HL
Gela posé , représentons par r la valeur numérique de xt et par p un nombre choisi arbitrairement entre les limites 1 et r. On pourra évidemment attribuer à m une valeur assez considérable pour que, n étant supérieur à m, la valeur numérique du produit
reste comprise entre 1 et p. Alors celle du rapport
se trouvera elle-même renfermée entre les limites 1 et p n— w . Par suite, si l’on «
r>P> îi
la. fraction —, et le produit de cette fraction par , ou la quantité u„ , deum
viendront infinies, en même temps que pn~m , pour n= oo . Au contraire , si l’on a
les quantités — et u„ s’évanouiront pour n = oo , en même temps que p" Ajoutons qu’on pourra en dire autant, i.° de la quantité
(p- 0(p-a)»-(f*-” + 0 xn-, '
que l’on déduit de «„ en diminuant chacun des nombres p et n de l’unité; a.0 de l’expression (3a) qu’on obtient en multipliant la quantité (55) par le produit
attendu que ce produit converge, pour des valeurs croissantes de n, vers une limite finie ou nulle. Donc, si la valeur numérique de x surpasse l’unité, la série (3o) , dont le terme général deviendra infini avec le nombre n , sera divergente et n aura pas de somme. Mais , si la valeur numérique de x est inférieure à l’unité , alors , en posant n — oo , on tirera de la formule (67) de la 8.® Leçon ,
x3 -f- etc....
Par des raisonnements semblables 5 ceux qui précèdent , on prouverait aisément que l’expression (3i) s’évanouit pour une valeur infinie de n, quand la variable x est renfermée entre les limites 0,1. U en résulte que l’équation (36) peut être déduite de la formule (17) de la 8.® Leçon , mais dans le cas seulement où la variable x reste positive et inférieure à l’unité.
Lorsque, dans la formule (36), on remplace la quantité p par un nombre entier n , on retrouve l’équation (4o) de la 8.® Leçon. Si , dans la même formule , on écrit — P ou lieu de p, on en tirera
x3 + etc..
On aura par suite
Enfin , si l’on pose successivement n= 1 , f* = 2 , f* = 3, etc . P — m , m
désignant un nombre entier quelconque , l’équation (38) donnera
(3q) -fx3-h... 4-^"4-etc. ,
et
= 1 4-3£c-f6£c,+ ioa33 + ... 4- 4. etc. ,
- — 1 4- mx 4-
Si l’on prenait, au contraire, p —
on trouverait
(43) (.-*) ,= '+î* + ^*' + ^ll+- +
xn 4 etc..
Supposons maintenant que , pour toutes les valeurs de x comprises entre les limites x = a, x=. a -\- h , et pour des valeurs du nombre 0 inférieures à 1 unité, 1 une des expressions
décroisse indéfiniment , tandis que n augmente; alors, en prenant n — cc , dans l’équation (44) ou (60) de la 8.c Leçon, on trouvera
(46) f(x) — f{a) 4 - —/'(«) 4- 4^ /"(«) 4- -7^3 ”/'"(«) 4- etc....
Si , pour fixer les idées , on pose x — a 4- h , la formule (46) donnera
(47) f(a + h) = f(a) + | /'(•) + 4 /» + /*W + «te--
Enfin, si, dans l’équation précédente, on remplace la lettre a qui désigne une valeur particulière de la variable x par celte variable elle-même , on obtiendra la formule
m /(* + '*) = /(*) + f /'(*) +“/*H + ~/"W + etc....
Cette dernière subsiste toutes les fois que , les fonctions
(49) /(« + *). /'(* 4- *) . /'(* + *). etc->
étant continues entre les limites s = o , z — k, l’une des quantités
s’évanouit pour une valeur infinie de n. Alors la série
(5,) /(*), 4/'W , 44/'»' elc”:'
qui a pour terme général
(53) — ,âh
est convergente et fournit une somme équivalente à /(œ -f- A) . La proposition que nous venons d’énoncer est précisément le théorème de Taylor.
Exemple. Si l’on prend successivement pour f(x) les deux fonctions
1 ( x ) , xf1 ,
et si l’on suppose la valeur numérique de A inférieure à celle de x , on trouvera
|(x + A)=l(*)+--T- + TÏF-T^ + etc....
0Cp-a)
£C'““3A3 -f- etc.
On pourrait déduire immédiatement ces dernières formules des équations (î 5) et (36) en
y remplaçant x par — - .
Il est essentiel d’observer que les formules de Maclaurin et de Taylor subsistent.
non -seulement pour des valeurs réelles, mais aussi pour des valeurs imaginaires de la fonction f[x). Supposons en effet
<f(x) et i[x) désignant deux fonctions réelles de la variable x. Si, le nombre G étant inférieur à l’unité, l’une des expressions
(1 — ô)»-*Ÿ<»)(ea;)
se réduit à zéro pour des valeurs infinies de n , on aura
(59) ?(*) = ? (o) 4- — ?'(°) 4- -77 /(°) 4- -773 T» 4- etc. . . .
De même , si l’une des expressions
s’évanouit pour n = ao , on trouvera
xn
(«•) *<•) =z(o) +y x'(o) +-4 X*M + 7X3-X» +CIC....
Or, on tirera des formules (59), (62), combinées entre elles.
f(o)!+lAx(o) 4- Y [?'(<>) 4- l/^x'C0)! 4- — C?#(°) 4- V/^X4,(0)] 4- etc... ;
et il est clair que cette dernière équation ne diffère pas de la formule de Maclaurin, de laquelle on la déduit en prenant pour f{x) la fonction imaginaire <p(x) -f- On peut raisonner de la même manière par rapport à la formule de Taylor.
Les formules (59) et (62), et par suite la formule (60), subsistent évidemment dans le cas où chacune des fonctions y^(œ) , x(n) (x) conserve une valeur finie, quel que soit x , pour n = oc , càesl-è-dire, en d’autres termes, dans le cas où la fonction imaginaire
(64) /W(*)=Ï«(*)+V^*WW
reste finie , tandis que n croît indéfiniment.
Exemples. Si l’on prend
f{x) = cos cc + [/-i sincc ,
la formule (3) ou (63) donnera
cosœ + [/-i sinæ = x 4
L’équation imaginaire qui précède se décompose d’elle-même en deux équations réelle* qui ne sont autres que les formules (il) et (12).
Supposons encore
f(x) = eax(cosbx + {/Tismbx) ,
a et 6 désignant deux constantes réelles. On trouvera , dans ce cas , en ayant égard à< la dernière formule de la page 27 ,
/'( x) = («4- 6\Z^)eax(cos6æ4- ÿ^sinbx) = {a 4- 6 v/7) /(x) , f(x) = (a+b v/7 )f\x) = {a +bS/-yf\x\ , etc... ,
/<">( x) = (<z 4- b\/Tt )Hflx) , et par suite
/(o) = i, f'{o)=a + b^, />) = (a4-6v/7)%.../^(o) = (a4-6t/-)^ Cela posé , la formule (63) donnera
e “ x (cos b x 4- \/7 s*n ^ x) = (a+bx/T^x . [a + b\/Txyx- {a + bÿ^yx*
- : - » - Ti
Si, dans cette dernière, on pose ax~p , bx — q , on obtiendra lequaticm ^
. . x . , />+?t/7 , (p+qVT')% , (p+y^j* » rtr
(67) (cosp 4- v/7 s,n 9) =: 1 4 - ; - 1 - 7^ -+ i.a.3 -t-etc....
qui subsistera pour des valeurs quelconques des variables réelles p et q+
Règles sur la convergence des séries. Application de ces règles aux séries de Maclaurin
et de Taylor.
Les formules (3) et (48) de la Leçon précédente ne pouvant subsister que dans le cas où les séries de Maclaurin et de Taylor sont convergentes, il importe de fixer les conditions de la convergence des séries. Tel est l’objet dont nous allons nous occuper.
L’une des séries le^plus simples est la progression géométrique (i) a, ax , ax*, ax*, etc... ,
qui a pour terme général ax". Or la somme de ses n premiers termes , savoir.
a(i -j-cc-f"#* -j- ... a:"-1) = a-
axn i -x
convergera évidemment, pour des valeurs croissantes de n, vers la limite fixe
(3) TTT>
ou cessera de converger vers une semblable limite, suivant que la valeur numérique de la variable x supposée réelle spra ou ne sera pas un nombre inférieur à l’unité. Donc, si l’on attribue à la variable x une valeur réelle, la série (î) sera convergente, lorsqu’on aura < i , et divergente dans le cas contraire.
Concevons- maintenant que l’on attribue à la variable x une valeur imaginaire, c’està-dire, de la formo p-4“7l/^ï* » P et 7 désignant des quantités réelles. Le module de celte valeur ne sera autre chose que la racine carrée de la somme ou,
ce qui revient au même , la racine carrée du produit des deux expressions imaginaires
9a CALCUL DIFFÉRENTIEL.
qui ne diffèrent que par le signe de [/TT , et que l’on appelle expressions imaginaire* conjuguées. Donc, si l’on nomme r le module dont il s’agit, on aura
(5) »** = (P + 7V/r^)( P — 7V/”)=Pa + 9%
(6) r= [/[p' -fÿ*].
Soit d’ailleurs
(7) (p+9vAT)”=p„+9„vcrr
pn , qn désignant encore des quantités réelles. Comme on trouvera par suite
(8) {p — <iV^)n=Pn—q»V~ »
on en conclura
Donc, pour obtenir le module de xn, il suffira d’élever à la nme puissance le mo’' dule r de la variable x. Cela posé, concevons que l’on attribue au nombre entier n des valeurs de plus en plus grandes. Pour que l’expression
xn = pn + qn[/TT
s’approche alors indéfiniment de la limite zéro, il sera nécessaire et il suffira que les quantités réelles pn , qn convergent vers cette même limite. Or il est clair que cette condition sera ou ne sera pas satisfaite , suivant que le module r de la variable x sera ou ne sera pas inférieur à l’unité. En effet , en supposant r < 1 et n = 00 , on tirera de l’équation (10)
P«s 4" q>* — = o * pn = o , qn = o.
Au contraire , si l’on suppose r=i our>i et» = oo, l’équation (10) donnera Pn 4“ 7»* = 1 » OU Pa1 -J- Ç„a r= 00 ,
et par suite l’une au moins des deux quantités pni qn cessera de converger, pour des valeurs croissantes de n , vers la limite zéro. 11 suit évidemment de ces remarques quele produit
clans lequel le seul facteur xn varie avec le nombre n , acquerra une valeur nulle pour n — oo , si l’on a r < 1 , et une valeur différente de zéro , si l’on a r = 1 ou r > 1. Donc, la variable x étant imaginaire, la série (1) sera convergente , si le module de x est inférieur h l’unité. Mais elle sera divergente dans le cas contraire. Cette conclusion subsiste lors même que la constante a devient imaginaire. Elle subsiste aussi dans le cas où , la quantité q étant nulle , la variable x redevient réelle. Alors le module de cette vwiable se réduit à sa valeur numérique , et l’on se trouve ramené à la règle que nous avons d’abord indiquée.
Considérons maintenant la série (n) n0, «r, «j, etc...,
composée de termes quelconques réels ou imaginaires. Pour que celte série soit convergente, il sera nécessaire et il suffira [voyez les préliminaires, page 10] que des valeur» croissantes de n fassent converger indéfiniment la somme
vers une limite fixe s. En d’autres termes, il sera nécessaire et il suffira que, le nombre n devenant infini , les sommes
Snt #/i+ 1» $«4.»» etc..»,
diffèrent infiniment peu de la limite s, et par conséquent les unes des autre»> D’ailleurs, les différences successives entre la première somme s„ et chacune des suivante» •ont respectivement déterminées par les équations
isn+l—sn = un ,
Sn+> — Sn = Un + Un + t ,
etc...
Donc , pour que la série (11) soit convergente , il est d’abord nécessaire que le terme général u„ s’approche indéfiniment de zéro , tandis que n augmente. Mais cette condition ne suffit pas, et il faut encore que les différentes sommes
«» + «n + , , Un -f «„ + , + r
c'est-à-dire les sommes des termes
un, wn+I, un+a ,
prises, h partir du premier, en tel nombre que l’on voudra, s’évanouissent elles -mêmes pour n = oo . Réciproquement , lorsque ces diverses conditions sont remplies , la convergence de la série est évidemment assurée.
Il est encore évident que , pour décider si la série (1 1) esWconvergente ou divergente, on n’aura nullement besoin d’examiner ses premiers termes, et qu’on pourra même les supprimer de manière à remplacer cette série par la suiyante
(14) Un, um+t, um+,, etc..., m désignant un nombre entier aussi grand que Ton voudra,
Supposons à présent •
(15) un = vn + wn\/ TT,
vn , tvn désignant deux quantités réelles , dont la seconde s’évanouira toutes les fois que la série (1 1) sera réelle. Comme la somme imaginaire s„ , déterminée par l’équation (12) , deviendra
(16) Sn= (Vo 4.^0 l/T ) + (v, -f w.v/T) +... 4-K-i + Wn-il/”)
elle convergera, pour des valeurs croissantes do n, vers une limite fixe, si les deux sommes réelles
Vo + v, -f ... ,
4" «P. + ••• 4- Wn-,
convergent vers de semblables limites. Il en résulte que la série (11) sera toujours con vergente , en même temps que les séries réelles
(17) r0, tv, va, ... vn, etc...,
(18) w0, wlt wa, ... wn , etc....
Si ces dernières ou l’une d’elles seulement deviennent divergentes , la série (11) le sera également.
Pour que les séries (17) et (18) soient convergentes , il est nécessaire et il suffit, en vertu des remarques précédemment faites , que les diverses quantités
(20) v„, v„4-v„+x, v» + vn+l+v„+J,
s’évanouissent pour n = 00 . Or cette condition sera nécessairement remplie , si les modules des différents termes delà série (11) ou (i4) forment une série convergente. En effet , soit
(ai) p»»=V'[®i»*4 -»»*}
le module de l’expression (i5) qui est le terme général de la se'rie (11). Ce module sera une quantité positive , qui surpassera évidemment la valeur numérique de r„ et celle de wn. Par suite les valeurs numériques des quantités (19) et (20) seront inférieures à celles des quantités correspondantes
(22) P», pn+Pn + i» pn -f* pn + i + pn + a , etC....
D’ailleurs# si les modules des différents termes de la série (11) ou (»4) , savoir
(2^) Pat Pi» Pa» ••• pn , etC...,
OU
(24) p«> ftn+i» pm + 2» etC...y
forment une série convergente , les quantités (22) s’évanouiront pour » = 00 . Donc , à plus forte raison, les quantités (19) et (20) s’évanouiront elles-mêmes. On peut en conclure que la série (1 1) ou (14) sera toujours convergente, lorsque les modules de ses différents termes formeront une série convergente.
Si la valeur numérique de p„ ne décroissait pas indéfiniment pour des valeurs croissantes de n, on pourrait en dire autant de l’une des quantités vnt w„. Alors l’une des séries (17) , (18), et par suite la série (11) deviendrait nécessairement divergente.
En partant des principes que nous venons d’établir, on démontrera sans peine les deux théorèmes que nous allons énoncer.
»•*' Théorème. Cherchez la limite ou les limites vers lesquelles converge , tandis que n croit i/icUfiniment , l'expression
M (Pnfi
et soit R la plus grande de ces limites. La série (il) sera convergente fsi Con a R < divergente, si Con a R > i„
etc... , etc... ,
9e CALCUL DIFFÉRENTIEL.
Démonstration. Supposons d’abord i? < 1 ; et choisissons arbitrairement entre les deux nombres i et ^ un troisième nombre p , en sorte qu’on ait
n venant à croître au-delà de toute limite assignable, les plus grandes valeurs de
(p„)“ ne pourront s’approcher indéfiniment de la limite B , sans finir par être constamment inférieures à p. Par suite il sera possible d’attribuer au nombre entier m une valeur assez considérable pour que , n devenant égal ou supérieur à m , on ait constamment
Alors les termes de la série (24) seront des nombres inférieurs aux -termes correspondants de la progression géométrique
(27) Pm, p", + ^ etc...; ^
et, comme cette dernière sera convergente [à cause de p < 1], on devra en dire autant de la série (24), par conséquent des séries (i4) et (11).
Supposons en second lieu B > 1 , et plaçons encore entre les deux nombres 1 et B un troisième nombre p , en sorte qu’on ait
Si n vient à croître au-delà de toute limite , les plus grandes valeurs de (p„) , en s’approchant indéfiniment de B, finiront par surpasser p. On pourra donc satisfaire à la condition
(p»)’>P ou P»>P"> 1 *
pour des valeurs de n aussi considérables que l’on voudra; et par suite on trouvera dans la série (24) un nombre indéfini de termes supérieurs à l’unité, ce qui suffira pour constater la divergence des séries (24) , (i4) et (^0*
2.® Théorème. Si, pour des valeurs croissantes île n , le rapport
converge vers une limite fixe B, la série (11) sera convergente toutes les fois que l'on aura B < 1 , et divergente , toutes les fois que l'on aura B > 1.
Démonstration. Choisissez arbitrairement un nombre e inférieur à la différence qui existe entre 1 élit. Il sera possible d’attribuer à m une valeur assez considérable pour que , n devenant égal ou supérieur à m , le rapport
Pn + i
demeure toujours compris entre les deux limites
Alors les différents termes de la série (24) se trouveront compris entre les termes correspondants des deux progressions géométriques
Pim f
Pm(R—)>
pm(R — t)>,
etc.
Pm,
Pm(R + *),
Pm(R -H)a>
etc.
lesquelles seront toutes deux convergentes , si l’on a R < 1 ; et toutes deux divergentes , si l’on a R > 1 . Donc , etc.
Scholie. Il serait facile de prouver que la limite du rapport (29) , dans le cas où cette limite existe , est en même temps celle de l’expression (24) [voyez l’Analyse algébrique , chap. VI].
En appliquant les théorèmes 1 et 2 aux séries de Maclaurin et de Taylor, on obtient les propositions suivantes.
5.* Théorème. Soient f{x) 4|^ie fonction réelle ou imaginaire de la variable x , et <?„ la valeur numérique ou le module de l' expression
<3o> 7zb^/W(o)-
Soit déplus $ la limite vers laquelle convergent , tandis que n croit indéfiniment , tqs plus grandes valeurs de (?„)", ou bien encore la limite unique [si cette limite existé] du rapport ■ ■ . La série de Maclaurin , savoir,
sera convergente toutes les fois que la valeur numérique de la variable x supposée
CALCUL DIFFERENTIEL.
récite , ou le module de la même variable supposée imaginaire sera inférieur à — ; et divergente , toutes les fois que la valeur numérique ou le module de x surpassera
Démonstration. Soit r la valeur numérique ou le module de la variable x. Le terme général de la série (5i) , savoir,
aura, pour valeur numérique , ou pour module, le produit
Gela posé, si, dans les théorèmes î et 2 , on remplace la série (11) par la série (3i) on trouvera évidemment
Donc la série (3i) sera convergente, lorsqu’on aura
(34) 4>r < 1 ou r < -i- ,
et divergente lorsqu’on aura
(35) 4»r > 1 ou r>— .
Exemples. Si l’on prend pour f{x) la fonction ex , on aura /C'O(o) = 1 ,
(5h) $ == lim - =0,
Dans le même cas, la série (3i) se trouvera réduite à la série (11) des Préliminaires. Donc cette dernière série , savoir ,
est convergente, tant que la valeur numérique ou le module de x n’atteint pas la li-
que l’on obtient en posant f[x) = arclanga;, et que l’on déduit de la série (44) en annullant les termes de rang pair, et changeant les signes du second, du quatrième, du sixième, ... des termes conservés.
IOO CAXCUL -DIFFÉRENTIEL.
Enfin , si l’on prend pour f{x) la fonction (1 x) u, f* désignant une constante réelle , on trouvera , pour de très-grandes valeurs de n ,
(46) = üm - ^-=i.
Dans le même cas, la série (3i) deviendra
(48) i. f*aî ,
ikzlLx,' <*((>•- ■)(<*->) , el
Donc cette dernière série est elle-mcme convergente , tant que la valeur numérique ou le module de x reste inférieur à l’unité.
4- 8 TnéonÊME. Les mêmes choses étant posées que dans le théorème précédent , mais la fonction f(x) étant réelle , ainsi que la variable x, désignons par 9 un nombre inférieur à C unité, par la valeur numérique de Cune des expressions
et par v la limite vers laquelle convergent , tandis que n croît indéfiniment , les
plus grandes valeurs de (^„) * , ou bien encore la limite unique [si cette limite existe ] du rapport — - — . Txt formule de Maclaurin , savoir ,
-/"» -h etc..
subsistera pour toute valeur de x, à laquelle correspondra une valeur du produit y ce renfermée entre les limites — 1 , -j- 1.
Démonstration. Soit, r la valeur numérique de x. Si le produit vx est renfermé entre les limites — î , -}- i , on aura
vr < i.
Donc alors la série qui aura pour terme général le produit
lot
sera convergente. Donc ce produit s’évanouira pour n = *5 , et l’équation (8) ou (61) de la 8.e Leçon entraînera la formule (5i).
Corollaire i.er La formule (5i) subsistera pour toutes les valeurs réelles de x comprises entre les limites
si , pour chacune de ccs valeurs , l’un des rapports
conserve une valeur finie , tandis que le nombre n devient infiniment grand. En effet , soit x* la valeur numérique du rapport (56) ou (57) , et supposons que cette valeur numérique reste constamment inférieure au nombre k. L’expression
constamment plus petite que k* , convergera , pour des valeurs croissantes de n, vers une limite égale ou inférieure à k° = \ ; et l’on pourra en dire autant de l’expression
puisqu’on aura , en vertu de la formule (24) de la page 35 , limn" = 1 . D’ailleurs , si les quantités et Xn désignent les valeurs numériques des rapports (49) et (56) , on aura évidemment
et par suite
'V = <I>lim (x»)" = ou <[♦.
De même, si les quantités et x„ désignent les valeurs numériques des rapports (5o) et (57) , on aura
«t par suite
ou <$».
CALCUL DIFFÉRENTIEI .
En conséquence on aura nécessairement, dans l’hypothèse admise,
V = ou <$>, Yr = ou <[4»r.
Donc la condition (52) sera satisfaite, et la formule (5i) subsistera, pour toutes les valeurs réelles de x propres à vérifier la condition (54), c’est-à-dire pour les valeurs réelles, de a;, qui rendront convergenie la série (3i).
Exemples. Si l’on prend /(£c) = e*, le rapport (56) se trouvera réduit à l’exponentielle
(58) efi*.
Or cette exponentielle , dans laquelle la seule quantité 0 varie avec n , mais de manière à rester comprise entre les limites o , î , conserve évidemment une valeur finie pour chaque valeur finie de x, tandis que le nombre n croit indéfiniment. Donc la formule (10) de la Leçon précédente subsistera, pour toutes les valeurs réelles de x qui rendront convergente la série (38) ; ce que l’on savait déjà.
Si l’on prend successivement pour f(x) les deux fonctions
on trouvera , pour les valeurs correspondantes du rapport (07) ,
1 + Bx \ 1 + 0x
(60) * (i-j-Gæ)/*-
Or , dans ces dernières expressions , les deux facteurs --+rjx ’ (* -J-GaO'4-’- conservent des valeurs finies, pour chaque valeur finie de a», et le facteur l~~.° reste
inférieur à l’unité, lorsque, le nombre n — 1 étant positif , la variable x est renfermée entre les limites » = — 1, x=i. Donc les formules (i5) et (56) de la Leçon
précédente subsistent pour toutes les valeurs de x renfermées entre ces limites; ce que l’on savait déjà. »
Corotlaire 2. Le corollaire 1.” s’étend au cas même où les valeurs de /C/°(o), correspondantes à certaines valeurs de n , s’évanouissent, pourvu que dans ce cas on ne tienne aucun compte des valeurs correspondantes des rapports (56) et (57).
Exemples. Si l’on prend successivement pour f[x) les deux fonctions cosx, sincr , l’expression (56) se trouvera réduite à l’un de^apports
io3
sin(^7)
Or ces deux rapports acquerront des valeurs infinies , correspondantes à des valeurs milles de f(n){ 0) , le premier, quand le nombre n sera impair, et le second quand le nombre n sera pair. Mais , si ne tenant aucun compte de ces valeurs infinies , on attribue toujours au nombre n, dans le rapport (61) une valeur paire, et dans le rapport (62) une valeur impaire , on verra ces rapports se jéduire constamment à l’une des quantités finies
sina? , cosîc , — sincc, — cos ce.
Donc les formules (11) et (12) de la Leçon précédente subsistent pour toutes les valeurs réelles possibles de la variable x.
Des raisonnements semblables à ceux que nous venons d’employer pour établir les théorèmes ?» et 4 , étant appliqués , non plus à la série de Maclaurin , mais à celle de Taylor, conduiront immédiatement à deux autres théorèmes que nous allons énoncer.
5.e TaréonÊME. Soit f(x) une fonction réelle ou imaginaire de la variable réelle x , h une constante réelle ou imaginaire , et ?n la valeur numérique ou le module de l' expression
Soit de plus 4> la limite vers laquelle convergent , tandis que n croit indéfiniment , les plus grandes valeurs de (?„)", ou bien encore la limite unique [#t cette limite
existe ] du rapport
Im, strie de Taylor, savoir ,
-/'"(x), etc....
sera convergente, toutes les fois que la valeur numérique , ou le module de h sera inférieur à — ; et divergente , toutes les fois que la valeur numérique , ou le module
de h surpassera .
Exemples. Si l’on prend pour f(x) l’une des trois fonctions
cosx ,
sinæ ,
on trouvera $ = o , — = oo. Donc alors la série (64) restera convergente pour toutes
les valeurs finies, réelles ou imaginaires , de la constante h ; ainsi qu’on l’avait déjà remarqué.
Si l’on prend pour f[x) l’une des fonctions l(æ) , xP ,
on trouvera , en désignant par r la valeur numérique de la variable réelle x ,
Donc alors la série (64) sera convergente tant que la valeur numérique ou le module de h restera inférieupà la valeur numérique de x ; ce que l’on savait déjà.
6.* Théorème. Les mêmes choses étant posées que dans Le théorème précédent , mais la fonction f(x) étant réelle , ainsi que la constante h, désignons par 0 un nombre inférieur à l'unité , par la valeur numérique de l'une des expressions
(i-fl)»-» /W(ig+9A) l. 2.3... (n- i)
et par Y la limite vers laquelle convergent , tandis que n cYoît indéfiniment , les plus grandes valeurs de (^„)"f ou bien encore la limite unique [si cette limite existe]
du rapport
La formule de Taylor , savoir.
(67) /(* 4 • A) = /(») + ~ f\x) 4 f\x) 4- ^3 /'"(*) 4 etc... ,
subsistera pour toute valeur réelle de h , à laquelle correspondra une valeur du produit Y h comprise entre les limites — 1 , 4 1 •
Corollaire i.erLa formule (67) subsistera pour toutes les valeurs réelles de h comprises entre les limites - — , 4- ~ , si , pour chacune de ces valeurs , l’un des rap¬
ports
conserve une valeur finie , tandis que n croît indéfiniment. C’est ce que l’on démontrera sans peine par des raisonnements semblables à ceux dont nous avons déjà fait usage pour établir le corollaire i.er du 4*e théorème.
Exemples. Si l’on prend successivement pour f(x) les deux fonctions
DIXIEME LEÇON. io5
on conclura du corollaire précédent que les formules (54) et (55) de la page (88) subsistent dans le cas où la valeur numérique de h est inférieure à celle de x.
On pourrait croire que la série de Maclaurin a toujours f{x) pour somme , quand elle est convergente, et que, dans le cas où ses différénts termes s’évanouissent l’un après l’autre, la fonction f{x) s’évanouit elle-même. Mais, pour s’assurer du contraire , il suffît d’observer que la seconde condition sera remplie , si l’on suppose
et la première, si l’on suppose
Cependant la fonction c ^ x ^ n’est pas identiquement nulle, et la série déduite de
la première supposition a pour somme , non pas le binôme e -j- e , mais
son premier terme c . Les mêmes remarques sont applicables à la série de Taylor.
Au reste, on reconnaîtra facilement que la fonction f(x) , réelle ou imaginaire, ne peut être la somme d’une série convergente ordonnée suivant les puissances ascendantes de x , qu’autant que cette série coïncide avec celle de Maclaurin. En effet , soit
(72) 'f[x ) =a0 4- ci^x + + a^x3 + etc....
En différenciant plusieurs fois cette équation par rapport à x , et observant que
l’équation (12) de la troisième Leçon subsiste dans le cas même où le polynôme
au -f- bv -f- cw -f- ... ,
se composant d’un nombre infini de termes, devient la somme d’une série convergente;
/ /'(œ) =a, + 2rtaa; + 3a3£ca 4-etc...
1 f"{x) — 1.2 a2 4- 2. 3a3£c 4- etc... ,
I f "{x) = 1 • 2. 3 a3 -f- etc... .
etc.... ;
io6 CALCUL DIFFÉRENTIEL,
puis, eu posant x = o , on tirera des équations (72) et (70)
(74) /(o)=a„, /'(«) = a,, f‘{o) = i.ta, , /'» = I . 3 a, , etc...;
et par suite
(;5) ». = /(»), «.=-i/'(o). «3 = i /'»(„), etc....
Or, si l’on substitue, dans la formule (72) f les valeurs précédentes de af, a, , a2 , etc... , on sera évidemment ramené à l’équation (5i).
On prouverait de la même manière que la fonction f[x + k) ne peut être la somme d’une série convergente ordonnée suivant les puissances, ascendantes de li , qu’aulanl que cette série coïncide avec celle de Taylor.
Des valeurs que prennent les fonctions d'une seule variable x , quand cette variable devient imaginaire.
Lorsque les constantes ou variables comprises dans une fonction donnée, après avoir été considérées comme réelles , sont ensuite supposées imaginaires , la notation à l’aide de laquelle on exprimait la fonction dont il s’agit ne peut être conservée dans le calcul qu’en vertu d’une convention nouvelle propre à fixer le sens de celle notation dans la nouvelle hypothèse. Si l’on considère en particulier les notations propres h représenter les fonctions simples , savoir ,
a 4- * > a — x , ax , xa , Ax , L(ic) ,
sinæ, cos ce, arcsinæ , arcoscc ,
il suffira, pour en fixer le sens, dans le cas où la variable x devient imaginaire, de recourir aux principes que j’ai développés dans l’Analyse algébrique [voyez les cliap. Vil, VIII et IX], et que je vais rappeler en peu de mots.
On appelle expression imaginaire toute expression de la forme
p et q désignant deux quantités réelles. Une semblable expression ne signifie rien par elle-même, non plus que le signe . Mais lorsque l’on combine des expressions
imaginaires entre elles, par voie d’addition, de soustraction, de multiplication, etc... , en opérant comme si y/T? était une quantité réelle dont le carré fut égal à — 1 , on obtient pour résultats de nouvelles expressions imaginaires; et il peut être utile de signaler les relations qui existent entre les quantités réelles, comprises dans les expressions imaginaires données et dans celles qui résultent de leur combinaison. Pour retrouver plus facilement les relations dont il s’agit , on est convenu de regarder comme égales deux expressions imaginaires
lorsqu’il y a égalité de part et d’autre , i.° entre les parties réelles p et P; 2.0 entre les coefficients de , savoir, 7 et Q. Cela posé, toute équation imaginaire u’est
que la représentation symbolique de deux équations entre quantités réelles. Par exemple, l’équation symbolique
(1) cos(a + p) + i/risin(a + p) = cosacosp — sin a sin p + (sin a cos [3 + sin [3 cos a) \/~i ,
dans laquelle a , P désignent deux arcs réels , équivaut seule aux deux équations réelles
cos (a-f- p) = cos a cos p — sinasinp , sin(a-i-p) = sinacosp-f-sinpcosa . •
Lorsque , dans l’expression imaginaire
le coefficient q de \/7l s’évanouit , le terme 7 \/~é est censé réduit h zéro , et l’expression elle-même à la quantité réelle p. En vertu de cette convention, les expressions imaginaires comprennent, comme cas particuliers, les quantités réelles.
Les expressions imaginaires peuvent être soumises, aussi bien que les quantités réelles, aux diverses opérations de l’algèbre. Si l’on effectue en particulier l’addition , la soustraction , ou la multiplication de deux ou do plusieurs expressions imaginaires en opérant d’après les règles établies pour les quantités réelles, on obtiendra pour résultat une nouvelle expression imaginaire, qui sera ce qu’on appelle la somme, la différence, ou le produit des expressions données; et l’on se servira des notations ordinaires pour indiquer cette somme , cette différence , ou ce produit. On aura , par exemple,
(cos a 4- [/-i sina) (ctfep -f- \/Tx sinp) = cos a cosp — sinasinp -f- (sinacosp -f- sinpcosa)j/ri ,
d’où il résulte que l’équation (1) pourra s’écrire comme il suit
cos (“•+"?) + l/^sin (a *4* p) = (cos a 4- [/~i sina) (cosp 4- l/~i sinp).
En multipliant les deux membres de cette dernière équation par de nouveaux facteurs de la forme cos 7 4- y/~ sin 7 , on trouverait généralement
^ | cos (a 4- P 4“ 7 "t* • ••) "4~ [/Z sin (a 4" P 4“ 7 4” •• 0 =
(cosa 4- 9jna) (COsp | sin^) (coS7 4. j/T, sin?) ... ,
quel que fût le nombre des arcs réels a, p, y....
En vertu de ce qu’on vient de dire, si l’on désigne par a une constante réelle , et par x une variable imaginaire ou de la forme p 4- q , les notations
(5) «4-*» a — x > ax
devront être employées pour représenter les expressions imaginaires
Si la constante a devenait imaginaire ou de la forme a4"Pv/-ï"> les expressions imaginaires, représentées par les notations (5) , seraient respectivement
(7) + — p + (P — q)VT* > *p — P? 4-(«?4-Pp)V':i*
Le produit de deux expressions imaginaires conjuguées , ou qui ne diffèrent entre elles que par le signe du coefficient de \/~ , se réduit , comme on l’a déjà remarqué dans la Leçon précédente, au carré du module de chacune d’elles, puisque l’on a
Si l’on supposait en particulier p == cos a , q = sina , on trouverait (9) (cos a -j- y/Ti sin a) (cos A — \/Tx sin a) = cos * a 4- sin 1 a = 1 .
Diviser une première expression imaginaire par une seconde , c’est trouver une troisième expression imaginaire, qui , multipliée par la seconde, reproduise la première. Le résultat de cette opération est le quotient des deux expressions données. On se sert , pour l’indiquer, du signe ordinaire de la division. Cela posé, si l’on désigne par a et par x une constante et une variable imaginaires , c’est-à-dire, de la forme « 4et p 4- q[/T? , on conclura sans peine de l’équation (8) que les notations
et
doivent être employées pour représenter les deux
expressions imaginaires
Dans le cas particulier ou la valeur de x est de la forme
on tire de l’équation (9)
x = cosa4“ [/~i sina ,
cosa + [/7x sina
= COSa — l/n sina .
lue propriété remarquable de toute expression imaginaire p , e’esl de pouvoir se mettre sous la forme
î*(cos« 4- l/Tsint) ,
r désignant une quantité positive, et t un arc réel. En effet , si l’on pose l’équation symbolique
(i3) r(cost 4* l/~s*n0 —P + 7 1/7 ,
ou , ce qui revient au même , les deux équations réelles
( 1 4) r cos t = p , r cos t — q,
on en tirera
p* 4- q* = ra(cos3î 4" sm’O = r* ,
et , après avoir ainsi reconnu que le nombre r doit coïncider avec le module de l’expression imaginaire p 4- q \/^î , il ne restera, pour vérifier complètement les équations (i4) , qu’à trouver un arc t dont le cosinus et le sinus soient respectivement
cos t ='
V'pr+~f>*
sint =
Or les formules (16) entraînent l’équation
sin? q Æ
tan e;t = - — —
0 cos t p
dont la racine la plus petite (abstraction faite du signe) est l’arc désigné par la notation
a rotang — . Soit
r = arctang —
la valeur générale de
t sera
na
(27) « = T±(2^+ j)ff.
On peut observer encore qu’en vertu de la formule (i5), réunie aux formules (22) ou (25) , on aura , en supposant p > o , ^
(28) + =r(cosr-f- v/Tsinr) ,
et , en supposant p < o ,
(29) p + 7i/rr = — r(co*ST + sint) .
Élever une expression imaginaire à la puissance du degré m (m désignant un nombre entier) , c’est former le produit de m facteurs égaux à cette expression. On indique la mme puissance de x — p-{-q\/~ par la notation xm. Si, pour plus de commodité , la valeur de x est présentée sous la forme
(5o) x = r (cos* i/r7sin«) , * \
la valeur de xm se déduira aisément des principes ci-dessus établis, et sera donnée par l’équation
(3i) xm = rm (cosm t -j- \Z“ sinmt) .
Dans le cas particulier où la constante p est positive , on peut supposer t = t; et l’on a par suite
(52) xm = rm (cosmr [/-Tsiomr) *
les valeurs des constantes r et t étant fournies par les équations (io) et (18).
Extraire la racine nmt de l’expression imaginaire x = p-\-q\/~, ou , en d’autres termes , élever cette expression à la puissance du degré , c’est former une
nouvelle expression imaginaire dont la puissance nme reproduise p-\-q^/~. Ce problème admettant plusieurs solutions, comme on le verra tout à l’heure, il en résulte que l’expression imaginaire x a plusieurs racines du degré n. Dans le cas où la constante p est positive, l’une des racines dont il s’agit est évidemment l’expression imaginaire à laquelle on parvient, quand on remplace, dans le second membre de l’équation (32) , m par — ; puisqu’on a dans ce cas
j r ! cos — — \- y/rT sin — j j = r (cos " -f- l/^T sin ~) = x .
Cette racine est celle que nous indiquerons par la notation x , en sorte qu’on aura , en supposant p > o ,
(55) cc"= r fco9 -f- sin —J •
Ajoutons que, si l’on emploie la notation ((te)) pour désigner indistinctement l’une quelconque des racines de x du degré w, on trouvera, en supposant p > o ,
(34) cc = r(cosr-|- i/TTsinr) , d’où l’on conclura
(35) ((*))’= »\i(co»-l-t-y’^sin ^-)' (tOj". et en supposant p < o ,
(36) x=‘ — r (cos r + i/T7sin«r) ,
.d’où l’on conclura
(3") {(x))n=r^ cos -1 + ^ sîn ((-^-î));".
En effet , il est facile de reconnaître qu’en élevant à la nme puissance le second membre de la formule (35) ou (37) , on reproduit le second membre de la formule (34)
ou (36); et d’ailleurs, pour s’assurer que toutes les valeurs de ((a;))" sont fournies par l’équation (35)ou (37) , il suffit d’observer que, si l’on fait
on en tirera , en supposant
et , -en supposant p<0 ;
KHO) «
10 ftùiÏBnnoiloft-S
J — -f , — — «iirni!
CALCUL DIFFERENTIEL.
Quant aux valours générales de ((»)) et de ((- — 1)) , on le» obtiendra en cherchant les valeurs de œ = r(cosi -J- ^/TT sinQ, propres à vérifier, i.° l’équation
(40 xn =rz rn{çfi97it -J-. sinn*) =; i ,
