COS X
[ sin-j-x !
[ cos •— x ;
etc....
Sur les Dérivées des fonctions qui représentent des quantités infiniment petites.
Soit /(t) une fonction réelle qui s’évanouisse en même temps que la variable t , et prenons cette variable pour base d’un système de quantités infiniment petites. Soit de plus a un nombre constant rationnel ou irrationnel. D’après ce qui a été dit dans les Préliminaires, f{i) sera un infiniment petit de Y ordre a,* si la limite du rapport
est nulle pour toutes les valeurs de r plus petites que a , et infinie pour toutes les valeurs de r plus grandes que a . Cela posé , il sera généralement facile de fixer l’ordre d’une quantité infiniment petite. Seulement, pour y parvenir, on devra, dans certains cas , évaluer des expressions qui se présenteront sous une forme indéterminée , à l’aide des principes établis dans la Leçon précédente. Ainsi , par exemple , si l’on considère le produit
on reconnaîtra sans peine, i.° que ce produit s’évanouit avec la variable t, aussi bien que le produit xa 1 (æ) avec la variable x [voy. la formule (17) de la page 44]î 2.0 que le rapport
s’évanouit pareillement pour des valeurs positives de a — r, et acquiert une valeur infinie pour des valeurs positives de r — a . Donc, l’expression (1) sera une quantité infiniment petite de l’ordre a.
De même, puisque la fonction
s’évanouit avec t , tandis que le rapport
CALCUL DIFFERENTIEL.
se réduit à zéro pour des valeurs positives de a — r, et à — pour des valeurs positives de r — a ^ on peut encore affirmer que l’expression (3) est un infiniment petit de l’ordre a. On doit en dire autant des produits
que nous avons déjà considérés à la page 12 des Préliminaires, et que l’on forme en multipliant l’expression (2) ou (3) par uu nouveau facteur c‘, qui reçoit la valeur finie 1 pour t = o.
Lorsque , dans l’expression (3) , on pose a =0 , on obtient le rapport
qui est une quantité infiniment petite de l’ordre a = o. Effectivement ce rapport s’évanouit avec t. Mais, si on le divise par tr, on aura, pour * = 0,
<rl(0 o
l’exposant r ayant une valeur positive aussi petite que l’on voudra. On reconnaîtrait encore facilement que l’expression
est une quantité infiniment petite de l’ordre oc . En effet, celte expression s’évanouit pour t = o , et si , après l’avoir divisée par tr, on pose 4- = a: , on trouvera,
pour i = o, ou , ce qui revient au même, pour 33 = 00 [voy. la formule (i3) de
la page 4^],
l’exposant r ayant une valeur positive aussi grande que l’on voudra.
Concevons à présent que, la fonction. /(t) étant un infiniment petit Je l’ordre a , l'on désigne par n le nombre entier égal ou immédiatement supérieur il la constante a , le rapport
sera en général le premier terme de la progression géométrique
Ah
Ah
qui cessera de s’évanouir pour t* = o , ou , ce qui revient au même , d’être une quantité infiniment petite. On doit seulement excepter certains cas particuliers dans lesquel* la constante a coïncide avec le nombre entier n. En effet, le rapport
Ah '
que l’on déduit de l’expression (i),en posant r = a, peut obtenir, pour *== o, comme on l’a remarqué dans les Préliminaires [page 12], une valeur finie ou nulle ou infinie. Or, quand ce rapport s’évanouit avec t, et que Ton a d’ailleurs a=n , il est clair que l’expression
est le premier terme de la progression (7) , qui cesse d’être une quantité infiniment petite. C’est ce qui aura lieu , par exemple, si l’on prend pour /(t) la faction
(io) rfTj *
dont la valeur devient nulle pour t = o , En résumé, le premier terme de la progression (7), qui 'cessera de s’évanouir avec t, sera toujours l’une des expre^jjons (6) ou (9). Cela posé, si l’on fait converger t vers la limite zéro, et; si l’on a égard aux théorèmes 1 et 2 de la Leçon précédente, on trouvera successivement
lim/(t) = <>N, ** ou
lim r= lim f'[i) ~ 0 ? f\°) ^ 0 »
iü»4a»i*Æ=..
b|i=ii„4m.=0,
I)onc , ci l’expression (6) ne s’évanouit pas avec i, /« (o) sera la première des quantités
(”) . /(»)■• /». /», /'"(o), etc...,
qui obtiendra une râleur differente de zéro. Au contraire, si l'expression (6) s'évanouit avec t, la quantité
(,si) /W(o) = 1.2.3.. .nlimÆL
sera encore nulle, et l’on aura par suite
Alors , l’expression (9) ne s’évanouissant pas avec t , /C«+0(0) sera le premier terme de- la série (11). qui obtiendra une valeur autre que zéro. En conséquence, on peut énoncer la proposition suivante.
1. Théorème. Désignons par f{i) une quantité infiniment petite , qui soit de l ordre a dans le système dont la base est i , et par n le nombre entier égal ou immédiatement supérieur à la constante a. Si Cona n > a, ou a étant égal à n , le rapport
n acquiert pas une valeur nulle pour i=z o ,
sera la première des fonctions
M /«. /'(•’). /'(«) , /'"Ci),
etc...
qui cessera de s'évanouir avec i. Mais , si l on a n — a , et de plus
U premier terme de la série (i4) 7 tu cessera de s1 évanouir avec i sera la fonction (16) f . /
Soit maintenant f(a;) une fonction réelle de x, tellement choisie que le rapport
s'évanouisse pour ï^o. Si l’on considère la variable x comme représentant une quantité inliniment petite du premier ordre , f(œ) sera un iniiniment petit d un ordre égdl ou supérieur h n; et l’on conclura du i.*r théorème que les fonctions
f(œ) , f'Oz), f» . fc— *>(*)
s’évanouiront toutes pour cc = o. Par suite le 4-° théorème de la 4** Leçon entraînera celui que nous allons énoncer.
?.• Théorème. Supposons que, les fondions
î{x), f \x ), f»,... fW(«) •
étant continues depuis x = o jusqu à X — h, le rapport
s'évanouisse avec la variable x. Alors , si Ion attribue à x, ou la valeur h, ou une valeur comprise entre les limites o , k , on pourra trouver un nombre t inférieur à i , et propre à vérifier la formule
(■») f.(x)=-,TaJ3-n-f('l>(8x).
Corollaire. Lorsqu’on prend »= i , l’équation (l8) se réduit à
5* CA.LCUL DIFFÉRENTIEL.
Cette dernière s’accorde avec l équation (10) de la 4.® Leçon, et suppose, i'° que la fonction f(æ) s évanouit avec x; 2. 0 que les fonctions f(a?) , f'(a;) restent continues entre les limites x — 0 , x — h, la fonction dérivée pouvant d’ailleurs admettra une valeur infinie ou une solution de continuité pour x = o. Ajoutons que l’on déduit aisément de l’équation (19) les propositions suivantes.
5.® ImioRÊME. Soit f (x) une fonctionnelle qui s'évanouisse avec la variable x. Si celte fonction et sa dérivée f '(œ) restent continues entre tes limites x — o , xz=z h , fi désignant une quantité dont la valeur numérique peut être supposée trèspetite ,, zéro sera la valeur unique ou l'une des valeurs que prendra le rapport
pour £c = o.
Démonstration. II suffit évidemment de démontrer le 5.® théorème dans le cas où lu fonction dérivée £\x)~ s’évanouit, en même temps qpc f(æ), pour la valeur
nulle
particulière x=* o; attendu que la valeur coerespondante du rapport dans toute autre hypothèse, se présente alors seulement sous la forme indéterminée . Or, si I on divise par f'(a;) les deux membres de la formule (19) , on en tirera
Cela posé, concevons que, f,(o) étant nul, on fusse décroître indéfiniment la valeur numérique de x. Comme Qx désigne une quantité comprise entre z<£ro et x , convergera plus rapidement que' £\x) vers la. limite zéro; d’où il résulte que la fraction
obtiendra une multitude de valeurs inférieures 5 l’unité, et le produit x — J. ■ — une multitude de valeurs sensiblement nulles. Donc la limite ou l’uno
des limites vers lesquelles convergeront ce même produit et le rapport (20) qu’il représente sera égale à zéro.
Corollaire i*r Le 3.® théorème peut être aisément vérifié h l’égard des fonctions
- cosa? ,
Il subsiste dans le cas même où la fonction f(ar) ne reste réelle ou infiniment pefite
qu’autaut que l’on attribue h la varhble æ des valeurs infiniment petites affectées d’un certain signe; comme il arrive, par exemple, quand on prend pour f(x) l’une des fonctions
etc... .
qui cessent d’être réelles ou infiniment petites, lorsqu’on donne à x des valeurs infiniment petites, mais négatives. Enfin ce théorème peut subsister, quoique la fonction dérivée f'(aî) devienne discontinue pour x = o. Ainsi , en supposant
(24) f(aî) = œsin — <
on trouvera que la fonction dérivée
(®5) . i'(x) =. sin — - — cos —
devient indéterminée , par conséquent discontinue , pour aj = o ; et , si l’on fait alors converger x vers la limite zéro, là valeur du rapport (19), tirée des équations (2^ et (25) , savoir
(26) 'fC-*î — '
