etc

la caractéristique 1 indiquant un logarithme Népérien. De plus comme , en vertu des remarques faites dans la io.° Leçon [page 99) , les séries qu’on vient de rappeler restent convergentes pour toutes les valeurs réelles ou imaginaires de la variable x, on est convenu d’étendre les équations (59) , (60) , (61) à tous les cas possibles, et de les considérer comme pouvant servir à fixer , lors même que la variable devient imaginaire , le sens des trois notations

Axy sinx, cosx.

Observons à présent que, si, dans l’équation (59) , on fait A =e [ç désignant la base des logarithmes Népériens] , on en tirera

ex= 1 H - 1 - h etc... ;

puis en écrivant successivement , au lieu de x ,

xï(A) , x[/TT , — x\/TT ,

= 1+- l/rr-

-Xy/~

[/TT -1- etc....

On aura par suite

* Ki)

c = cosx +\/~ sinx ,

e = cosx — [/TTsinx,

et l’on conclura des équations (66)

(fi7)

cosx

sinx =

la variable x pouvant toujours être réelle ou imaginaire. Cela posé, il sera facile d’obtenir sous forme finie les valeurs de cx, A% sinx et cosx, correspondantes à une valeur imaginaire p q l/7 de la variable x; et d’abord, en ayant égard ù la formule (67) de la g.e Leçon , on trouvera

eW^=P + 9t/- + 1L&&L + i^)» +ctc„, ,

= eP(cosp + \/~ sinp) .

On aura donc

e* = ef(cosq -f \/~ sinç) .

De plus , la valeur de ex étant déterminée par l’équation (68) , les valeurs des notations

(69) A*, sinx, cosx,

se déduiront immédiatement des formules (65) et (67) , et l’on reconnaîtra que ces notations doivent être employées pour représenter les expressions imaginaires

1AP\co$.q\[A) -f- \/TT sin.ql(A)] ,

ef + e-f . e'f-e-t

- - smp ^ - - - cos p ,y/~ ,

- - - cqs/> — -^- a— sio/> . v/-7 ,

Ajoutons que l’équation (68) peut être présentée sous la forme (71 ) ex=zeP.e^=r.

Or, à l’aide de cette dernière et des équations (65), (66), on étendra sans peine ii des valeurs imaginaires quelconques des variables x, y, lés formules connues qui expriment les propriétés des fonctions e', Ax , cosx, sinx. On trouvera, par exemple,

(73) Ax+r = Ax.Ar,

Icos(æ -j-j) ~ cos;rcos,y — sinccsinj,

sm {x -f- y) = sinxcosj 4- siny cosa: ,

(~5) sin^— - œj=cosœ, cos (” — ;cj = $ina3, etc....

Concevons maintenant que l’on cherche les diverses valeurs réelles ou imaginaires de y et de s propres à résoudre les deux équations

(7G) ey = x , (77) A‘r=x.

Ces diverses valeurs seront les divers logarithmes de x calculés, 18 dans le système Népérien , 20 dans le système dont la base est A ; et représentés par l’une des notations

De plus , comme on aura , en vertu de la formule (65) ,

il est clair que les inconnues y et z seront assujetties à l’équation de condition y=,l(A), OU * = TÇiÿ>

en sorte qu’on trouvera

Donc, pour obtenir les logarithmes de x dans le système dont la base est A , il suffira de diviser par 1 (A) les logarithmes Népériens de la même variable; et par conséquent on pourra se contenter de résoudre l’équation (76). Or, si l’on pose

x = p + q v/“ et y = P-irQ\/- ,

P, Q désignant, ainsi que p et q , des quantités réelles , l’équation (76) donnera

e +Qs/ l = c (cos Q + \/~ sin Q) = p + 9 >

ONZIÈME LEÇON. 12t

puis Ton en tirera, 1° en supposant p>o, désignant par k un nombre entier quelconque, et ayant égurd h la formule (28) ,

e (cosÇ-f ^/.lSinÇ)=r(cosT+ iZ-sinT),

cosQ + = cost -f- , cosQ = cost, sinQ = sin7, Q = r ziz zk* ;