que, si n est un nombre pair, la différentielle

dny = f<">(x) dxn

sera constamment affectée du même signe que la fonction dérivée (ce). Cela posé , il est clair qu’on pourra substituer au 3.* théorème la proposition suivante.

4«® Théorème. Soit yz=zf(x) une fonction donnée de la variable x. Pour décider si une racine de C équation (28) produit un maximum ou un minimum de la fonction proposée, il suffira ordinairement de calculer les valeurs de d'y , d'y , d^y,... correspondantes à cette racine. Si la valeur de d'y est positive ou négative, la valeur de y sera un minimum dans le premier cas , un maximum dans le second. Si la valeur de d'y se réduit à zéro , on devra chercher parmi les différentielles d'y , d^y , .... la première qui ne s' évanouira pas. Désignons celle-ci par dny. Si n est un nombre impaiç, la valeur de y ne sera ni un maximum, ni un minimum. Si , au contraire, n est un nombre pair , la valeur de y sera un minimum toutes les fois que la différentielle dny sera positive, et un maximum toutes les fois que la différentielle dny sera négative .

Nota. Il faut admettre, pour le 4-# théorème, comme pour le 3.*, que la fonction dérivée

dn y

conserve une valeur non - seulement finie , mais encore déterminée pour x = x0, et par conséquent , que cette dérivée reste continue , ainsi que les fonctions

dans le voisinage de la valeur particulière x0 attribuée à la variable x.

Développement d'une fonction réelle de x suivant les puissances ascendantes et entières de la variable x, ou de la différence x — a, dans laquelle a désigne une valeur particulière de celte variable.

Lorsque, la fonction f(x) étant réell<^et continue, avec ses dérivées d’un ordre inférieur ou égal h n, depuis x = o jusqu’à oo = h, le rapport

s’évanouit en meme temps que la variable x; alors, en supposant celte variable renfermée entre les limites o, h, on peut, comme on l’a fait voir dans la 6.® Leçon [page 5i] , trouver un nombre 0 inférieur à 1 , et propre à vérifier la formule

Or, ce principe fournit un moyen très-simple de développer les fonctions réelles d’une seule variable x suivant les puissances ascendantes et entières de cette variable, ainsi qu’on va le montrer en peu de mots.

Soit f{x) une fonction réelle de x qui conserve une valeur finie, aussi bieu que se9 dérivées d’un ordre inférieur ou égal à n, pour une valeur nulle de x; et supposons d’ailleurs que les fonctions

restent réelles et continues depuis cc = o jusqu’à x — h. On tirera successivement de l’équation (2) ,

i.° en posant f (#)=/’(*) — /(°) » et n=i,

(4) /(*) — /(o) z=xf'(Qx) .

puis , en posant /'(æ) == f'{° ) *4" P *

CALCUL DIFFERENTIEL.

f{x)-f{o)-xf'(o) .

posant «f (ce) = /( x) — /( o). — ce/'( o) , et n = 2 ,

puis, en posant /'(Scc) =f"[°) 4" (? *

3.8 en posant f(a;)=/(a;) — /(o) — £c/'(o) — -—/''(o) » et n — 3, (6) /(») — /(o) — */'(<>) — /"(o) = -^3- /'"(e*) »

puis , en posant /'"(ôar) — f"'(p) 4“ R *

, /(«)-/(*)-/'(•) - tt/'W" rxr /"»

etc.... En continuant de la même manière, et observant que les fonctions

— «• TTs"’ etc"

s’ évan naissent toutes avec x , on établira définitivement 1 équation

(7) /<«) -/(») -•/'(«) - 7; /"(o) - - ,^3.,~(n-Tr/C',~1^0) = TZXT /W (9a!) ’

OU

(8) . / (*)•= /(“)+ f/'(p) +”+ 77^7r/("0(u) + li/<'0(6lc)-

Il suit de la formule (8) que la fonction réelle /(*) peut être considérée comme composée d’une fonction entière de x , savoir

el d’un reste, savoir

Si, dans la même formule, on pose successivement n= i , n = 2 , n= 3, etc... , on obtiendra les équations

etc.... •

qui coïncident avec les formules (4) , (5) , (6) , etc....

Exemples. Concevons que l’on désigne par p une quantité constante, et que l’on prenne successivement pour f{x) les fonctions réelles

ex, cosæ, sinar,

qui restent continues , avec leurs dérivées des divers ordres , les trois premières quel que soit x, et les deux dernières, quand 1 -J- x est positif. On trouvera, pour les valeurs de fW(x) relatives à ces mêmes fonctions ,

et pour les valeurs correspondantes de fw( o)

En conséquence, la formule (8) donnera, pour des valeurs réelles quelconques de la variable x „

(i4) ex=i + — + — + •

a?» x 4 arn“x

(i5) cosa;=i - + - — +••• + - ■=—, —

v ' j. 2. 5 i.2. 3. 4* 5 i.a.o..(n-ij

et, pour des valeurs de x supérieures à — 1 ,

(n^ +f!sin(|JC -V

(n-i)ir a;"

- - - cos- - — + —= — <

. (n-l)ir xn sin - - - - s,n

Si , dans les formules (i5) et (16) , on prend pour n un nombre pair, elles se réduiront à

(iq) COS CE = 1 ' — — + — — .