Reportons-nous à la fin du n" i et supposant toujours
a =^ nie'"- -j- n.
examinons la seconde hypothèse possible relativement à 6, savoir celle où. 6 étant de la forme iHI), on a
L'équation (5 ) est alors
')-z Jz /yiosw/^,-
— 1 me'"' -^ n
t)x dv <)r i)x i)y
Si l'on prend comme nouvelle inconnue w^-i-logm, on a une équation transformée de la forme
'fiz ^ <)z -.
oxâv ifx
4l4 NOTES ET ADDITIONS. — NOTE HI, PAR M. COSSERAT.
OÙ A ne dépend que de x ou de y et où (1 est une fonction dea:, j, z.
Cherchons à vérifier celte équation par une expression de la forme (i); les relations (12) et (i3) nous donnent ici
en sorte que/j ne peut dépendre que de r, [5,. |3j, . . . , &„-<)• On a alors
(08) /=log(i3„ -+-/.)+/,,
/( étant de même forme que/, mais ne dépendant pas de p,,. La relation (7) devient
Portons notre attention sur la dérivée |3„ mise en évidence dans la formule (28); nous obtenons la relation
àoL,
ày-m
dont r
intégration est
ini médiate
et nous
donne
efi =
y., et/, désignant des expressions de même forme que /qui sont respectivement indépendantes de j3/,., et de y.,,,-
Envisageons maintenant la dérivée i3„, ; afin de la mettre en évidence, sous une forme simple, éliminons /^ entre l'identité (29) et celle qu'on en déduit en différentiant par rapport à cf.,,, ; il vient, en tenant compte de (3o),
<h.ni dy /:i-^-/v
Le premier membre de cette nouvelle identité ne peut être que linéaire par rapport à S,i, ; il en est donc de même du second ;
SLR LA THEORIE DES EQUATIONS AUX DERIVEES PARTIELLES. ETC. 4l5
si A n'élail pas nul, -z j- devrait être linéaire par rapport à 3„, ,
ce qui est impossible si l'on remarque que /s renferme essentiellement oL,n et quc/4 renferme aussi essentielleinenl ,3„,. La conclusion est donc que l'on a
Démontrons maintenant que C est une simple fonction de x et î- ; rien ne serait plus facile que d'établir ce résultat en partant de l'idenlité (3i); mais il est plus instructif de procéder de la façon suivante.
Substituons à -; dans l'équation (27) la fonction f définie par la formule (28): en ayant égard à la dérivée .3„. on voit immédiatement que C est de la forme
m et n étant deux fonctions de x et y.
Tenant compte du résultat A = o, l'équation (2-) peut donc s'écrire
Ox âv dx
Or, considérons le système
ôz
-— -+■ m =e . àx (34)
du loin \e".
= = jr-(,-7?-")
Si l'on élimine u. o\\ trouve l'équation (33); si. au contraire, ou élimine c. on trouve l'équation
/ o ,. X '^« «^ , . x - . au , ,
(35) - — r r- (ke")-h{ m~e") r- mke" -^ k = o.
i)x ÔY f)x av
où l'on a posé, pour abréger.
, ')in
Oy
Les foi'raules (34\ qui effectuent le passage de l'équation (33) à l'équation (35), nous montrent que si l'une de ces équations admet une solution delà forme considérée (i), il en est de même de l'autre.
Or. si la fonction A n'est pas nulle, l'équation (35) rentre dans le
4l6 NOTES ET ADDITIONS. — NOTE HI, PAR M. COSSERAT.
type (5) pour lequel les coefficients a cl b sont tous deux de la forme (I); en appliquant les résultats que nous avons oblenus dans les numéros précédents, on aura
Si, au contraire, la fonction k est nulle, l'équation (35) devient
()'- u , , du
()x ()y ' dy
elle rentre alors, après échange des lettres x et > , dans le type que nous étudions actuellement, et, d'après la condition (32) trouvée pour l'équation (27), nous obtenons encore
L'équation (33) est donc, dans tous les cas, de la forme
().t () y f)x àx ày
0 désignant une fonction de x ely- Le système (34) devient le suivant
àz (hi &-^
ôx ' à y ()x ày
en vertu duquel z satisfait à l'équation (36) et u à la suivante :
âx \ âx ()y
<)x ây àx \àx ày / i)y à.r/h
dx dy
Si la fonction J est nulle, l'équation (36) devient la suivante :
à-^(i àe-
àx ày àx
qui satisfait à la question et que nous avons, en somme, déjà intégrée pour écrire la formule (3o).
Si la fonction -; — r- n'est pas nulle, il nous suffit de remarquer
àx ày ^ *
que tout revient à considérer l'équation (37) et l'on est ramené à la question traitée dans les numéros précédents.
On peut encore remarquer que, si l'on prend comme nouvelle inconnue ^ -r 0, l'équation (39) se ramène à la suivante :
^ ^ àx ày àx
SUR LA THÉORIE DES ÉQUATIONS AUX DÉRIVÉES PARTIELLES. ETC. ii;
OÙ A désigne une fonction de j et r et qui se déduit de l'équation (21) en j faisant B = o.
Rien n'est d'ailleurs plus facile que d'étudier directement l'équation (38); car on l'intègre, dans le cas le plus général, par la formule
\Y th ,
où X désigne une fonction arbitraire de jc et Y une fonction arbitraire àcy.
