a— ^-^ — -\-b— -^ ^ c{z-^-\-...-^ Zn-\)\dxdy

d'où l'on conclut à la limite, en s'appuvant sur la convergence uniforme des séries écrites plus haut,

Z = ç ' .r ! -t- !» I » I — 9 ( J^.i ) et enfin

X^X^bÈ^^f^''^]'^''^

rPZ ÔZ ^r)Z

f)x à Y >)x fJy

Abordons donc la question de convergence. Je désigne par M le maximum de

a- H 6 — H cj| Il

I ox oy i

dans R, et par k le module maximum de a. h. c dans ce même rectangle, et je considère le système

dx dy

à^Uo , àui , âui ,

-—f- = A- — — -+- A — H- A«,. àx oy ox ay

^— = K — H K 7 h AM„i,

ax oy ox <)y

tous les u s'annulant pour jr = j:„ quel que soit j>', et pour ^ = ^0 quel que soit x.

Si nous prouvons la convergence uniforme de la série

la convergence de la série des ^ en résultera immédiatement, car

|-ni< i Un-\\' Or. soit

on aura

Un = A"-' l „,

•tx f)y

ôx ày i)x ôy

Si la série des « est convergente, la série

(4) L , H- AUî -(- . . . -f- A" L „+, -+-

représentera l'intégrale de réquation

il.l- ()\ (IX (lY

s'annulant pour .27 = .2?,,, quel que soit r, etpoury=j'„, quelque soit X. Or si nous montrons que, pour l'équation précédente, l'intégrale satisfaisant à ces conditions initiales, est une fonction holomorphe de k pour toute valeur de A, la convergence de la série (3) sera établie, car cette intégrale devra nécessairement avoir la forme (4)-

Or l'équation (5) est facile à discuter. Prenant a7„=r„ = o, nous poserons

L'équation (5) devient

(IX ()y

L'application des approximations successives à cette dernière équation est immédiate. On a à considérer les équations

()X ()y f)x ây

tous les V s'annulant pour ^ r=: o, ainsi que pour y = o. En désignant par N la valeur absolue maxima de V^ dans R, on aura

d'où l'on déduit de suite la convergence de la série

Vo H- V, +...-+•¥„ -4-. . .,

qui représente l'intégrale cherchée de l'équation (6). La méthode des approximations successives donne donc pour l'équation (6) une série convergente, quand {x, y) est dans R. Chacun des termes de cette série est une fonction holomorphe de k, et la série converge uniformément, quel que soit /r, dans un domaine fini quelconque du plan de cette variable. L'intégrale V de (6) est donc une fonction entière de /r, et il en est alors de même de l'intégrale U de (5), comme nous voulions l'établir. Les mêmes

raisonnements sont valables pour les séries formées avec les dérivées partielles du premier ordre.