dans le cas où p sera négatif

(5*) ((«)) " =r "^cos-^-r — sin-^- rj ((— 1))

Quant aux diverses valeurs de l’expression (;(i)) ", ou (( — 1)) * ", on recon¬

naîtra sans peine qu’elles coïncident avec les diverses valeurs de l’expression ((1);) , ou ((— 0)”-

Il suit évidemment des formules (3a) , (33) , (47) et (5o) que, si l’on désigne par a une quantité positive ou négative, entière ou fractionnaire, on aura, en supposant x=p -\-q\/7î , et p > o ,

(5a) xa —r“ {posai ,

Cette dernière équation ayant lieu toutes les fois que la valeur numérique de la constante a est entière ou fractionnaire , l’analogie nous conduit h l’étendre au cas même où la valeur numérique de a devient irrationnelle. Alors l’équation dont il l’agit sert <1 fixer le sens de la notation xa ; mais il n’est plus possible de conserver dans le calcul les notations ((1))“, ((a?))a , à moins de considérer chacune d’elles comro* propre à représenter une infinité d’expressions imaginaires.

Lorsque la quantité p devient négative, on ne voit plus, même en supposant fractionnaire la valeur numérique de a, quelle est celle des valeurs de l’expression ((ce))", que l’on pourrait distinguer des autres et désigner par la notation xa [voyez à ce sujet le premier article des Exercices de mathématiques pour l’année 1826]. Mais alors, — p étant une quantité positive, on trouvera, pour une valeur réelle quelconque de la constante a ,

(53) ( — .'r)a = r‘,(cosaT + V~l s‘nûT)*

Ajoutez que, si l’on désigne par a une quantité positive ou négative , entière ou fractionnaire, on aura, en supposant p > o ,

(54) ((#))“ = a;a((i))a, (55) ((0)fl = C0S2À:a7r+ sinaÀair*

et en supposant p < o ,

(56) ((*))« = (- X)a ((- 1 ))■ , (57) tir 1 ))a = COS [(* fc + 1 ) sin{(a k+i)e *]>

Considérons maintenant les six notations

Si l’on attribue à la variable x une valeur réelle, ces six notations représenteront autant de fonctions réelles de x, qui, prises deux 5 deux, seront inverses l’une de l’autre, c’est-à-dire, données par des opérations inverses, pourvu toutefois que, A désignant un nombre , L exprime la caractéristique des logarithmes dans le système dont la base est A. fl reste à fixer le sens de ces mêmes notations dans le cas où la variable x devient Imaginaire. C’est Ce que je vais faire ici en commençant par les trois premières.

On a prouvé que , dans le cas où la variable x est supposée réelle , les trois fonctions représentées par

Ax , sinav, cosx

sont toujours développables en séries convergentes ordonnées suivant les puissances ascendantes et entières de cette variable. On a en effet, dans cette hypothèse [voyez la 9.® Leçon] ,

^='+7 m + [iM)r + -^3- [l Wl5 + etc...,.

cosæ = 1 — - - -f-

- etc... ,