Passons au cas de l'équation non linéaire
Jl±. = p(j. y - '^±, '^\.
âx ày \ ' " ').r à y /
Nous abrégerons l'exposition, sans diminuer la généralité, en supposant que z z= o pour x = o. et aussi pour >'^o. Il suffit évidemment pour cela de remplacer z par
- -H [ o(j:^ -f- •i(y) — 5(Xo)].
Ceci posé, nous admettons que la fonction
est continue quand (x, y ) est dans R, quand :? varie entre — a et H- «, et que // et i- varient entre — b el -r 0. De plus, pour jc. v, z, u et v dans ces intervalles, on a
\F{x,y, z', u'. v') — F (x. >'.-.«. f)' < Al :; — - — A"; a' — u\-^kz\i>' — ci,
les k étant des constantes positives. Soit enfin M le maximum de la valeur absolue de F dans la région où cette fonction est définie. On considère les équations successives
âx ày
= F(x. ». o. o. oV
'V^-- p,/ àz, Oz,\
fj-z„ / àz„-, <)z„^x\
. . =F(X, J', Zn-l- —, • )■>
Ox ày \ •' àx iJy /
les ; s'annulant tous pour x = a,\,, quel que soit j>^. et pour y = l© quel que soit x. On sera assuré que
^ àz,, ÔZ„
Zn- ~~i — • ~; —
àx ày
restent compris dans les limites indiquées, si (ic,j') est à l'intérieur d'un rectangle compris dans R, ayant pour sommet {x^^ j'o), et dont les côtés o et &' satisfont aux inégalités
(7) M?p'<rt. Mp<6, M?'<6.
Nous supposerons d'ailleurs que p et p' sont au plus égaux aux côlés a et 'l du rectangle R.
36o NOTES ET ADDITIONS. — NOTE I, PAR M. É. PICARD.
Dans ces conditions la série
représentera l'intégrale cherchée. On est, en ettet, ramené immédiatement au cas de l'équation linéaire, en considérant les équations
à-(z-^ — Z\) .,/ àzi à
J àz, àzA ,,^
et en leur substituant les équations linéaires
= /.'l «„i -1- kl ; 1- AT;; ■
âx ()y ' <)x " ()}■
La convergence de la suite déduite de ces dernières équations entraîne immédiatement la convergence de la série des z dans le rectangle (p, p'), et lo problème est par suite résolu. L'intégrale est déterminée dans le rectangle (p, p').
4. Il est remarquable que, dans la question précédente, les limites trouvées pour p et p' ne dépendent pas des constantes /.. Il faut cependant que l'on soit assuré de l'existence de ces constantes pour que le raisonnement soit variable. Un cas intéressant est celui où la fonction
serait déterminée et continue pour toute valeur réelle de g, m et p [le point [x^ y) étant dans le rectangle R] et où cette fonction aurait des dérivées premières
()¥ àV ()¥ àz' .h,' Ih^'
restant en valeur absolue moindre qu'un nombre fixe dans les mêmes conditions.
Nous n'aurons pas alors à nous préoccuper des inégalités (7), puisque la fonction F est déterminée pour toute valeur de z^ u.v; par suite, dans ce cas, la série représentant V intégrale convergera dans R.
SUR LES APPROXIMATIONS SUCCESSIVES. 36l
Ainsi, par exemple, IVquation
ffi z àz , àz
- — r- = « -t H 6 -, h c sin ::;.
axo\ ax ov
OÙ a, 6, c sont des fonctions continues de x et > dans le rectangle R, admettra ce rectangle même comme champ de convergence pour la série donnée par les approximations successives. On sait que l'équation
âx àv
se rencontre dans la théorie des surfaces à courbure constante, et. dans ses leçons de Géométrie différentielle, M. Bianchi s'est servi des approximations successives appliquées à cette équation pour traiter un intéressant problème de Géométrie.
5. Bien d'autres problèmes concernant les équations précédentes pourraient être traités par une autre voie analogue. Pour indiquer au moins un nouvel exemple reprenons l'équation linéaire
d'-z f)z , àz
ijjc a y ax a y
et construisons sur Ox et Or ifig' 89) le carré OABC de côtés OA = OC = «,
Fig. S.,.
que nous désignerons par R. On se donne la valeur d'une intégrale :? sur OA et sur OB; on aura ainsi
:; = /'( X ) pour y = o,
3 = ç ( x) iX)ur y = X :
/'(x) et q{x) sont deux fonctions continues ainsi que leurs dérivées du premier ordre; elles sont définies de x =^ o à x =^ a, el l'on a, bien entendu, y"(o) = 0(0). L'intégrale de l'équation
rP-Z
» âx àj
satisfaisanl à ces conditions initiales, sera évidemment
Ensuite, en désignant par P(.3?, y) une fonction donnée de x et de jK dans le carré R, l'intégrale de l'équation
'^- il s'annulant sur OA et sur OB, ser.t
le champ d'intégration est le rectangle MPQR, en désignant par M le point [x, y).
Formons alors, comme précédemment, le système
âx ây
à-Zi dzi . àZi dx dy dx ày '
à-Zn àZn-\ , àz„^i
dx à y dx à y
On intègre la première avec les conditions
^1 = y'(.r) pour y = 0 et Si = o(i!7) pour y = .r,
et pour n supérieur à un^ on prend
Zn = o pour y = o et z,i = o pour y = x.
Des considérations analogues à celles que nous avons employées ci-dessus permettent aisément d'établir que la série
Sl-(- Z-2-4-. . .-+- .3,,-f-. . .
converge uniformément dans R, et représente l'intégrale cherchée.
6. Gomme exemple d'équations d'ordre supérieur au second, pour lesquelles s'appliquent sans difficultés les méthodes précédentes, je citerai les équations suivantes étudiées à ce point de vue par M. Delassus dans un des chapitres de son intéressante thèse {voir aussi Comptes rendus^ 1898). Ce sont les équations d'ordre n
de la forme
Kk
avec les conditions suivantes :
yp^q ^n, pq = o) A: = o, I , .... q
et en supposant A,,,/ = i .
7. Je voudrais maintenant considérer des équations pour lesquelles on ne puisse appliquer la méthode précédente d'approximations. Il n'est pas difficile de trouver de tels exemples, nous n'avons qu'à prendre l'équation du premier ordre
r)z (JZ
ii.r ' ôy
Supposons qu'on veuille trouver l'intégrale de celte équation se réduisant, pour x ^ :ro, à une fonction donnée F( >- ). On peut former les* équations suivantes àz.
àZn àZn-
:= rt(^ J-. 1
z^ prenant pour ;r = Xq la valeur F(j), et les autres c s'annulant identiquement pour cette valeur de x. Mais on voit que l'on ne
pourra former les fonctions ^o z,,, ■ ■ ■ que si F(i-) et a(a",r)
ont des dérivées partielles de tout ordre par rapport à y, et la convergence du développement ne peut être établie que si l'on suppose que F(i') et a\x. >' i sont des fonctions analytiques. Il semble donc qu'on ne puisse établir l'existence des intégrales de l'équation 1 8 \ qu'en admettant que a{x, y) est analytique. Quoique la question n'ait qu'un intérêt théorique, elle vaut peutêtre la peine d'être examinée.
Reprenons d'abord, à cet effet, l'étude de l'équation différentielle ordinaire
et plaçoas-nous dans les hypothèses du n° 1. Nous avons trouvé une intégrale prenant pour x = Xola valeur jo, soit
.r = F(.z:, Xf,, Ko),
en mettant en évidence toutes les quantités dont dépend F. La fonction F est une fonction continue de a;, a;,^ et }„ ; elle a une dérivée première par rapport à x, mais toute la difficulté de la question qui nous occupe est de savoir si cette fonction a une dérivée partielle du premier ordre par rapport à jo- Or les approximations successives nous conduisent à la suite de fonctions
7l» .,^27 •••) Vn, ■■■,
se calculant de proche en proche au moyen des formules
vi = .r'o -+-
- f /(•^! yo)dx, y-^ ^ .Vo ■+- I /( -^j ri ) dx,
et F(a7, a^o, y^) est la limite à^jn' On peut calculer de proche en proche les dérivées partielles
si l'on admet seulement que j\x, y) a une dérivée partielle du premier ordre par rapport à y. Il est donc bien vraisemblable que F aura une dérivée partielle du premier ordre par rapport à j)^'o- Nous le démontrerons élégamment sans calculs en rattachant la question à un problème traité plus haut; on va supposer que/(:r,jv') a des dérivées partielles des deux premiers ordres par rapport ky.
Il suffirait même d'admettre que la dérivée -,— ? sans avoir de dérivée par rapport à y, jouit de la propriété dont jouissait la fonction appelée /(:r, y) au n" 1.
Je considérerai, dans ce qui va suivre, Xq comme une constante numérique et j3 désignera une seconde quantité numérique.
J'envisage l'équation aux dérivées partielles
^^' àxây^~ ày àyo'
définissant une fonction y des deux variables x et Vi,. D'après ce qui a été vu au n" 3, nous pouvons l'intégrer en prenant les conditions initiales suivantes :
Y — Yn pour j- = Xo,
Y ^= ¥\ X. .r^,, !3 I pour )(,= 3.
L'intégrale y de l'équation (9) sera alors complètement déterminée. Or, on déduit de cette équation
P(x) ne dépendant pas de j>'o. Or, pour >-o= 3. on a
puisque, pour >\, = 3, y est l'intégrale de l'équation -j- ^=J\x,yi,
qui prend, pour x = jc^,, la valeur (3. La fonction P{x) est donc identiquement nulle, et l'intégrale
que nous venons d'obtenir, est l'intégrale de 1 équation-^ ^ /ix. )) prenant pour x r= x^t la valeur jo I elle est identique à la fonction F(j;, Xo, yo), et celle-ci a. par suite, une dérivée du premier ordre par rapport à > o-
On démontrera d'une manière analogue que F{x, Xq, Vo) a une dérivée du premier ordre par rapport à Xo. On regardera j',, comme une constante numérique, et soit x une seconde quantité numérique. Nous formons l'équation z
(.0) ^.v àf ày
âx àxo ày âxo
en l'intégrant avec les conditions initiales
y=yo pourj=Xo.
Y = F(j:, a, ^0) pourj-o=a,
ce qui correspond au cas étudié (n''o). On déduit de l'équation (lo)
Q(a?) ne dépendant pas de .z,,; on voit que Q('^) est nul, en faisant dans cette relation a7o=a, et l'on termine comme plus haut.
Ainsi, la fonction F{ic, x^, j,,) a des dérivées partielles du premier ordre par rapport à cc^ et à i,,- Or, la relation
j = F{x, ./■„, ro)
peut manifestement s'écrire ^
Vo = FCj-o, .r, y),
puisque l'intégrale qui. pour la valeur x de la \ariable, prend la , valeur y aura en ^o la valeur y^. D'après ce qui précède, F(a7o, X, y) est une fonction continue de x et r, et elle a des dérivées partielles du premier ordre elles-mêmes continues. Désignons cette fonction par
^'(•^•,.r), en n'écrivant plus la constante a;,, ; nous aurons l'intégrale générale de l'équation -^ =f(^x, y) sous la forme
F(^-, y) = coiisl.,
et F satisfera à l'équation aux dérivées partielles
^F .. . àF
Nous avons donc établi l'existence d'une intégrale de cette équation, et par suite de toutes les intégrales, en supposant seulement que f{x, y) est continue et a des dérivées partielles des deux premiers ordres par rapport à y.
Ainsi, comme application, on peut établir l'existence d'un facteur intégrant pour l'expression
ày -h P( J', i) dx,
en supposant seulement que la fonction P{x, j-) est continue et a des dérivées partielles des deux premiers ordres par rapport à j'.
8. Tout ce que nous venons de dire subsistera évidemment si les fonctions considérées, au lieu d'être réelles, sont des fonctions
lomplexes des deux variables réelles x et y. En particulier, le théorème relatif au facteur intégrant qui vient d'être énoncé s'applique aussi bien si Ton a
P(-^, V) =/>( Jr, y) ■+■ iqix, y),
p &i q étant des fonctions réelles de xet^, jouissant des propriétés
indiquées.
Une application, qui offre quelque intérêt, se présente immédiatement. C est une proposition élémentaire, qu une surface analytique peut être représentée sur un plan, de manière qu'il y ait conservation des angles : on a ainsi une carte géographique de la surface. La démonstration bien connue de ce théorème s'appuie essentiellement sur ce que la surface est analytique; elle revient à la recherche d'un facteur intégrant. Avec l'extension donnée à cette dernière recherche, nous n'avons plus besoin d'admettre que la surface est analytique. Soit une surface pour laquelle le carré de l'élément linéaire se mette sous la forme
ds'- = E da:^ -h 2¥ dx dy -f- G dy*-.
On peut, d'après ce que nous venons de dire, démontrer la possibilité de faire la carte de cette surface sur un plan, si les trois coefficients E, F. G sont des fonctions continues de x et}', ayant des dérivées partielles des deux premiers ordres par rapport à v. 11 suffit même de supposer que les trois dérivées du premier ordre
^ ^ ^G ày ày dy
jouissent de la propriété admise pour la fonction /(j:, y) au n° 1. Ces conditions, un peu dissymétriques, sont suffisantes; elles ne
sont sans doute pas toutes nécessaires, mais, pour s'en afTranchir. il faudrait trouver un autre mode de démonstration pour l'existence du facteur intégrant.
