en supposant p < o
(84) ■((?)) = iM + Tt/- + l((-l)).
Dans le cas où la quantité p reste positive , le plus simple de tous les logarithmes de x* est celui qu’on obtient en faisant kz=. 0 dans l’équation (79), et l((i)} = o
dans l’équation (85). Ce même logarithme qui , pour une valeur nulle de q , 9e réduit au logarithme réel de p , sera celui que nous désignerons par la notation 1 (a?) , ensorte qu’on aura , en supposant p > o ,
(85) l(aj)=l(r)-l-TV/T .
Cela posé, on trouvera évidemment, pour des valeurs positives de la quantité p ,
et pour des valeurs négatives de p ,
Déplus, si, p étant positif, on réduit les parenthèses doubles, renfermées dans le second membre de l’équation (78)* à des parenthèses simples, on obtiendra une valeur de L((x)) , que nous désignerons par la notation L(x) , en sorte qu’on aura
LW=4Sf = LW + T(7Tl/'-
Ajoutons que l’on ne fera jamais usage des notations l(x) ou L(x) dans le cas oh la quantité p sera négative.
Après avoir calculé les divers logarithmes de l’expression imaginaire
proposons-nous de trouver les arcs imaginaires dont le sinus est égal 5 x. Si l’on désigne par
(89) arcsin ((*))= P *4" <?l/T
l’un quelconque de ces arcs , on aura , pour déterminer P -4- Q\/~ » l’équation
(90) sin (P -f- Q [/“ ) =X==P 9 \/~ »
ou , ce qui revient au même , la suivante ,
sin P +
cos P. \Z~ — /> -H 7 v/~ «
laquelle se divise en deux autres, savoir.
<9‘) - : - sin P = p,
- cos P = c
sin* P cos* P *
A ces dernières on peut substituer le système équivalent des deux formules
(92) »q=-A- + -J—, <rç=£ 1 .
De plus, si l’on élimine Q entre les formules (92) , on en tirera successivement
(94) cos^p — (1 — p* — 7*)cos*P — <7* = o;
puis, en observant que cos'P est nécessairement une quantité positive,
2 r\\ , ) *} (ï£Li:y.r
On aura par suite
(96) sin“P = 1 — co»»i> = -li£li2! - y/j ,
ou, ce qui revient au même,
(97) sin*P:
et, comme, en vertu de la première des équations (91), sin P et p devront être des quantités du même signe, on trouvera , en extrayant les racines carrées des deux membres de la formule (97) ,
sinP = -
i±^+^[(^±2L)V]jï •
Cela posé, si l’on fait, pour plus de commodité.
(% = arcsin ■
on tirera de l’équation (98)
k désignant un nombre entier quelconque; et de la première des formules (92)
D’ailleurs, l’équation (93) devant être vérifiée quand on y pose
/>==T±(®— vj*2*’"
on en conclura (102)
sina<£ cosa<£
^ sin cos£ J
\ sin^P cos (£ )
et par suite
^10J) * *(sin^p cos^) ^ ( sin cos^)’
Il en résulte que la valeur de Q pourra être présentée sous la forme
<io4) Q=±l(i£® +-^î)-
11 importe d’observer i.° que , dans la formule (io4) , on fcvra toujours réduire le double signe zfc: h celui qui affectera le binôme $ — ~ dans l’équation (ioo^, a.° que la
valeur trouvée de Q pouvait se tirer de la seconde des équations (92) aussi bien que de la première. En substituant cette valeur de Q avec la valeur générale de /J dans la formule (89), et faisant, pour abréger.
on aura définitivement
(106) arcsin ((a:)) = -^ ± ^ — -jj ± 2 Æît .
Parmi les diverses valeurs de arcsin ((ce)) que fournit l’équation précédente, la plus simple est celle qu’on obtient en posant k = 0 , et en réduisant au signe 4- le
double signe qui affecte le trinôme - — - . Nous la désignerons à l’aide
parenthèses simples, et nous écrirons en conséquence
( * 07) arcsin (a?) == ^ -f- sj^/TT *
ou même , en supprimant tout-à-fait les parenthèses ,
( 1 08) arcsin x = <£ 4" •
D’autre part, si l’on observe que ±2£7t4--^- représente un quelconque des arcs
qui ont l’unité pour sinus, on reconnaîtra que l’équation (106) peut être mise sous la forme
( 1 09) arcsin ((x)) = dt ^arcsin X — - ~) 4- arcsin (( 1 ) ) .
11 serait facile d’exprimer la quantité ^ en fonction de p et de q . En effet , si l’on remplace P par dans les formules (98) et (q5) , on en tirera , en observant que cos^ est essentiellement positif,
(1 jo)
sin £=-
cos<£= -
:œ.+k/[(^£±L)v]ji
VjF
Donc l’équation (io5) donnera
ou t ce qui revient au même ,
le double signe devant être réduit au signe -1- 011 au signe —, suivant que l’on
aura q = \/^ ou q = — v/ÿ*", c’est-à-dire , suivant que la quantité q sera positive ou négative.
=hl
Dans le cas particulier où l’on a q — o , les formules (99) et (112) donnent
<£ = arcsin •
On trouve par suite, en supposant />* < 1 ,
(1 14) <£ = arcsin/), ^j=±l(i) = o;
et, en supposant p* > 1 ,
( 1 1 5) <£ = arcsin = arcsin (± 1 ) , 9 = =hl[y7* + ] •
Vp * ^
Dans la première hypothèse, la formule (108) se réduit, comme on devait s’y attendre, à l’équation identique
arcsin/) = arcsin/) ,
et la formule (106) devient
(116) arcsin ((/»)) — db. farcsin p - ± ikn .
Dans le second cas, la quantité ^ admettant non plus une seule valeur, mais deux
valeurs égales et désignés contraires, le second membre de l’équation (108) cesse d’être complètement déterminé. On doit donc alors s’abstenir d’employer la notation arcsin/) ; mais on tire des équations (106) et (ii5), i.° en supposant p > 0 ,
(* >7) arcsin ((/>)) = ~ =fc 2** d= v/-7I(p + j/— ) ;
