FORMULES DEULER ET DÉPLACEMENT FINI

Egalant les expressions différentes de x\ y\ z\ nous aurons

/~y — ;jt./- = Oïl — />.» j ■+- [J^-fi-

2. On peut résoudre ces équations d'une manière élégante. Si on les ajoute d'abord après les avoir multipliées respeclivemenl par ^j ^ » -5 on obtient la relation

qui éliiit évidente par la Géométrie, car elle exprime que la droitt^ MM, /est perpendiculaire à l'axe de rotation. Si l'on ajoute inainlenant les quatre équations précédentes, après les avoir multipliées respectivement par des facteurs ± À, rti ;ji, ± v. =;= o tels que le coefficient de l'inconnue cherchée devienne égal à

ou trouve

i B ,<• = I o- -^ À- — u- — 'é- » j-, -t- -il À'jt -4- vp 11] -»- îi Àv — Up ( ::,.

■ Bv=:>i/.u.— vp i^Ti -f-( p--t- a- — À- — v- i r, -t- 5>r ;xv -i- Àp);,.

' H r = MXv -+- ItpKf, -r- 2< ;-lV /.p M, ^1 Z--r- V- — /.- -J

Pour obtenir les formules résolues par rapport à a;,. ),, ::|. il faudrait échangera:, y, 5 et j:, , >', , ^i en changeant le signe de o.

3. Dan» les développements qui précèdent, nous envisageons une figure invariable, rapportée à un trièdre fixe (T) Oxys et se déplaçant pendant que ce triédre reste fixe. On peut aussi considérer les formules précédentes comme définissant un changement de coordonnée*, dans lequel on passera de ( T) à un irièdre ( T, i 0:r,. Vf 3,. Alors les arbitraires y.. 5. y, (j, reliées à À. u. v, p par les formules ( i i, définiront la rotation qui amène te trièdre (Tf» '/ coïncider a^ec le trièdre (T t. Il suffit, pour le reconnaître, de remarquer que. si l'on suppose que la rotation définie par les formules ( 1 1 entraîne le trièdre ( Ti. les coordonnées du point M,. par rapport à la nouvelle position du triédre. restent égales aux coordonnées x. r. z du point M. tandis que les coordonnées de M, , relatives aux axes primitifs, sont x,. v,. -:?,. H est évident.

d'ailleuis. que l'axe de rolatioii iail des angles égaux avec les axes de même nom des trièdres (T) et (T, ).

i. Revenons à noire premier point de vue. Au n"i27, nous avions déjà donné, sous deux formes difTérentes, les équations précédentes? en les rattachant à la considération de la substitution linéaire qu* définit une rotation, ^fous avons vu, en eflel. que si Ton considère

la sphère de ra yon i ,

et si Ion introduil la variable complexe définie par la formule

la subslilulion linéaire

définit une rotation qui est aussi déterminée sous différentes formes par les équations (8), (9) et (11) [I, p. 34]. On retrouve ainsi les formules d'Euler; et si la méthode par laquelle on les obtient exig<' un appareil analytique plus compliqué que la précédente, elle permet du moins d'obtenir, avec plus de facilité, les relations relatives à la coinposition de deux rotations.

Supposons, en eiïet, que l'on effectue successivement deux rotations, la première définie par la formule (9), la seconde par la suivante :

//( I 3(.j -I- /ij

//ia2-+- q\ En portant cette valeur do a, dans la formule précédente, on aura

( mm I -+- np^ ) aj -f- rnn ^ -h n(/ [

( pnit -f- «-//>i )ai-(- pni -+- c/tji

de sorte que, suivant la proposition de M. Klein, la com])osilion de deux rotations équivaut à celle de deux substitutions linéaires. Si l'on désigne par moi, «oi, /?tM, Çoi les valeurs de m, n, /), q relatives à la rotation composée, ou aura

( mui = miHi -+■ tipu \ Pm = p/Ui -+- qp^-