FORMULES DEULER ET DÉPLACEMENT FINI

Si maintenant, pour établir une concordance avec nos promiêrcs formules, nous introduisons, comme au n" 27. les arbitraires >. ,u. V. 0. à la place de m. n. p, g. en posant j I, p. 34]

i m =^ — '^ — i'. ti == — u -H //.. //f| = — -I -^ /'i- "i = — ''-\-'- i 'i ••4' ' . ' .- ' . ■ ..

et de même

j //loi = — =01 -H t'voi. /*ûl = — ;^1 H- l'Àoi:

^01=— POI JVoi, />0I = ;Jt01-HiA01r

les formules ( 12) et < i3 ) nous donneront les suivantes

Àoi = ;J.Vi — v;ai — Àpi — S/.15 ijLoi = vÀ| — /.V| — ;jLi| — ç.;jii.

voi = >.;jti — u/.i — vs i — pv,.

Elles résolvent complètement la question proposée, car elles donnent les quantités À, ,u, v, p qui caractérisenl la substitution composée en fonction des quantités analogues relatives aux rotations composantes. Nous allons les appliquer à l'étude de la question suivante.

o. Supposons qu'un trièdre (Ti) Oxij'i ^i, dont le sommet reste fixe, se déplace d'une manière quelconque et supposons qu'il soit rattaché à un triédre fixe ' ï 1 O .ryz. par les formules ( 3* 1 où 7, jjL, V, p seront des fonctions connues d'un paramétre /. Proposons-nous de déterminer, à chaque instant, les composantes de la rotation infiniment petite du trièdre ( T| ). ces composantes étant prises relativement aux axes de ce trièdre. Nous remarquerons que. pour passer de (T4 ) à sa position infiniment voisine (T, ). on peut effectuer successivement deux substitutions orthogonales. Tune par laquelle on passerait de ( T| i à ( T 1. et qui, étant l'inverse de la substitution ( 7). serait caractérisée par les valeurs /., u-, v, — 0 des paramètres; l'autre, par laquelle on passerait de (T^ à (T, i et qui correspondrait aux valeurs À — d)., ij. -f- </fi. v -f- û?v. p 4- rfp des mêmes paramètres. En appliquant donc les formules (16) et négligeant des infiniment petits dans l'expression nouvelle de p, on

voit que les valeurs suivantes

] /. ' = u. fil — V d\x — /, (Iz -+- c (Un .

seront les paramètres de la substllulion orlliogouale, par hupielle on passe de (Ti ) à (T', ).

Comme elles définissent, nous l'avons vu, les composantes de la rotation par laquelle (T,) vient coïncider avec ( L|), il faudra les changer de signe pour avoir, la lolation du Irièdre ( Ti) et si

l'on applique les formules ( i ) en remplaçant lang - par - el posant

( i8) 0 ces X = I' dl, 0 cos 3 = (} (11. 0 (MIS -; = R dl,

il viendra

d^t , do dh \

dt '" dt '" dt I '

, I .w, , . ^-- d\ do d\i.

'^' s ^ \ jt dl ' dl ' dl

, d\x da d

dt dt ' r//

(). Si l'on suppose, comme il est permis, que o soit constamment égal à I , ces formules se simplifieront un peu. Il vaudra mieux cependant, toutes les fois qu'on le pourra, conserver l'arbitraire o ; car on introduira ainsi plus nettement et plus simplement les rotations qui correspondent à une valeur nulle de p et pour lesquelles, d'après les formules (i), l'angle 0 est égal à i8o".

Dans notre Mémoire sur l'équilibre asiatique, nous avons proposé d'appeler ces rotations des renversements. Nous allons terminer cette Note en montrant (|ue les renversements., joints à des inversions planes, c'est-à-dire à des transformations par symétrie relatives à des plans, permettent d'étudier et décomposer très simplement les divers mouvements finis d'un solide invariable. Nous nous appuierons, à cet eflet, sur les remarques suivantes :

Une rotation d'angle 0 autour (V un axe (d) peut être remplacée par deux inversions successives relatives et des plans

FORMULES DEULER ET DEPLACEMENT FINI. 4"j*)

( P, ). I Po) *e roupant suhanl l'axe et faisant un angle-- On

peut faire tourner, comme on voudra, le dièdre de ces deux plans autour de l'axe.

Un renversement autour de {d) se ramène, par suite, à deux inversions relatives à deux plans rectangulaires quelconques se coupant suivant la droite (d).

Il résulte de ces propositions que toute rotation d'angle 9 autour d'une droite (d) se ramène à deux renversements autour de deux droites (^4), (^â), perpendiculaires en un point quelconque à la

droite (c?) et assujetties, en outre, à faire l'angle -• Car, soient ( P, >,

( Pa). (P) les trois plans passant respectivement par i </ 1 et 1 o, ). par { d) el {02). par(^|i et (ôo). Le premier renversement équivaut aux inversions relatives aux deux plans rectangulaires (P| > et ( P i: le second équivaut de même aux inversions déterminées par les plans ( P ) et ( Pj ). Il faut donc efleetuer successivement des inversions planes relatives aux plans (P|), (P), < PV (?•>). Les deux inversions intermédiaires se détruisent et il reste les seules inversions extrêmes, qui équivalent, nous l'avons vu. à la rotation considérée.

On peut imprimer aux deux droites iOt). ( Oj ) le mouvement d'un verrou autour de id\. c'est-à-dire les faire glisser et tourner tout d'une pièce dune manière quelconque autour de irfi. sans qu'elles cessent de représenter la rotation. Ainsi :

L'ne rotation est parfaitement représentée par un angle dont le sommet est sur l'axe de rotation, son plan étant perpendiculaire à cet axe et sa grandeur étant égale à la moitié de la rotation.

Une translation finie peut être représentée par deux inversions relatives à des plans parallèles, qui sont perpendiculaires à la translation, et dont la distance est égale à la moitié de la translation.

Si Ton intercale, entre ces deux inversions, deux autres inversions prises relativement à un même plan perpendiculaire aux précédents, inversions dont l'ensemble ne produit aucun déplace-

440 NOTES DE l'auteur. - NOTE V.

ment, on voit que toute translation finie équivaut à deux renversements autour de deux droites parallèles qui sont perpendiculaires à cette translation et dont la distance est égale à la moitié de la translation. Le plan de ces droites est paralkUe à la translation.

7. Ces points étant admis, considérons d'abord une figure avec un point fixe O et voyons comment on composera deux rotations successives. La première sera représentée par un angl<» AOVi, la seconde par un angle BOB|. Soit OC riutersoction dn plan des deux angles. Faisons tourner le premier dans son plan, de manière à amener 0A| sur OC, ce qui le remplacera par un angle DOC. Faisons tourner de même le second dans son plan, de manière à faire coïncider OB avec OC, ce qui le remplacera par un angle COI)|. Pour composer les l'ota lions, il faudra eflecluer des renversements autour des droites OD, OC, OC et 0D|. Les deux renversemenis nterinédiaires se détruisant, il restera seulement ceux qui ont lieu autour de OD et OD,. c'est-à-dire la rotation que nous définissons psir l'angle D(^D|.

r.a méthode précédente n'exige même pas que l'on admette que tout déplacement d'une figure ayant un point fixe se réduit à une rotation; car il est évident que ce déplacement peut toujours se ramener à deux rotations, l'une qui amènera un point M quelcon- ([ue dans sa nouvelle position Mj et qui pourra être choisie dune infinité de manières, l'autre qui s'etTectuera autour de OM, . Comme nous apprenons à composer deux rotations, on voit qu'on pouria toujours réduire tout déplacement à une seule rotation.

F^assous maintenant au mouveuient le plus général. Ou peut toujours le réaliser en amenant, par une translation, un point M de la figure invariable dans sa nouvelle position Mi, puis en etlecluant une rotation autour d'un axe passant par M,. La translation se ramène à deux inversions relatives à deux plans ])arallèles (P), (Pi); la rotation équivaut de même à deux inversions autour de plans qui se coupent, ( Pj), ( P:i ). Donc, tout déplacement écjuivaut à quatre inversions aulour des plans (P), (P(), (Pj); (Pa)' '^O"*les premiers sont parallèles. Mais, comme on peut faire tourner le dièdre (P|), (Pa) d'un angle quelconque aulour de son arête, on peut supposer que les plans précédents ne sont plus parallèles.