I - — cot

admettra un nombre infini de limites dont l’une sera égale à zéro.

Corollaire 2.- Supposons que. lu fonction f (x) et ses dérivées successives, jusqu'à colle de 1 ordre n— i , étant continues, dans le voisinage de la valeur particulière £C = o, les n quantités

f(°)» f», f» , ... fC»“O(0)%-

s’évanouissent; et concevons que la valeur numérique de œ vienne à décroître indéfiniment. Zéro sera la limite ou l’une des limites vers lesquelles convergera chacun de» rapports

Jfr) . ?(*) J» fc«-o(x)

et par conséquent leur produit ou le rapport

$4 CA.LCUL DIFFÉRENTIEL.

On peut en dire autant des expressions

(3oj

f(n)(x) ’ ’ ■” ft'O(x) ’

que l’on obtient en multipliant lésons par les autres quelques-uns des rapports dont il s’agit.

4** Théorème. Les mêmes choses étant posées que dans le 5.* théorème, zéro sera la valeur unique ou l'une des valeurs que prendra le produit

(3>) xî'(x)

pour x = o .

Démonstration. Le produit (3i) s'évanouit évidemment avec la variable x , lorsque la fonction dérivée f-(cc) conserve une valeur finie pour x—'o. Si celte même fonction devenait infinie pour une valeur nulle de x , alors, en faisant converger x vers la limite zéro, on tirerait de l’cqualion (19) multipliée par G

o = lim [6f (a;)] = lim [0aîf'(O£c)] .

Donc zéro serait encore la valeur unique ou l’une des valéurs que prendrait le produit 6xf (0a?) pour une valeur nulle de Qx , çt par conséquent la valeur unique oli l’une des valeurs que prendrait le produit xî'(x) pour a;— o.

Corollaire. Le 4.e théorème continue de subsister dans le cas où la fonction f (a?) ne reste réelle ou infiniment petite qu’aulnnt que l’on attribue à la variable x des valeurs infiniment petites affectées d’un certain signe, comme il arrive quand on prend pour f(œ) l’une des fonctions (a5). Il peut même subsister dans le cas où la fonction dérivée f'(x) devient discontinue pour a? = o. Ainsi, par exemple, si l’on pose

.* f (x)‘ = acsin — f

le produit

Cf/ \ • 1 I

xf (x) = £csin - cos — ,

admettra , pour une valeur nuHe de x, une infinité de valeurs qori seront toutes i-eiir fermées entre les limites — 1 , -j- 1 et dont l’une sera égale à zéro.

5.* Théorème. Soit f(x) une fonction réelle qui obtienne, pour x~o, une valeur finie et déterminée /*(o) . Si celte fonction et sa dérivée f\x) restent continues entre les limites x = o, af= h , h désignant une quanti. èdinl la va'eur

numérique peut être supposée très-petite , zéro sera la valeur unique ou l'une des valeurs que prendra le rapport

(3 a) a: /'(ce)

pour x = o.

Démonstration. Pour déduire le théorème 5 du théorème 4# il suffit évidemment de poser

On établira encore sans difficulté le théorème dont voici l’énoncé.

6.* Théorème. Les mêmes choses étant posées que dans le 3.® théorème , considérons la variable x comme un infiniment petit du premier ordre , et supposons que le rapport

(33) . xt'W . .

se réduise, pour une valeur nulle de x, à une constante déterminée. La fonction réelle f(a?) sera une quantité infiniment petite dont l'ordre aura généralement pour mesure la constante dont il s'agit.

Démonstration. Désignons par a l’ordre de la quantité infiniment petite f(j) çt faisons de plus

(34) = ?(*)# OU {(x) = xa <f(x) .

Comme on tirera de l’équation (34), en différenciant les logarithmes do scs doux membres , m

il suffira, pour établir le 4*e théorème, de prouver que la valeur du rapport

fp) '

correspondante h x = o, est généralement nulle, quand elle n’est pas indéterminée. On y parviendra effectivement comme il suit.

La fonction f(æ) étant un infiniment petit de l’ordre* a, la limite du rapport

sera nulle * pour des valeurs positives de a — r, et infinie pour des valeurs positives de r — a. Donc , si l’on daigne par e un nombre aussi petit que l’on voudra , les deux fondions

s’évanouiront en même temps que la variable x. Gela posé, concevons que le rapport (3G) se réduise, pour æ=»ot h une constante déterminée c. Si la constante c n’est pas nulle, et si d’ailleurs la fonction Ÿ(£c) reste affectée du même signe depuis la valeur particulière £0 = 0 jusqu’à une valeur très- voisine x — X, les dérivées des expressions (38) , savoir.

fi») i

se réduiront constamment, pour de très-petites valeurs numériques de x et de *, à des quantités affectées des mêmes signes que les produits

Supposons maintenant la quantité X asse? rapprochée de 2éro pour que les fonctions (58) et (3q) , dont les deux dernières deviennent infinies quand x s’évanouit, restent finies et continues entre les limites x = o , x = X . Il existera entue ces limites [yoy. le corollaire i.er du 2.® théorème de la 4*e Leçon] une valeur de x pour laquelle le rapport dés expression^ (39) , .c’est-à-dire le produit

sera équivalent qu rapport des quantités

c’est-à-dire à l’expression

CfW3».

On pourra donc assigner à X et à x des valeurs numériques très-petites , et propres à vérifier l’équation

puis on en conclura , en faisant converger X vers la limite zéro.

- = lim

Or, cette dernière condition ne peut être satisfaite, quèlle que que soit la petitesse du nombre « , tant qu’on suppose la constante c différente de zéro. Donc , puisque s peut décroître indéfiniment, cette constante ou la limite du rapport (36) sera nécessairement nulle. En conséquence on tirera généralement de l’équation (35)

lim

xt'{x)

Cette dernière formule comprend le théorème qu’il s’agissait de démontrer.

Corollaire ier. Le 6.® théorème peut être aisément vérifié à l’égard des fonctions

xa , xn ex , xae~x, etc....

qui sont toutes de l’ordre a. Ce théorème subsiste, dans le cas même où la fonction f (œ) ne reste réelle ou infiniment petite , qu’autant que l’on attribue h la variable x des valeurs affectées d’un certain signç; comme il arrive, par exemple, quand on prend pour f(£c) l’une des fonctions

— i— , x\ xa\lx) , TT-r » xa\\(x) , e *, xe , etc...

qui sont la première de l’ordre zéro, la seconde de l’ordre 7, la troisième, la quatrième et la cinquième de l’ordre a, les deux suivantes d’un ordre infini , etc....

Corollaire 2.® Si, la fonction réelle f(aî) étant infiniment petite et de l’ordre a, la valeur numérique et le signe du rapport

devenaient indéterminés pour £C = o, on ne pourrait plus choisir X de manière que ce rapport ne changeât pas de signe entre les limites x = o , x~X ; et l’expression v

xî'[x)

~wr

ne sc réduirait plus nécessairement au nombre a pour une valeur nulle de la variable x. Ainsi, par exemple, si l’on prend

on trouvera

f(a?) = £csin — ,

xV{x)

: 1 - COt - .

Or, si l’on fait converger x vers la limite zéro , le second membre de l’équalion (44) convergera vers une infinité de limites distinctes , et non pas seulement vers la limite i.

Si la fonction f(x) devenait imaginaire, il pourrait arriver qu’aucune des valeurs de l’expression (33), correspondantes à æ = o , ne se réduisît à la constante a. Supposons , pour fixer les idées ,

(45) (cos — 4- v/-isin~-j

f(aî) sera un infiniment petit de l'ordre a, et l’on trouvera

xt'(x) i

Or, il est clair que l’expression (46) acquerra nécessairement une valeur infinie pour une valeur nulle de x.

Les quantités infiniment petites , -dont les ordres se réduisent h des nombres entiers , offrent quelques propriétés dignes de remarque, qui se déduisent immédiatement de la formule (12), et sont renfermées dans les propositions suivantes.

7.® Théorêmp.. Soient f[i) une quantité infiniment petite , prise dans le système dont la base est i , et (0) le premier terme de la série (11) qui ne s'évanouisse

pas. Supposons (V ailleurs que ce terme obtienne une valeur déterminée qui dt ffère de zéro. Le rapport

sera , pour de très-petites valeurs numériques de i, affecté du même signe que la quantité

SIXIÈME LEÇON. 5 g

8. c Théorème. Les mêmes choses étant posées que dans le 7.* théorème, si n est un nombre pair, la fonction f(i) sera, pour de très-petites valeurs numériques de i , constamment affectée du même signe que la quantité f<”> (o).

Exemple. Si l’on prend

/(i)=e‘ — 2C0st + c“‘,

on trouvera

Ainsi , l’on aura , dans le cas présent ,

Donc, en vertu du 8.® théorème, la fonction

e1 — 2 cos i + e~‘

sera constamment positive pour de très-petites valeurs numériques de i .

9. * Théorème. Les mêmes choses étant posées que dans le 7 .* théorème , si le nombre

n est impair, la fonction ,f{i) changera de signe, en passant par zéro, avec la variable i. Alors la variable et la fonction dont il s'agit seront, pour de très-petites valeurs de i , affectées du même signe, si la quantité o) est positive, et

affectées de signes contraires , si la quantité o) devient négative.

Exemple. Si l’on prend

f(i) = e‘ — 2 sin i — e”‘,

on trouvera

Ainsi, l’on aura, dans le cas présent,

Donc, en vertu du 9.* théorème, la fonction

e‘ — 2sint — e"‘

sera , pour de très-petites valeurs numériques de la variable t , affectée du même signe que cette variable.

Sur les maxima et les minima des fonctions réelles d'une seule variable.

Lorsqu’une valeur particulière de la fonction /(a;) est réelle et surpasse toutes les valeurs àéelles voisines , c’est-à-dire, toutes celles qu’on obtiendrait en faisant varier x en plus ou en moins d’une quantité très -petite; cette valeur particulière de la fonction est ce qu’on appelle un maximum.

Lorsqu’une valeur particulière de la fonction f(x) est réelle et inférieure à toutes les valeurs réelles voisines , elle prend le nom de minimum .

Cela posé, il résulte évidemment de ce qui a été dit dans la 4.* Leçon [voy. le corollaire i.cr du 1." théorème] que, si les deux fonctions /(ce), /'(æ). sont continues dans le voisinage d’une valeur donnée de la variable x , celte valeur ne pourra produire un maximum ou un minimum de /(ce) qu’en faisant évanouir x) . En partant de cette remarque , on résoudra facilement la question suivante.

Problème. Trouver les maxima et les minima d'une fonction réelle de la seule variable x.

Solution. Soit /( x) la fonction proposée. On cherchera d’abord les valeurs de x , pour lesquelles la fonction cesse d’être continue. A chacune de ces valeurs , s’il en existe , correspondra une valeur de la fonction elle-même, qui sera ordinairement ou une quantité infinie, ou un maximum, ou un minimum.

On cherchera, en second lieu, les racines de l’équation

avec les valeurs de x qui rendent la fonction f‘{x) discontinue , el parmi lesquelle* on doit placer au premier rang celles que l’on déduit de la formule

(*) /'(»)=*»» ou 7r7^f=0-

Soit x = x. une de ces racines ou une de ces valeurs. La valeur correspondante de

f{x), savoir f(x 0), sera un maximum , si, dans le voisinage de x = x0, la

fonction dérivée f'{x) est positive pour x < x0 , et négative pour x > x0. Au

contraire, f{x 0) sera un minimum, si la fonction dérivée f{x) est négative pour x<xot et positive pour æ>a?0. Enfin, si, dans le voisinage de x = xot la

fonction dérivée f'(x) était constamment positive ou constamment négative, la

quantité f(x 0) ne serait plus ni un maximum, ni un minimum.

Exemples. Les trois fonctions

qui deviennent discontinues, en passant du réel h l'imaginaire , tandis que la variable x diminue et passe par zéro, obtiennent, pour x = o, une valeur nulle qui représente un minimum de la première, et un maximum de chacune des deux autres-

Les deux fonctions

dont les dérivées, savoir

passent du négatif au positif, en se réduisant à zéro ou à l’infini , tandis que la variable x s’évanouit en passant du positif au négatif, ont l’une et l’autre zéro pour valeur minimum. Quant aux deux fonctions

(6) ar5, x7

dont les dérivées

deviennent encore nulles ou infinies pour x = xot mais restent positives pour toute autre valeur de x , elles n’admettent ni maximum , ni minimum .

La fonction

(8) x* -f px + v

reste continue, ainsi que sa dérivée, pour toutes les valeurs possibles de x. Mais cette dérivée , savoir

2x4 rp-

1 1 . a s'évanouit pour x =;. — — p , et devient négative pour x < - - p , positive

pour x > — p. Ou doit en conclure que la fonction (8) admet une valeur minimum correspondante à x = - — p. va^eur 1 minimum est

ce qu’on vérifie sans peine en observant que la fonction dont il s’agit peut être présentée sous la forme

(,.) (*+tp) +q~jp'’

et qu’en conséquence elle surpasse toujours <7 - -p’. quand x diffère de -p.

Désignons maintenant par A un nombre supérieur à l’unité, et par L(a?) le logarithme de x, pris dans le système dont la base est A. La fonction

(»») “ aura pour dérivée

et, comme cette dérivée est négative, nulle ou positive, pour une valeur de x supérieure à zéro , suivant que l’on suppose x < L(e) , x = L(e) , ou x > L(e) , il en résulte que la fonction (12) acquerra , pour x = L(e) , la valeur minimum

Au contraire , la fonction

dont la dérivée , savoir

est positive , nulle ou négative , pour une valeur de x supérieure à zéro , suivant que

l’on suppose i < e, ce = e , ou cc > e , acquerra , pour mum

Considérons enfin la fonction

LÇr)

xae~x .

Comme sa dérivée, savoir.

x = e , la valeur maxi-

sera positive, nulle ou négative, pour une valeur de x plus grande que zéro, suivant que l’on supposera x < a, x = a, cd > a ; on peut affirmer que la fonction (18) acquerra , pour x = a , la valeur maximum

(20) aae~a.

Lorsqu’afin d’obtenir les valeurs de x , qui fournissent des maxima. ou des minima de la fonction f[x) , sans rendre cette fonction ou sa dérivée f\ a?) discontinue, on a déterminé les racines réelles de l’équation (1) , alors, pour décider si chacune de ces racines produit un maximum ou un minimum do f{x)t il suflit ordinairement de considérer la fonction dérivée du second ordre. En effet , soit xQ l’une des racines dont il s’agit, et supposons que la valeur correspondante de fu[x ) se réduise à une quantité finie. A la racine x0 répondra un minimum de f{x) , si la fonction f'{x) passe du négatif au positif, en devenant nulle pour x = xQ; c’est-à-dire, en d’autres termes, si la fonction f'{x) croît avec la variable x dans le voisinage de la valeur particulière x = x0. Or, cette dernière condition sera remplie [voy. le 1.” théorème de la 4*® Leçon] , si la dérivée de f'[x), savoir f"[x), est toujours positive ou nulle pour des valeurs de x très -peu différentes de xa ; par conséquent, si la quantité f"{x „) offre une valeur finie et positive , ou bien une valeur nulle, mais qui représente un minimum de Au contraire, f[x0) sera un maximum de

f{x) , si, f'{x<>) étant nulle , la fonction f '(x) - i diminue pour des valeurs croissantes de ce, dans le voisinage de la valeur particulière x = x0; ce qui aura lieu [en vertu du théorème déjà cité], si la quantité fu(x0) offre une valeur finie et négative , ou bien une valeur nulle, mais une qui représente un maximum de J u{x). On peut donc énoncer les propositions suivantes.

i.er Théorème. Pour qu une valeur de x propre à vérifier ['équation

produise un minimum de la fonction f{x) , il sera nécessaire , et il suffira , si la va-

leur correspondante de f'{x) est une quantité finie et déterminée , que cette quantité soit positive , ou quêtant nulle elle représente un minimum de f"{x ) .

Exemple. Si l’on prend

on trouvera

Donc alors la valeur œ = L («) , qui fera évanouir f\x), réduira la dérivée f\x) à la quantité positive

—ifte)— x 3 — [L(.)]> ’

et produira un minimum de la fonction proposée — —

Soit encore

On trouvera

f[x) = ex — 2C0sce f'(x)‘= ex — 2 sin x — e~x ,

f\x) = ex -f- a cos cc -f- e~x .

Donc alors la valeur x — o, qui fera évanouir f{x) et f'{x) » réduira la dérivée f{x) à la quantité positive 1 2 -|- 1 = 4 i e* zéro sera la valeur minimum de la

fonction proposée. m

2.* Théorème. Pour qu une valeur de x propre à vérifier C équation (i) produise un maximum de la fonction f{x) • H sera nécessaire , et il suffira, si la valeur cor respondante de f*[x) est une quantité finie et déterminée, que cette quantité soit négative, ou quêtant nulle elle représente un maximum de f (*)•

Exemple. Si l’on prend

f(x)—xae-x,

on trouvera

Donc alors la valeur x = a, qui fera évanouir la dérivée /'(a?) » réduira la dérivée f"( x) h la quantité négative

- — f{x) — — axa~'e~x = — aa~te~a ,

et produira un maximum de la fonction proposée xae~Jc.

Concevons maintenant que, pour une valeur xa de x , propre à vérifier l’équation (i), sans rendre la fonction fin) discontinue, plusieurs termes consécutifs pris dans la suite des fonctions dérivées

s’évanouissent. Désignons par fW (as) le premier de ceux qui ne s’évanouissent pas , et supposons que /(,°(cc0) soit une quantité finie et déterminée. Pour que f[x0) soit une valeur minimum ou maximum de f (œ) , il sera nécessaire [en vertu des théorèmes 1 et 2] que f"{& „) = o soit une valeur minimum ou maximum de •

Par suite, la première des quantités

devra se réduire h zéro , et la seconde à une quantité positive ou négative , ou bien à une quantité nulle , mais qui représente un minimum ou un maximum de J ”(*)• Dans les deux premiers cas, on aura n = 4- Dans le troisième, on conclura encore des théorèmes 1 et 2 que la première des deux quantités

doit se réduire à zéro, et la seconde h une quantité positive ou négative, ou bien à une quantité nulle, mais qui représente un minimum ou un maximum de f~"(x). Si la seconde des quantités (25) diffère de zéro, on aura évidemment n-= 6. En continuant de la même manière, on finira par reconnaître, i.° que, si la valeur x = xa

produit un minimum de la fonction f(x), n sera un nombre pair, et f^[x0) une quantité positive; 2.0 que , si la valeur x = x0 produit un maximum de la même fonction, n sera toujours un nombre pair, la quantité fw[oc0) étant négative. En conséquence, on peut joindre aux théorèmes 1 et 2 celui que nous allons énoncer.

3.® Thêorême. Lorsqu'une valeur particulière de x , dans le voisinage de laquelle la fonction f[x ) reste continue, fait évanouir les dérivées de f[x ) dont l'ordre est inférieur à n, et réduit la dérivée de l'ordre n à une quantité finie et déterminée , la valeur correspondante de f[x ) ne peut être un maximum ou un minimum , que dans le cas où la lettre n désigne un nombre pair. Dans ce même cas , la fonction f[x ) deviendra un minimum, si la valeur de f^(x) est positive , et un maximum , st /« Dd/ettr /w(*) est négative.

Exemple. Si l’on prend

f(x) = ex 2Cosa:-f- e~x.

ou trouvera

f\x ) =ex — 2sinæ — e

f"(x) =ex — 2 costc -f* e~x ,

f"\ a?) = ex 4- 2 sina? — e~x ,

f”(a 3) = ex + 2cosœ + = f{x).

Donc alors la valeur 35 = 0, qui fera évanouir les fonctions dérivées

réduira la dérivée /'"(a?) à la quantité positive 1 — f- 2 -f- 1 = 4 î et par suite la valeur correspondante de la fonction proposée y’(x) , ou le nombre 4 » sera un minimum de cette fonction.

Le 3.® théorème pourrait se déduire directement de la formule (*9) [4*° Leçon]. En effet, pour qu’une valeur particulière de f{&), telle que f[x 0) , soit un minimum, il est nécessaire, et il suffit, qu’elle soit surpassée par toutes les valeurs réelles voisines ou de la forme f{x0 4-0 , i désignant une quantité infiniment petite, c’est-à-dire, en d’autres termes , que la différence

reste positive , quand elle est réelle, pour de très-petites valeurs numériques de la quantité

t , et quel que soit d’ailleurs le signe de cette quantité. De même, ponr que f[x 0) soit un maximum de f[x) , il est nécessaire, et il suffit, que les valeurs réelles de la différence (24)» qui correspondent h des valeurs de i très- rapprochées de zéro , soient constamment négatives. Gela posé , si , la fonction f[x ) étant continue dans le voisinage de la valeur particulière icr=xXii les dérivées de f{x) , d’un ordre inférieur ou égal ît n, se réduisent, pour x — xoy les premières à zéro , la dernière h une quantité finie et déterminée , positive ou négative ; alors , en attribuant à t une très-petite valeur numérique, et désignant par 0 un nombre inférieur à l’unité, on aura [en vertu de la formule (19) de la 4*c Leçon] ê

Or, il résulte évidemment de 1 équation (25) que, pour de très-petites valeurs numériques de t, la différence (24) sera une quantité affectée du même signe que le produit

(*€) iVwW*

Par conséquent, si n est irti nombre pair, cette différence changera de signe avec t , et la quantité f(x0 ) ne pourra être ni un maximum ni un minimum de f(x). Au contraire, si n est un nombre pair, la différence (24) . en s’approchant de zéro, restera, comme le produit (26), et quel que soit le signe de t, constamùient positive ou constamment négative, suivant que le second facteur du produit en question, savoir fw(x o) , sera lui-même positif ou négatif. Donc alors f[x 0) sera un maximum ou un minimum de f{x), suivant que la quantité fSn) {x0) sera positive ou négative. Il est bon d’observer qu’on pourrait encore établir le 3.* théorème en remplaçant , dans les théorèmes 7, 8 , 9 de la Leçon précédente, la quantité infiniment petite f(i) par la quantité infiniment petite /-(re-0 -f- t) — - f[x0).

Nous remarquerons, en terminant cette Leçon, que, si l’on désigne par y la fonction f{x) , les différents termes de la série (21) sé présenteront sous la forme

dj d'y d'y

dx ’ dx ' * dx 3 *

Alors l’équation (1) deviendra

(28) dy = o.

De plus, on peut évidemment affirmer, i.° que, si

dny

dxn

représente le premier terme de la série (25), qui obtienne, pour x = x0, une valeur différente de zéro , dny sera le premier terme qui remplira la même condition dans la série des différentielles

(29) dy , d'y, d'y, etc...;