COS 0X
t JiO) Sin X ’ 1 — ' rr 4* * * ‘ rr / \ I I O ^ T1
On trouverait de même, en prenant pour n un nombre impair,
sin 0 a: .
(21) cosæ = 1 - + ■
x zzi - - - sin Occ ,
T 3 xs xn~~* &n
(22) «“* = *-7^3+, .2.3.4.5““,,::fc 1.2.3... (n-V)' ^ 1.2.3...» C0S ®'
Si l’on fait en particulier n = 1 , on tirera des formules précédentes
. x « . 1 - rnç t sin#
(23) — = e0x, (24) - = sin9x, (î5) — ^- = cosOx,
l(i + aQ __ 1
Si l’on fait , au contraire , n = 2 , on trouvera
Cx = 1 “1“ X *4“ -
COS£C= 1 — - * COSOx,
' ('+*) = *- T (tTït)’’
Supposons encore
f{x) = arctanga;.
On aura clans cette hypothèse
f ix) x+x* 2 [ \-X\/~l
/« (•) = j, (-.)■ j (VC)' — .
et par suite #
/<*>(o) = o, . ou /0$(o)=a(- — l) 3 1.2.3... (n — l) ,
suivant que l’on prendra , pour n , un nombre pair ou un nombre impair. Cela posé, la formule (8) donnera , pour des valeurs réelles quelconques de la variable x , mai» pour des valeurs paires du nombre entier n ,
*3 *5 s»-* g» +o*yr,)—
(35) arctangai — »— + y — n 2^
et , pour des valeurs impaires de n ,
(34) arctangæ =
, a?5 xn~ 1 xn (x-Qx\/“i) "+(i + 9a;^/ri) n
f+t— "±— =Fr - ; -
Lorsque la fonction /'(ai) est entière et du degré n, sa différentielle de l’ordre n , et par suite sa dérivée de l’ordre n se réduisent à des quantités constantes [voy. la 3.* Leçon, page 5i]. On a donc alors
(35) fW{Bx) = f<n>{o) ,
et l’on tire de la formule (8)
(36) f(x) = /(o) + ± /'( o) + fl /'(o) + . . +
Il est facile de vérifier cette conclusion , et d’établir directement l’équation (36) , dans le cas même où la fonction f{a. j) cesse d’être réelle ainsi que la variable x. En effet, soit
(37) y’(sc) =a„4- atx-\-a*x' 4“ •••
une fonction entière du degré n . En différenciant n fois de suite l’équation (3y) , a trouvera
/'(*) = ï.a0 2atx -1- ... -f- nanx *-* , f\x ) = 1.2. a, 4* ... 4- (n — i)nanx"-% t etc....
f(n>{x) == 1. 2.5 ... (n — 1) na„ .
Or, si l’on pose , dans ces diverses formulet , x = o , on en tirera
puis, en substituant les valeurs précédentes de a0 , a, , ... a* dans l’équation (37) , on reproduira évidemment la formule (36).
Exemple. Soit f(x) = (1 4"®)"* Oa obtiendra la formule connue
Concevons maintenant que, la lettre désignant une valeur particulière de la variable
x, la fonction f(x), entière, ou non entière, conserve, pour x = a, une valeur finie, aussi Lien que ses dérivées d’un ordre inférieur ou égal à n; et supposons d’ailleurs que les fonctions (3) restent réelles et continues depuis x == a jusqu’à x = a 4- Alors , si l’on fait
(4,) x = a + z, et (4s) ^(2)==/(a + *)»
on trouvera
F’(o) — fia) , ' J’» =/» . . /?W(o) = /w(«) .
el l’on conclura de la formule (8) , pour des valeurs de z comprises entre les limites o. A,
(45) F(,)=F( o) + f F'(o) +ilF"(o)+.. + + TX53rFW (C,)>
ou, ce qui revient au même.
Par conséquent, dans l’hypothèse admise, on peut trouver un nombre e inférieur à î , et propre à vérifier la formule (44) » lant Si116 la variable x demeure comprise
entre les limites *==.<*, x = a + h. En vertu de la même formule , la fonction f{x) peut alors être considérée comme composée de la fonction entière
qui se trouve ordonnée suivant les puissances ascendantes de x — a , et d’un reste représenté par le produit
■ (JV— +
Si , dans la formule (44) , on pose successivement n — i , n = 2 , etc.... , on ob~ tiendra les équations
etc....
Exemples. Concevons que l’on désigne par p une quantité constante , et que l’on prenne successivement pour y (ce) 'les deux fonctions réelles
qui restent continues , avec leurs dérivées des divers ordre^s , tant que l’on attribue à la variable æ une valeur positive et finie. On^Muvera , pour les valeurs générales de f(n)(x) , relatives à ces deux fonctions.
En conséquence, la formule^) donnera , pour des valeurs positives de la variable a: , (5o)
On arriverait aux mêmes résultats, en remplaçant dans les formules (17) et (18) la va-
riable x par la différence — - 1 .
Si l’on fait en particulier n=i , on tirera des formules (5o) et (5i)
(5a) = — «) Cfl 4“ ® 0* ““ >
Il est souvent utile de substituer aux expressions (10) et (46) d’autres expression» équi valentes. On peut y parvenir comme il suit.
Supposons que, dans l’équation (44) , on regarde la quantité œ comme constante, la quantité a comme variable; et désignons par ?(a) ce que devient alors l’expression (46) considérée comme fonction de a , en sorte qu’on ail
(54) /(*)=/(«) + ^r/'(«) ••• /c""° (rt) + T w •
On conclura de la formule (47) * en y remplaçant la lettre / par la lettre f ,
(55) ? (a) = «p (cd) — (« — a) ?'[« + 0 (as — a)].
D’ailleurs on tirera évidemment de l’équation (54) et de cette même équation différenciée par rapport à la quantité a
^)=—rS^)/W(a)i
et par suite
(58) ?'[* + •(*-.)] = - fWla + » (* - «))■
Cela posé, la formule (55) donnera (&9)
» W = ^S-lf / w «»•
On peut donc substituer l’expression (5ij) à l’expression (46). Seulement, dans le passage de l’une à l’autre, le nombre 0 pourra changer de valeur, mais en demeurant compris entre les limites 0,1.
Lorsqu’on a égard à l’équation (59) , la formule (44) se réduit à
Si l’on pose, dans cette dernière, &■=. 0, on aura simplement
/(*) = /(.) + — /'(o) + ^ + . + ,Jf /^->(»)
Il résulte de l’équation (61) que, dans la formule (8), l’expression (10) peut être remplacée par la suivante
Seulement , dans le passage de la première expression à la seconde , le nombre 6 pourra changer de valeur, mais en demeurant compris entre les limites o, 1.
Si, dans les équations (6o) et (6i) , on prend n=i, on devra remplacer en même temps le prftduit 1.2.3... ( n — i) par l’unité. Donc alors on retrouvera les formules (î î) et (47)* Mais , en posant n = 2, n = 3, etc..., on obtiendra les équations
(05) f{x ) = /(a) -f- (se — à)f\x) 4- (î — G) ( x — «)’/"[« 4- 0 (* — a)\,
(66) /(x) = /(o) + »/'(») + -£■ /"(o) + iil^fl/'"(0x) .
Exemples. Si l’on prend pour f {c c) les fonctions (î 4-sc)'\ U» + *) *
et, si l’on attribue à x. une valeur qui surpasse la quantité — i , on tirera de la formule (6i)
\ /. , , pCp-O , p(p-i)(p“a)-(i*-w+a) n,.
Si l’on pose en particulier n = s , on trouvera simplement
(69) (, + x)* = l + | »x + p(p— l)x’(l — 6) (1 4- Sx)
Théorèmes de Maclaurin et de Taylor.
Lorsque, pour des valeurs de x comprises entre certaines limites, et pour des va leurs du nombre 0 t inférieures à l’unité, Tune des expressions
décroît indéfiniment tandis que n augmente; alors , en posant n = oo dans l’équation (8) ou (61) de la 8.c Leçon, on trouve
(5) /(*)■=/(») +~f\ o) + £/» + t zr/"'(°) + elc—
Donc alors la série
w) /(o). -f /'(«).- -rr/'W. elc-;-
qui a pour terme général le produit
reste convergente , tant que la variable x demeure comprise entre les limites données , et cette série fournit une somme équivalente à la fonction /(»)• L est en cela quo consiste le théorème de Maclaurin.
11 est important d’observer que la fraction renfermée dans l’expression (2) , savoir.
.’évanouit pour une valeur infiuie de n . Eu effet le produit
croît évidemment avec le nombre entier m, depuis m= 1 jusqu’à m = — ;
cl , comme on a en conséquence
il est clair que la valeur numérique de la fraction (6) sera toujours inférieure à celle de la quantité
et s’évanouir a aussi bien que celle quantité, pour n = . On en conclut immédiate¬
ment que , dans le cas où la quantité
conserve une valeur finie, tandis que n croît indéfiniment, l’expression (1) converge vers une limite nulle. Donc alors la série de Maclaurin , c’est-à-dire , la série (4) , est convergente, et elle vérifie la formule (3). C’est ce qui arrivera pour toutes les valeurs réelles et finies de x , si à chacune d’elles correspond une valeur finie de la fonction /«(a).
Exemples. Si l’on prend successivement pour f{x) les trois fonctions ex , cosx , sma? ,
on trouvera, pour les valeurs correspondantes de f^{x) ,
ex, cos [ce-f- -
sin [x - J .
Comme ces dernières quantités restent finies, quel que soit x, tandis que n augmente; on peut affirmer que le théorème de Maclaurin est toujours applicable aux fonctions ex , cosa; , sin a;. On aura en conséquence , pour des valeurs réelles quelconques de la variable x ,
cosa; = 1 - 1 - — - — c ■ -f- etc... ,
— etc..
L’équation (10) coïncide avec la formule (12) des préliminaires. Si l’on y remplace la variable x par le produit xl (A), A désignant une constante positive ; alors , en ayant égard à la formule
on trouvera
(,5) A‘= . + ^ lHA)V + elc....
Au reste, il peut arriver que la fonction f^^x) devienne infinie avec le nombre n , et que le théorème de MMèlaurin subsiste. Concevons , par exemple , que l’on prenne
et qu’en même temps on attribue à la variable x une valeur numérique inférieure à l’unité. On trouvera, dans ce cas, »
jS£->(®)==fa
et , comme le rapport
toujours supérieur au produit
croîtra indéfiniment avec n, on pourra en dire autant des deux fonctions f^{x), ftn)(Qx). D’ailleurs l’expression (2) deviendra
=fc
(1 + Sx)"
et, comme la fraction
sera évidemment un nombre inférieur à l’unité, il est clair que l’expression (i4) s*éva-
n ,üira pour n — oo . Ou aura , en conséquence , pour toutes les valeurs de x comprises entre les limites — i » 4“ 1 »
Si la valeur numérique de la variable * devenait supérieure b l’unité, alors le terme
général de la série
savoir ,
convergerait, pour des valeurs croissantes de n, vers la limite ± oo [voyez la for mule (il) de la page 4a]. Par suite, la série (16) , étant divergente, n’aurait plus de somme, et cesserait de vérifier la formule (i5).
Si , dans la formule (i5) , on fait converger la variable x i.° v«rs la lftnite i , a.0 vers la limite — i ; on trouvera , dans le premier cas ,
(4?) H») = > - 7 + ÿ - 7 + elc’ • ’ =71 + ^4+ Te + - «.«98 *4? 1 .
et dans le second
Supposons encore
f[x) = arctangæ.
Alors , si l’on prend pour x un nombre impair, l’expression (i) se trouvera réduite au dernier terme de la formule (54) de la 8.® Leçon , c est-à-dire à
Soient d’ailleurs
Qx[/7l)-" + (i + Qx[/tl)-n
pn et qn deux quantités réelles déterminées par l’équation
^-(«+ Qx[/7l)-n — pll-\-qnl/~ .
On aura évidemment
et par suite
-—(i — Ox[/.l)-n=pn — qnS/Tx ,
xn (i - Ox[/~i)~n+ (1 + Qx[/7i)-n
De plus on tirera des formules (21) et (22) combinées entre elles par voie de mullipli-
ou , ce qui revient au même ,
Si maintenant on attribue à la variable x une valeur numérique inférieure h l’unité , la valeur du binôme pn * -f- qn ■ , fournie par l’équation (24) , deviendra évidemment nulle pour n — a°i0 et par suite la quantité ou l’expression (20) convergera,
pour des valeurs croissantes de n , vers la limite zéro. Donc alors, en posant n = 00 dans la formule (54) de la 8.* Leçon, on trouvera
arctangcc = x -
Si la valeur numérique de x devenait supérieure à l’unité, alors , comme l’expression (17) convergerait , pour des valeurs croissantes de n, vers la limite =h 00 , la série
serait divergente, et cesserait de vérifier la formule (20).
Si , dans la formule (a5) , on fait converger la variable x vers la limite 1 , on
(*7) 4- = arclano + etc. = 2 + — + — + etc. ^
cl par suit#
(28) * = 8(775-4- Jj- + clc — ^ =5,14109260....
Si l’on prenait, au contraire, x = -~- , la formule (2Ô) donnerait
(29) i = arctans-j7T-"j7^
Supposons maintenant
fi désignant une quantité constante. Dans cette hypothèse, la série de Maclaurin deviendra
p(p- 0 , *) Cf* ~ a)
1 , px ,
-x3, etc... ,
tandis que les expressions (1) et (2) se trouveront réduites aux derniers termes des formules (17) et (67) de la 8.® Leçon, c’est-à-dire, aux produits
et
fi(fi- i)(fi-a)...(fi-n + i)
fi(fi-i)(fi-2)...(fi-n+i) 1.2.3... (n — 1)
£c"(i -f“ Ôa5)^”n,
(1 — 6)n“,£Cn(i
De plus, si l’on désigne par un le terme général de la série (3o) , et par m un nombre entier inférieur à n , on aura évidemment
u — f*(f*-i)(f*-2)...(fi-n + i) x„ 1.2.3 ...71 '
