SUR LES FORMULAS D'EULER ET SUR LE DÉPLACEMENT D'UN SOLIDE INVARIABLE

1. Au Chapitre III du Livre I [p. 34] ainsi qu au n l^ÔS, nous avons eu à parler des fornïules célèbres d'Euler et d'OlindeRodrigues qui déiinissenl un changement de coordonnées ou un déplacement et contiennent seulement trois arbitraires, en fonction desquelles s'ex.priment algébriquement les neuf cosinus. \ous allons faire connaître une méthode géométrique qui donne ces formules de la manière la plus simple, en fournissant immédiatement la signification géométrique des arbitraires qui v figurent.

Considérons une figure mobile avant un point fixe () et rapportons-la à un trièdre trirectangle Ot>'c a^ant pour sommet le point O. -Si on lui imprime un déplacement quelconque, on sait qu'il équivaut à une rotation d'angle 0 autour d'un certain axe OH, p<issant par le point O (Ji^- go)). Par suite, un point M quelconque de la figure invariable venant occuper la nouvelle position M,, il y aura un plan perpendiculaire à OH passant par M et par M,, et. dans ce plan, un cercle passant en .M et en \f , dont le centre 1* sera sur OH.

Menons les tangentes au cercle en M et en M, : elles se coupent en un point Q. Nous allons déterminer de deux manières différentes les coordonnées du point Q.

Langle MPM, étant égala 0. l'angle MPQ sera égal à-- Par conséquent, si l'on imprimait à la figure mobile dans sa première position une rotation infiniment petite, dont la vitesse

angulaire serait tang -< la vitesse du point M serait, en grandeur et en signe, égale au segment MQ.

Si donc on désigne par x, y, z les coordonnées du point M et si l'on pose, a, jS, y désigu,ant les angles de OH avec les axes,

(i) = cdsa t iiiir-) "- = cosii lanfî- , = c(js" laiiiï - ,

;? ^5 - seront les trois coinposanlos delà rotation inlininient petite considérée, et les projections de MQ sur les trois axes seront

'i.Z V )• V.r KZ A )■ \J.X

T'ig. yo.

l'ouï- obtenir les coordonnées x' ^ y\ z' du point Q. il faudra ajouler les |)rojections de OM à celles de MO, ce qui donnera

\l''rZ:

f ps' = O ^ H- À

Envisageons maintenant la figure dans sa seconde posilÀon: on remarquera (jue M| Q serait la vitesse du point M| si l'on imprimait à la ligure une rotation infiniment petite, égale et contraire à la première. Si donc x^, )',, -^i désignent les coordonnées du point J\l|, o\\ aura de même, en changeant les signes de À, ,a, v ou

celui de o.

[ o.r' = c ./•, — !jL.;j -+- V )|.