Soit M un point quelconque d'une courbe gauche. Prenons

I '■ Dans le Cours d'Analyse de l'École Polyteehnit/ue, M. HeraiiU; suppose que les coordonnées -r, y, z du point d'une courbe gaache sont exprimées d'aae

NOTES DE l'auteur. — NOTE IV.

sur la courbe quatre points M<, Mo; M;., M,, infiniment voisins du point M; et proposons-nous d'évaluer le volume du tétraèdre MiMoMsM,. Soient x^ y, z les coordonnées rectangulaires du point M, que nous supposerons exprimées en fonction d'un paramètre t\ soient x\ y, z' ; x", x", . . . leurs dérivées par rapport à t. Si t + hi désigne la valeur du paramètre pour le point M,-, les coordonnées xi, yi, z; de ce point s'exprimeront par les formules

J-i — ./: -h ./•' /il -h — hf -h '— Ilf -+- .

Z'hi

Itf

Lti volume V du tétraèdre M4M2M;,M,, c'est-à-dire le sixième du moment des deux segments Mi M2 et M;)M/, ('), sera défini, en grandeur et en signe, par la formule

En négligeant les termes contenant la quatrième puissance et les

manière (juehonque en fonction d'un puramèlre / et il donne (p. i'<>^ el suiv. les expressions suivantes de la courbure et de la torsion.

Soient x\ y', z' , .x", ... les déi'ivcs successives de x, y, :■. l'osons

Si p et T désignent respcclivement les inverses de la courbure et de la torsion, on aura les fornnules

A'-f-B'-hC-

(|ui montrent l)ien la différence de nature entre la courbure et la torsion.

(') Voir, à ce sujet, G. Kœnios, Leçons de Cinématique professées à la Faculté des Sciences de J'aris. Chapitre I.

puissaaces supérieures des hi, on aura évideinroent

A. A]^ Aï î 12 6;

A. Al A

An A| A|

ou encore

72 N = — a:, A,. Ai. Aj. A...

A désignant le déterminant

et Ç(/*i, ^2, As, Al) le produit suivant :

(5) ;(A,. Ai, As, Ai >

= ' A; — A| M Ai — Ai II /i-, — h -i h . — Al

Ii^:uh^— lu

3. Pour calculer le déterminant A. on peut se servir des formules de Serret-Frenet :

ds

dû

ds

a, b, c avant les significations déjà données [I, p. 2 et y]. On en déduit en effet les expressions suivantes des dérivées de x par rapport à /.

ds

dt'

d'-s b ds^-

dr- z dr-

c/^s , b ds d-s

df ' z dt dr-

ds dt-

i?-TÙ

ds^ dï^

Ces expressions, et celles qui conviennent de même aux dérivées de >• et de z, permettent de calculer aisément la différentielle de l'arc, la courbure et la torsion. Eu les portant, par exemple, dans le déterminant A et se rappelant que le déterminant des 9 cosinus a.

h, c doil être égal à i , on trouvera

Celle formule met bien en évidence la propriété de la torsion sur laquelle nous voulions insister (').

i. En poriant la valeur de A dans la formule (3), ou aura donc (9) ^''"^ "^^ —\Tt) 'ai>^-l'.-h,,K).

Pour donner une forme entièrement géométrique à cette formule, on peut procéder comme il suit :

En négligeant les infiniment petits du second ordre, on peut considérer le point M, comme porté sur la tangente en M à une distance de M égale, en grandeur et en signe, au produit -j /i,, de sorte que la différence

représentera, en grandeur et en signe, le segment M,- M/;. En tenant compte de cette remarque, on pourra écrire la relation

(lo) 7'.>V = -^ Ml Mv M,Mv M;iMv M, M;, MoMs MiM.,

qui résout complètement le problème proposé. Elle est tout à fail analogue à la suivante

(il) 4S = - MiMnMiM;, M.M.,

qui donne, sur une courbe plane ou gauche, Taire du triangle formé par les trois points infiniment voisins M,, Ma, M;.. Cette nouvelle formule devient d'ailleurs pleinement évidente si l'on se rappelle une des relations les plus connues de la Géométrie élémentaire.

5. Si l'on suppose que quelques-uns des points M,, M^, M.. M, viennent se confondre, la formule (lo) conduit à des relations déjà connues. Nous savons, par exemple, que le volume V ad met l'expres-

(') Elle se déduit immédiatctnent des deux formules de M. Hermite données dans la noie de la page 'JaS, mais avec un changemont dans les signes, sur lequel nous allons revenir plus loin.

>ion suivante :

0 désiguant l'angle des arèles opposées M,M2 et MjM,, o étant leur plus courte distance. On aura donc

I >o sin» = — VI, M^ MîMv M,.M;i M;M = .

Supposons que M-j vienne coïncider avec M, et M, avec Mj; les arêtes M,M-.> M-.Mi deviendront les tangentes en M| et en Mj: leur

angle 0 aura pour valeur approchée '? et la fonmile précédente

nous donnera

lio = 2 — ■

C'est l'expression bien connue que M. O. Bonnet a donnée pour la plus courte distance de deux tangentes infiniment voisines.

Laissant de côté des remarques analogues qui nous feraient connaître d'autres infiniment petits, revenons à l'objet que nous avons en vue. La formule (8) montre, comme nous l'avons fait remarquer. (|ue la torsion est une quantité rationnelle, puisqn'en chaque point de la courbe o- et -7— s'expriment sans aucun radical carré. Au reste, on peut mettre en évidence le même résultat en rappelant les formules que nous avons données au n**36[l, p. 42]- Nous avons vu que si c. c', c" sont les cosinus directeurs de la binormale, on a, T désignant toujours l'inverse de la torsion,

l du' = a r/s := ■:( c" de' — c' de'}, (iji • dv =^ a' ds =^ -(cdc' — c' de),

( dz =^ a " ds = T ■ '• V/c — c de' \.

Il est clair que les expressions ainsi obtenues ne dépendent nullement du sens attribué à la binormale; et, par suite, chacune d'elles fera connaître une valeur rationnelle delà torsion. Au reste, si l'on substitue à c, c. c" , des quantités A, A, / simplement proportionnelles à ses cosinus, on aura les formules

Idk — kdl

1 dx = -.

t i3) ' dy = -.

dl —

Idk

^^ ki

.Ut —

h dk

qui ont clé déjà employées pour le cas où la torsion est constante [l.p.43].

(3. Los reuiarques précédentes montrent aussi que. pour énoncer d'une manière tout à fait correcte le théorème d'Enneper, il faut dire que les torsions des deux lignes asjmptotiques qui passenten un même point d'une surface y sont égales en valeur absolue à l'inverse de \J — lUVR et Pv' étant les rayons de courbure principaux de la surface; mais les formules de M. Lelieuvre [ 1\ , p. 24, 29], rapprochées des précédentes (la), montrent immédiatement que les torsions des deux lignes asymptotiques sonl égales et de signes contraires. Sur une surface à courbures opposées, les deux familles de lignes asymptotiques sont nettement distinguées parla propriété suivante : pour les unes, la torsion esl positive; pour les autres, la torsion est négative.

Il y a, par exemple, deux classes de surface réglées : pour les unes, la torsion des génératrices rectilignes est positive; pour les autres, elle est négative. Pour définir celle torsion, il faut, bien entendu, considérer le plan tangent à la surface comme étant le plan osculateur de la génératrice recliligne.

Pour chercher à quelle propriété de forme correspond le signe de la torsion, appliquons, par exemple^ les formules (1 a) à l'hélice définie par les équations

r = cos^. )■ = sin^, s = ht.

nous trouverons

de sorte que, pour une hélice dejctrorsu/n, la lorsion est négative : elle est positive, au contraire, pour une hélice si/iistrorsum ( ' ).

(') On voit facilcMienl (jue la valeur de la torsion donnée par la lorinulc di' M. Hcrniite et celle qui résulte de l'appliratioii des formules ((i) de Scrretl'renet sont égales et de signes contraires. La formule de M. Hcrmite imus semble préférable : il aurait mieux \alu l'-crirc les formules de M. Serrel siuis la forme

, h ds , h cl s aa ~ ■ ) (le - : — ■

Alors, pour uue ii(''li(;e (h'xtrorsum, la torsion sctaiI posiLivc; t sérail égale à la rotation y> et non à cette rotation cliangée de signe (n' 4).

7. \u n" 39 nous avons signalé, comme un problème des plus intéressants la recherche des courbes algébriques à torsion conslanle. La construction que nous avons donnée au n" 770 nous a montré qu'il y a le plus haut intérêt à connaître même celles de ces courbes qui sont entièrement imaginaires . Celte construction peut, en effet, s'énoncer de la manière abrégée suivante (n"^ 769-770):

Pour déterminer toutes les surfaces applicables sur le paraboloïdè de révolution de paramètre 2 t, on construit deux courbes (F), (T^) ayant des torsions constantes, égales et de signes contraires -■, —^- Le milieu [x de la corde ^ qui joint un point de (F) à un point de (F|). décrit une surface (So) qui peut être engendrée, soit par la translation d^une courbe (F') homothétique à (F), soit par la translation d'une courbe (F,) homothétique à (F,). Les plans osculateurs aux courbes (F') et (F,) qui passent en un point M de (So) se coupent suivant une droite (d). Les deux nappes focales (S,) e< (Sa) de la congruence engendrée par cette droite sont les surfaces cherchées. D'ailleurs, si F,, Fj sont les point focaux de (d). on a

oj désignant V angle des deux plans osculateurs qui se coupent suivant la droite (d).

Il résulte immédiatement de cette construction la conséquence suivante : il faut que la courbe (F) soit imaginaire pour que les nappes (S,) et (So) soient réelles. On devra alors associer à (F) la courbe imaginaire conjuguée (Tf).

Depuis l'invitation que nous avons adressée au n" 39 aux géomètres, les courbes à torsion constante ont été l'objet d'un cerlain nombre de travaux ( ' ).

Bien qu'on n'ait pas encore réussi à déterminer toutes les courbes algébriques à torsion constante, nous devons à M. Fabry la connaissance d'un certain nombre d'entre elles, qui sont réelles. On

(') G. KoKNiîiS, Sur la forme des courbes à torsion constcutte (Annales de la Faculté des Sciences de Toulouse, t. I, p.i; 1887). I. Lyon, Sur les courbes à torsion constante; Thèse soutenue en juillet 1S90.

43o NOTES DE L'AUTEUR. -~ NOTE IV.

peut citer, par exemple, celles qui coiTespondenl aux valeurs suivantes des cosinus directeurs de la binormale

\ À cos a / — \/ 'j. cos X t.

\ Xsinui + yijLsin/.f

V' X -+- \/u ,, •'. v''Xa X -H 'j.

OÙ X et /jt. sont deux entiers.

M. Fouché a employé pour étudier les courbes à torsion constante la mélliode suivante :

Exprimons les cosinus directeurs de la binormale pnr les formules si souvent employées

OÙ y. et [3 sont les coordonnées symétriques d'un point delà sphère. Les équations (12) nous donneront

... . 'j- dx -H- a- d'j

. ^/a + ^/.3 I 1 () ) { ai- — r Cl]- =z — '> - 1

dz =^->-i

Si la courbe est algébrique, c, c', c"' et, par suite, a. 3 seront nécessairement des fonctions algébriques d'un paramètre. Il en sera de même des intégrales

/ * [j- da -+- a- d'^j /" dot. -+- d\j 1 ' a d'j -f- p </x

devant la Kaciilt(' des Sciences de I^aris {Annales de VEnseii^nement supérieur de Grenoble, t. II, p. 3.53; 1890 j.

M. Ih)[ (;hk, Sur les courbes algébriques à torsion constante (Aniudes de l'Ecole Normale supérieure, o" série, t. VII, p. 3i."); novembre 1890).

K. Faury, Sur les courbes à torsion constante {Annale de l'Ecole Nor nia le supérieure, 'i" série, t. IX, p. 177; iS9:>).

E. GossERAT, Sur les courbes algébriques à torsion constante et sur les surf(ues mininia algébriques inscrites dans une sphère {Comptes rendu?,, t. CXX, |). i2.")r!; 1895J.

D'autre pari, comme les expressions

'i- doL — a- d'i dx — rfçS i ift. — 3 dï

ionl des différentielles exactes, on voit que les six expressions

dx 3 (la 3' dz

<3 a d^ aî rf3

devront être des différentielles de fonctions algébriques. Piéciproquemenl. il sera suffisant que trois d'entre elles, prises dans les trois colonnes différentes, admettent pour intégrales des fonctions algébriques.

Prenons, par exemple, celles qui sont dans la seconde ligne du Tableau précédent. Soit

il faudra que

dt, a di, a- dt

soient des différentielles de fonctions algébriques. Celte condition exige évidemment que t soit la dérivée seconde par rapport à x d'uue fonction algébrique. Il faudra donc que l'on ait

-il- \ '12-

ou encore

Ainsi tout est ramené à la recherche de deux fonctions algébriques p et r de a vérifiant celte équation.

On peut encore, avec M. Fouché. effectuer une dernière transformation. Posons

léquation deviendra

Bien (jue cette équation n'ait pas été résolue d une manière

générale, on en aperçoit immédiatement nn nombre illimité de solutions, que l'on obtient en prenant pour y des polynômes, des fractions rationnelles assujetties à des conditions simples. Il est vrai que les courbes correspondantes seront généralement imaginaires. Mais nous avons vu que, dans certaines questions au moins, ce sont ces courbes qu'il faudra rechercher.

8. Ij'équation précédente, comme celle que l'on obtiendrait en «'galant à une constante l'expression de la torsion en coordonnées cartésiennes, appartient au type suivant.

Soient y, s, w, . . . des fonctions d'une variable ./ assujetties à vérifier une équation diftérentielle de la forme suivante :

y', y" . ... ; s. . . . désignant les dérivées successives <\q y ■., z, u. . . . . On peut se demander s'il est possi,ble de résoudre une telle équation (ou plusieurs équations simultanées de même forme), c'eslà-dire d'exprimer a?, y, z, u. ... en fonction d'un paramèlre, de certaines fonctions arbitraires de ce paramèlre et des dérivées de ces fonctions. Monge s'était proposé cette belle question dans le Mémoire que nous avons déjà cité [ f, p. 16]. Elle mériterait d'être reprise avec tous les développements qu'elle comporte. On pourra consulter, sur le cas du premier ordre et de deux variables indépendantes, notre Mémoire sur les solutions singulières des équations aux dérivées partielles du premier ordre, inséré en i883 au tome XXV'II des Mémoires présentés par divers savants à V Académie des Sciences.