Passons maintenant au cas où l'expression de a

est de la forme (H); il résulte de ce que nous avons dit au n" 4. api'ès échange des lettres x et >-, que b ne peut pas être de la forme (I); je dis, de plus, que b ne peut être que delà forme (IH); en effet, la relation (10) nous donne alors, m n'étant pas nul.

il en résulte que, si l'on différentie la relation ^ 8) par rapporta 5„, on doit avoir, lorsqu'on a remplacé z par /,

Ob I à/Y

b ne contient donc pas ; par^*. et léqualion (5 > esl. dans le cas actuel, de la forme

d'-z Oz , Oz

— I NIZ — « i -— ^ 0 -r- -^ C = O.

/«, n. b étant des fonctions de x et i seulement.

Mais, si l'on prend comme nouvelle inconnue une expression linéaire par rapport à z, la forme de l'équation précédente ne change pas, et il est facile de voir qu'on peut toujours faire en sorte que, pour la nouvelle équation, les termes analogues à n et à 6 soient nuls; nous pouvons donc nous borner à chercher quelles sont les équations de la forme

.40) -i- mz -J- -^c = o,

i)x a y ox

(l8 NOTES ET ADDITIONS. — NOTE III, PAR M. COSSERAT.

OÙ m est une fonction de x^ v et c une fonction de .t, j , g, qui admettent comme solution une expression de la forme ( i ).

On voit immédiatement que c doit être linéaire par rapportât; en ed'et, la relation ( 8 ), eu égard à (6), s'écrit dans le cas actuel

dx

Donc ;7-7 ^^^ contient pas '^„ et, par suite, •. ne peut le contenir que linéairement; mais de (Sg) résulte que/est aussi linéaire par rapport à 5/,; si donc l'équation (4o) est vérifiée, lorsqu'on remplace z par J\ la fonction c doit être linéaire par rapport à r.

L'équation (4oj s'écrit alors

(41; "1 ; \- inz h- to; -)- (D, = o,

ox fh ox

'j) et 'jOi étant des fonctions de :r ety seulement.

On pourrait établir bien facilement, en partant de [~j) et en différentiant par rapport à 3c,h, que la fontion m ne dépend pas de x\ mais il est plus élégant d'étendre au cas actuel un raisonnement qui nous a été indiqué par M. Darboux et qui donne des résultats plus complets.

Considérons le système

ay •}.

<)v à ni z-

déterminant deux fonctions v et z àa x et )-; l'élimination de V conduit à l'équation (4i)j ^^ l'une des fonctions —5 w n'est pas nulle, l'élimination de :: conduit à une équation du second ordre en v qui doit admettre une solution de la même forme générale que celle dont on suppose l'existence pour l'équation en z.

Or, toute équation du second ordre intégrable dans ces conditions est, ainsi qu'on l'a vu, de la forme (4), où p, «, 6, c sont des fonctions de x, j', z\ l'équation en c ne remplissant pas cette condition essentielle, la contradiction à laquelle nous parvenons

entraîne

()in

OX

La fonction m ne dépendant que àey, on peut alors, en prenant, à U place de ». une nouvelle variable indépendante qui soit une fonction convenablement choisie de y. taire en sorte que m soit, dans la nouvelle équation, égale à i etl'onpeut, par suite, se borner à considérer l'équation

<)x t)y lis

OÙ 0 désigne une fonction de x et de y seulement. Or, considérons le svstéme suivant :

« = log-,

déterminant deux fonctions * et a de a: et v; rélimination de u conduit pour z à l'équation (42) et l'élimination de 5 à la suivante :

axay ox

Les formules (43) qui établissent le passage de l'équation (42' à l'équation (44) étant résolues respectivement par rapporta m et à :?. il en résulte que, si l'une des deux équations (42) et (44) admet une solution delà forme considérée ( i). il en est de même de l autre.

Mais si la fonction Ô n'était pas nulle, l'équation (44> serait du tvpe (5), où a serait de la forme i\\ et h de la forme (HI); le terme <?" qui v figure conduit alors à une contradiction avec les développements du numéro précédent.

En définitive, l'équation cherchée (42 ) se réduit ainsi simplement

à la suivante

<r-z ,iz

')x ày " <h-

qui s'intégre immédiatement et dont l'intégrale générale est déterminée par la formule

onf{x) désigne une fonction arbitraire de x et <^{y) une fonction arbitraire de 1' admettant ^'{y) et dl'{y) pour dérivées.

î). Il nous reste enfin à supposer dans (5) que a est de la forme (111); les cas où h serait de la forme (I) ou de la forme (II) se déduisent de ceux examinés précédemment par l'échange de oi: et j' : la seule hypothèse qu'il nous reste à considérer est donc celle où a et />, rentrant tous deux dans la forme (TU), sont de simples fonctions de x et de y.

Dans ces conditions, les relations déjà établies

dy tix

donnent par l'intégration

/= U\.f\{x, ai, «2, . . ., a,„)

-hUtftiy, pi; ,32, ..., P//i -t-/n (•''■• .•'; 2(|, ..., «,„.„,, j3,, .... 3„i),

en désignant par u^ et u^ deux fonctions de x et y assujetties simplement à vérifier les équations

()y (IX

Ecrivons que l'équation (5) est vérifiée lorsqu'on y remplace z par l'expression/ précédente; il vient

. ôa . ()h , / ,• /■ N

— "i/i -; n-iji -, abiii^f 1+ Uijt)

'' ax oy ' '

d-t\ df:^ j dy

dx dy dx dj ;.

Différentions cette relation deux fois successivement par rapport à a„i et à ^a\ nous obtenons, en n'écrivant que les relations qui vont nous être utiles, et en remarquant que les fonctions z<, et Wo ne sont pas nulles,

idc Ou j\OH, <nc [ <)f.

àz ()x ) àct-'m àz^yâoL

Écartons immédiatement le cas où l'équation proposée serait linéaire, c'est-à-dire où c dépendrait linéairement de z. Ce cas particulier étant laissé de côté, les rapports

()z- àz-

^^^' Te \ ^' Te ; W

ab — ab ~ -j-

<)z ()x ôz dy

égaux respecliveineat aux suivants

\àx„.) \d%}

ne doivent pas dépendre de -, puisque les rapports (4^) sont respectivement indépendants de ^„ et de y.,,,-

Ces deux rapports (47) doivent d'ailleurs être égaux; sinon, en considérant leur quotient, on aurait celte conclusion que -7; est une simple fonction de x et » ; on a donc

àa àb âx dy

et, en introduisant une fonction auxiliaire 0,

L'équation proposée s'écrit

^ à'-z <yô oz >n Oz