T— A-y — 0 — — B'.; H- 2 Al ( A3 — B3 ) = o. c'a; ^y

Si le déterminant

a; B'i Ai-Bi

GÉODÉSIQUES A INTÉGRALES QUADRATIQUES. 3-3

n'est pas nul. il faut donc avoir

àky àkt

— — = o. -— = o. Ai = o.

ojc oy

La courbure — 2Â, est donc constante.

La conclusion est la même si le déterminant est nul. Ce déterminant nul exprime, en effet, que l'on a une équation de la forme

A3-B.^ /A.-BA Ai-bi -'Vai-bJ

où y ne peut désigner une fonction linéaire, sans quoi il existerait une relation de la forme (9). Dans ces conditions on constate facilement que ^r^ — ~- et -^ — t^ ne peuvent dépendre que d'une seule des variables x, v; àe y par exemple. Alors A,, Ao, A3 sont des constantes que l'on peut ramener à zéro en substituant aux couples (A,, Bj) les trois couples (^o, B, — A,). On est donc ramené au cas où les fonctions d'un même nom sont nulles dans plusieurs couples. Nous avons déjà dit que ce cas était celui du plan ou des surfaces à courbure nulle.

Nous pouvons donc énoncer ce théorème :

Si un ds- admet plus de trois intégrales quadratiques indépendantes, pour ses géodésiques. sa courbure est constante .

Un ds- de courbure constante admet exactement cinq intégrales quadratiques pour ses géodésiques, comme on l'a vu à la page 2 10 du Tome IL Si on le prend sous la forme simple

dx dv

ds- = '-

^x—yf

l'équation (11) admet, en effet, les cinq couples

(1,1). (a", v), (ar^, >*), ( jr3, k3 ) (j:*,J'*)-

Dans le cas du plan

ds- = dx dy,

léquation (6) se réduit à X'= Y" et admet les cinq couples indépendants

On voit donc que. si un ds- admet plus de trois intégrales quadratiques, il en admet exactement cinq. Il n'y en a pas qui en possède quatre ou plus de cinq.

4. Cherchons ù présent les ds- qui admettent exactement trois intégrales quadratiques et pour lesquelles, par conséquent, la courbure sera variable. On a vu au n° 596 [III, p. 38] que si un dsadmet à la fois une intégrale linéaire et une intégrale quadratique pour ses géodésiques, il est de révolution; et que, outre l'intégrale quadratique en question et le carré de l'intégrale linéaire, qui est aussi une intégrale quadratique, il admet une troisième intégrale quadratique, indépendante des deux premières.

La réciproque de cette proposition est vraie; en sorte que, tout ds- dont les géodésiques admettent trois intégrales quadratiques indépendantes convient à une surface de révolution (nous disons pour abréger ds- de révolution).

Voici la méthode qui nous conduit à ce résultat :

Supposons que, par un procédé quelconque, analogue à celui qui nous a donné l'équation $ = o, on ait tiré de ii=.o deux équations linéaires de la forme

Ri X' — R. Y' -^ R, ( X — Y ) = o, SiX'— S,Y'+ S:,(X — Y)== o,

où les R et les S ne dépendent que des fonctions X, , Yi et de leurs

dérivées. Ces équations, résolues en y~ — y ' y" — v' donneront

d'où

(i6) rflog(X — Y) = Pif^ -4- Q/^r.

P dx -f- Q dy devra être une différentielle exacte, en sorte que les fonctions Xi , Y, devront vérifier la relation

Cette condition vérifiée, posons P dx + Q dy = dlo^u. La fonction u ne dépendra que de X<, Y^, comme P, Q, et l'équation ( i6)

donne alors

C désigne une constante. Il faudra que u soit de la formey(:r) — ^(jk) oùy(ar), g{y) sont des fonctions déterminées, et l'équation précédente donnera, a étant une constante,

X ^ Cf(a.-) -^ a, Y =^Cg-{r)-ha.

CÉODÉSIQUES A INTÉGRALES QUADRATIQUES. 875

Dans ce cas. par conséquent, le «ii- n'admet pas d'autres couples de solutions pour l'équation ( 1 1 ) que ( i , i ) [/(x), ^{V)]-

Il faut donc, pour que le ds- admette trois intégrales quadratiques, que toutes les équations linéaires analogues à ^ = 0 se réduisent à une seule, qui sera $ = 0 elle-même, puisque l'on fait abstraction des ds- de courbure constante, les seuls pour lesquels ^ soit identiquement nulle.

C'est ainsi qu'en posant

àki àki X = àx ày î

dentité

.i* à^ àx à y

. 0 0 àxày

àki ' àk, àx à y

' Xi — ^ 1 5 àk\ àk\ àx ày

e expression

àz àx

X'-^Y-^,".-Xày

g^ est une fonction sans importance.

Il est clair que ^ = o entraîne <^ = o et ^' = o. Il faudra donc que ^" soit proportionnel à ^ ou que

di ài

àx ày e\

. àki . àki 2/41 àx ày

La première de ces équations nous donnera

Au lieu d'utiliser la seconde, qui est compliquée, nous allons former une autre combinaison. Posons

àxày

X,-\/ on trouvera, sans peine, que l'on a identiquement

àx ày àx ày Xi— \i

avec celle expression de 0,

l\ esl une fonction qu'il esl inulile de calculer. Comme 0 = o est une conséquence de il = o, on doit écrire encore

Nous n'utiliserons que la première de ces équaïions qui donne

ou encore

Prenons alors une fonction quelconque de k^, ^{k^). On aura

— — j- = 0 ( A-i ) hi) {kl) - — — ,

ax oy (IX II y ■ dx ày

et comme on a trouvé

§|i^(X.-YOa = (X,-YO/(AO, '^^ ^' ( Xi - YO ? = ( Xi - Y.) ? ( Al ),

()x dy il viendra

'^'^ =.(X,-YO[e"(A-o/(A-o + o'(;^0?(A,)];

J {kx) ne peut être nul sans quoi a serait nul, et l'on verrait que la courbure esl constante. Dés lors, on peut trouver une fonction 0(/:i ), contenant effectivement k^ et vérifiant l'équation

0"( /.-,)/( Al ) + 0'(A-O?(A-O-o.

On aura alors -; — ;— = o, d'où résulte

()x oy

e(A-i) = t + r., OÙ \ est une fonction de x, et yj à& y. En résolvant, on trouvera

Ai-'K;-+--^i); si ^ (ou fi) se réduisait à une constante, a serait nul, cas écarté. On peut donc prendre E, 'n pour variables; or il vient

GÉODÉSIQUES A INTÉGRALES QUADRATIQUES. 377

d'où

a(\,— \, .= — = '^îï T.,

dx dy

et enfin

( X| — ^1 \dx dy =-^— ;' T,' dz dy = —4 — </r dr,.

Comme vj/' est une fonction de ^ -h ri ainsi que f( kt ). on a bien le ds- d'une surface de révolution.