Supposons que a soit de la forme (I); nous allons établir

que b ne peut être que l'une des formes (I) et (III).

Soit, en effet.

(I = me'"- -r- /*.

relation

(lO

) sécrit

où I

'on tire.

intégrant.

à'j,, cj .'

fi désignant une fonction qui. daprès la relation (6). ne dépend pas de a„, et qui ne peut, par conséquent, renfermer que x, >*,

«1, .... y-m—i 1 pJ ? • r • ; p/i— 1 •

Substituons la valeur (12) de -r^- dans la relation (8): il vient

Or. la relation (12) exprimant que

ne dépend pas de î3„, il résulte de (i3) que l'expression

4lO NOTES ET ADDITIONS. — NOTE III, PAR M. COSSERAT.

lorsqu'on y a remplacé z par/, ne dépend pas de {3„; cette expression est donc une simple fonction de a: et j^ et nous avons deux cas à distinguer suivant qu'elle n'est pas nulle ou suivant qu'elle est nulle; h ne peut donc être, comme nous l'avions annoncé, que de la forme (I) ou de la forme (III).

5. Supposons d'abord que b soit de la forme (1); il résulte de ce qui précède que l'on aura

h = //ti

e-to;^ «1

() Iog(0

Nous

pourrons

adjoindre

i) logo)

ày

car on peut répéter sur b le raisonnement fait précédemment sur a; la relation (i i) conduit à la suivante :

analogue à (12) et dans laquelle/ ne renferme ni «,„, ni ^„; la relation (^7) devient alors

d'où résulte que

ne dépend pas de z.

L'équation (5) est ainsi, dans le cas actuel, de la forme

i)x ày \ ()y j ôx \ âx j ày

//?, //?|, 0) désignant des fonctions de x et y et c une fonction de:r, y, z.

Si l'on prend comme nouvelle inconnue w^, on a une équation du type suivant

(■«> si;?? -, -s < -^ "'=>-, 7^ C'-'^ -'-■ = ".

SLR LA THÉORIE DES ÉQUATIONS AUX DÉRIVÉES PARTIELLES. ETC. Jn

OÙ A et B sont des fonctions de x et r et où C est une fonction de a-, r, z.

Cette équation doit admettre une solution de la forme

(i6) - = loç ^i -H.A.

en posant

et en désignant par/, . ^"2, /s des fonctions de J". 1'. y.\ «m-i .

•jj , . . . , p/i—i •

Les relations (i3> et (i4) deviennent d'ailleurs

< 18 t — ^2^ = — Bc--.

OJC

d'où résulte que, si Ion dilTérentie la formule (i6\ il vient

dx djr d.r dv dx dy

La condition pour que la valeur (16) de z satisfasse à l'équation (i5) est donc que l'on ait

f/x dv

après la substitution de z dans C.

Le second membre de (20) ne peut être que de la forme bili-

néaire par rapport à a^, 5„ ; la fonction C est donc indépendante de z, puisque, dans le cas contraire, le premier membre de (20), après substitution de j. dépendrait de 3c„, et 3,, en tant que fonction du rapport

C étant une simple fonction de x et y^. il en résulte que/"^ est une fonction déterminée de x et r, ne dépendant ni des fonctions «i , 3,, ni de leurs dérivées. Prenons comme nouvelle inconnue x^ — y"-,, on est amené à chercher si une équation de la forme

^ ' '/X'/y <).r àv '

4l2 NOTES ET ADDITIONS. — NOTE III, PAR M. COSSERAT.

peul admettre comme solution l'expression

(22) C^log'r-,

À| et juL, ayant la signification donnée par les formules (i").

En tenant compte de la valeur (2 :>.) de c, les relations (18) et (19) donnent

dx ily

Si l'on a égard ;\ tout ce qui précède, on peut donc dire que la condition nécessaire et suffisante pour que l'équation (2 i) réponde à la question posée est que l'on puisse vérifier le système suivant, déterminant deux fonctions >. et \x

au moyen de deux expressions ne renfermant, outre les variables .r et y, que deux fonctions arbitraires ao, x ^\. y respectivement et leurs dérivées jusqu'à un ordre déterminé.

6. L'élimination de l'une des fonctions À ou \j. entre les équations (28) conduit pour l'autre à une équation linéaire du second ordre de la forme considérée par Laplace; si l'on élimine ;j., on trouve que \ doit vérifier l'équation

&^\ à log k àl

àx ày ôx ày

et si l'on élimine À, on obtient l'équation

(20) -T— ^3 p^ i-— AB;a = o,

ôx ay oy ôx

à laquelle satisfait fx.

On peut donc considérer l'un des résultats de M. Moutard comme complètement établi.

Il y a peut-être cependant encore intérêt à indiquer comment on peut relier directement les équations (2,4) et (2 5) à l'équation (21) ; remarquons que cette dernière peut s'écrire

ô lôz . \ ô

ôx \ ôy I ôy

SUR LA THEORIE DES ÉQUATIONS AUX DERIVEES PARTIELLES. ETC. 4l3

et Ton esl conduit à considérer le système

— Ve-

p - '^ 'os

tie—- =

àx

définissant deux fonctions inconnues ^ et a; si l'on élimine a. on retrouve l'équation (21): si, au contraire, on élimine z. on trouve l'équation ( 20).

La considération du système (26) permet de démontrer de nouveau que. non seulement les problèmes de l'intégration des équations (21) et ( a5) sont équivalents, mais que si l'une de ces équations a une solution de la forme que nous considérons, il en esl de même de l'autre. Cela résulte immédiatement de ce que les relations ( 18), (19), (22) entraînent les suivantes :

dz , ^logai

dx En considérant de même le système

dz »>l(ijrÀ . d\ûZL

— -i-Be--= , Af-= — ,

ôx itx >)y

on relierait entre elles les équations (21) et (24)-