pour les

DERNIÈRES RECHERCHES. 35l

dérivées.

I A// = 1 1 — ^'y}-pq- Hit — (I — xyY'iqii-^ ps'\( pt^-r- qs

1 \ * ». l'i -T- xkV , /oo\ -i " = i. I ^x)- i-i. \tji,\ii}~ î — (2pqs -hp-ti-i- q-ri

ri-..

I î I -^ jr r I'

/'i et f, désignant, pour abréger, les combinaisons suivantes

La substitution de ces valeurs conduit à une équation de la forme

•. /■ — A M / — C ' — I ■>■ — F> us — B| i = o.

ou A. C. B, B, sont des fonctions dejc,y, u, p. q. M. Weingarten, après avoir formé cette équation, a cherché dans quel cas elle peut être complètement intégrée par la méthode de Monge. ce qui la conduit aux surfaces applicables sur le paraboloïde de révolution. Mais son Mémoire, couronné par rAcadémie des Sciences ( '), n étant pas encore publié, nous nous contenterons des indications précédentes. Nous ferons seulement remarquer que si. pour simplifier autant que possible léquation, on fait les deui hypothèses

on retrouve les propositions établies dans le Chapitre précédent. Le résultat des recherches contenues dans ce Chapitre peut s'énoncer comme il suit :

Etant donnée une famille quelconque de courbes (K) tracées sur une surface (0), on peut toujours, par de simples quadratures, déterminer toutes les congruences {G) formées de tangentes à (0) et telles que les surfaces réglées engendrées par toutes les droites de la congruence ayant leur origine sur une des courbes (R ) admettent cette courbe comme ligne de striction.

t. ) Voir le? Comptes rendus, t. CXIX. p. loôo, io5i, décembre iî>94- Pour la partie analytique et pour le fond, notre exposition eoïneide a^ec celle de M. Weingarten; les propriétés géométriques sont nouvelles.

352 LIVRE Vin. — CHAPITRE XIV. — DERNIÈRES RECHERCHES.

La relation entre la congruence et la surface subsiste quand la surface se déforme en entraînant les droites. Si Pon prend deux variables indépendantes pour définir la direction de chaque droite de la congruence., le paramètre de la famille de courbes (R) doit satisfaire à une équation aux déri\>ées partielles du second ordre qui dépendra exclusivement de Vélément linéaire de (0) et dont l'intégration permet^ par suite, de déterminer par de simples quadratures toutes les surfaces applicables sur la surface (0).