Ceci posé, proposons-nous tout d'abord de trouver les ds

dontlesgéodésiques admettent plus de trois intégrales quadratiques indépendantes. Xous prenons le ds- sous la forme de Liouville [X I ( J-, } — Y, ( jTi ) ] f/jT dy,

OU Xi

notations,

rii )

— =^5 JK) = '■ — -;=^; l'équation (6) devient alors, avec ces

ii = (X - Y)(X'; - Y'; ) -4- ( Xi - Yi )(x"- y")

Posons, pour abréger.

^2 ^^l^ Il y' 2 -^i— Il

I .>Mos:(X,-Y,) .^j

fj.r

Xi — Y 1 àr Ov X 1 — Y 1 X 1 — Y ,

en sorte que — 2k^ est la courbe totale du ds"^] faisons aussi

, à- kl àk, à^ki , ()k\

^1= -I— r + i/'i -y- = -TV -^ Wi -r-'

Le lecteur vérifiera que l'on a identiquement

où Ton a posé

A'iL) = (Xi-Yj)*,

L'équation 12 = o entraîne donc 0 = o. Supposons que le ds"^ admette au moins quatre intégrales quadratiques indépendantes; outre le couple (i, i), l'équation (ii) doit admettre encore au moins trois autres couples (Ai, Bi ), (A^, Bo), (A;., B;,), ce qui donne les trois équations

ôk^ ., r àkx 5 — Ai-i) — B,H-2Ai(Ai-Bi)=:o,

ôx

<yy

B; + 2/ii(A2— B2) = o,