H CO = O

dx dy dy dx dx dy

et, en prenant comme nouvelle inconnue zh, on voit que l'on peut se borner au cas où. pour l'équation (5). on a

rt = o. 6=0.

c'est-à-dire où cette équation est la suivante,

dxdy

c étant une fonction de x. ) , z.

Les deux lapports égaux (48) étant, maintenant, l'un une fonction de j:, l'autre une fonction de >', ont une même valeur constante qui est aussi celle des rapports (47 '5 et, en définitive, la fonction c de notre équation (49) doit vérifier la relation

<y*c . de dP-^ Tz'

où A" est une constante qui n'est pas nulle: on en déduit, en

^22 NOTES ET ADDITIONS. — NOTE lU. PAR M. COSSERAT.

intégra m,

m et n désignant deux fonctions de x etj^.

Si l'on prend comme inconnue m = A (^ + //?), l'équation ( /\i)) devient la suivante

i)xf)y

OÙ w est une fonction déterminée de x et y.

Je dis que celle fonction w doit être nulle.

La démonstration de ce point est une conséquence immédiate riu résultat obtenu an n" 8 pour l'équation (40j ^^ considéraliou du système

V ?/ — los; ( -,- -)- 10 ) ' \<^-^

/ nu

en vertu duquel z satisfait à l'équation

(:>2) -- — T- + ; , H-OJ--H— -=o,

ii.ray ax (ly

et u à l'équation (^o), nous montre, en effet, que ces deux équations (5o) et (;'>a) admettent, en même temps, des solutions de la forme générale (i).

Tj'éqiiation chercluîc de la forme (5o) ne peut donc être que la suivante

dont Liouville a donné l'intégrale.

L'intégration de cette équation est ramenée, au moyeu du système (5i), où l'on suppose o) = o, à celle de l'équation (45)5 <'t son intégrale générale est ainsi, en vertu de (46). déterminée par la formule

qni concorde avec celle donnée [Ul, p. ^pi]-

l IV.

SLR L,\ TORSION DES COURBES GAUCHES ET SUR LES COURBES A TORSION CONSTANTE.

1. II semble au premier abord qu'il v ait une graade analogie de nature entre la courbure et la torsion d'une courbe gauche. L'une et l'autre .de ces grandeurs se définissent comme le quotient d'un angle infiniment petit par la différentielle de l'arc; l'une et l'autre représentent une rotation dans la théorie ciuénialique des courbes à double courbure. Mais ces rapprochements sont les seuls qu'on puisse signaler : il j a un centre de courbure, il n'existe pas de centre de torsion; la courbure dépend des éléments différentiels du deuxième ordre: la torsion de ceux du troisième ordre. Enfin, tandis que la courbure est une irrationnelle dépendant d'un radical carré, comme toutes les grandeurs dont la mesure se ramène à celle d'un segment de droite, la torsion est déterminée rationnellement, en grandeur et en signe, pour chaque point d'une courbe gauche. I^es formules qui donnent les valeurs de ces deux éléments mettent ce dernier point en pleine évidence ( '). On peut encore l'établir en étudiant un infiniment petit d'une nature particulière, relatif à une courbe gauche quelconque.