Le théorème étant ainsi établi, nous pouvons en déduire

par une nouvelle méthode, les ds- de révolution à intégrales

quadratiques.

Soit, en effet,

o{x — >■ ) dx dy

un de ces ds- et (X, Y) un de ses coefficients de transformation: comme le ds- ne change pas par le changement de i x, y) en (x -h A, >• -i- A), il est clair que Xiar^/iJ, Y (j' -j- A) est encore un couple de coefficients de transformation. Il en est de même

du couple

et, par suite, en faisant tendre A vers zéro, on reconnaît que X'(j7). Y'(y) est un couple de coefficients de transformation. L'équation (II) admet donc ici les couples suivants de solutions (i.ip iX. Yi (X\ Y') (X', Y"> .... Gomme trois couples seulement peuvent être indépendants, il faut que l'on ait deux équations simultanées de la forme aX'-+- ^X'-f- cX -H ^/ = <).

aY'-t- 6X'-(- c V -I- rf= o.

où rt, 6, c, d sont des constantes.

La discussion de ces équations linéaires se fait sans difficulté et l'on arrive ainsi à former le Tableau des ds- de révolution à intégrales quadratiques sous leur forme caractéristique de révolution.

C est ainsi que nous avons formé le Tableau I.

Dans le Tableau II, nous donnons les formes de Liouville à courbure constante non nulle. Le premier type [p (x -^y) — j> i> — y) ] dx dy est le tvpe essentiel; les quatre autres types sont singuliers.

Dans le Tableau Ht sont les types de Liouville du plan. Le premier type est la forme essentielle, les cinq autres types sont singuliers.

En parlant des types du Tableau I, il est facile de former les types essentiels de révolution. Ces t^pes sont au nombre de quatre, irréductibles les uns aux autres; le Tableau IV les représente.

La discussion détaillée des divers cas singuliers conduit à former les types singuliers qui se rattachent à ces quatre types essentiels. Ils sont contenus dans le Tableau V, avec l'indication du type essentiel auquel ils appartiennent. Nous ne saurions entrer ici dans le détail des calculs, et nous renvoyons le lecteur à notre Mémoire inséré au t. XXXI des Savants étrangers.