en supposant p

(ll8) ai*csin((p)) = ^-±(a/c± i)*±: ^“1(— P + 1/~) .

Dans le cas particulier où l’on a p = o , les formules (99) et (1 1 2) donnent (n9) ^ == arcsin (o) =3 o , I (f + |/7+7 ) .

Par suite, les formules (106), (108) se réduisent à

(120) arcsin((7V/“)) = -^d=2A7rq= j-1 ■— \Z71(?+t/^77) | ,

(121) arcsin (9 v/7) = |/TT 1 (7 + l/^TT) .

Considérons maintenant les arcs imaginaires dont le cosinus est xz=p + q\/TÏ. Si l’on désigne par

(122) * = arccos((œ))

l’un quelconque de ces arcs , on aura , pour déterminer z , l’équation (l2^) cos Z = x .

D’ailleurs la première des équations (y5) donnera

24) cos 5 = sin .

Donc l’équation ( 1 23) pourra s’écrire comme il suit

(ia5)

Or on tirera de cette dernière

~ — * * = arcsin ((»)) *

Donc les diverse^ valeurs de

= arccos ((*)) seront déterminées par la formule

iî8 CALCUL DIFFÉRENTIEL.

(127) arccos((x)) = ~ — arcsin((æ)) .

Parmi ces valeurs, il en existe une qui mérite d’être remarquée, savoir, celle qu’on obtient, en remplaçant, dans le second membre de la formule (127), les doubles parenthèses par des parenthèses simples. Nous désignerons encore, à l’aide de parenthèses simples, la valeur dont il s’agit, et nous écrirons en conséquncc

(128) arccos(x) = — — arcsin(x) ,

ou même , en supprimant tout-à-fait les parenthèses ,

(129) arccosæ = - - arcsinx .

Cela posé, on tirera évidemment de l’équation (108)

(130) . arccosx = ~ — £ — »

les valeurs des quantités £ , ^ étant toujours déterminées par les formules (99) et (111). De plus on conclura de la formule (109), combinée avec les équations (127) et

(, 5 1 ) arccos((x)) =dbarccosa;±arccos(i) .

Considérons en particulier le cas où l’on a q = o. Alors , si l’on suppose p' < » » l’équation (i3o) se réduira, comme on devait s’y attendre, à l’équation identique

arccosp = arccosp ,

et la formule ( 1 5 1 ) deviendra

(152) arccos ((p)) — zhükndb arccosp .

Si l’on suppose , au contraire , p2 > 1 , la quantité Q acquerra deux valeurs égales, mais de signes différents , et l’on devra par suite s’abstenir d’employer la notation arccos p ; tandis que l’on tirera des formules (117)» (118) et (127), i.°en supposant

arccos((/>)) =zt 2 k-pp [/7i \(p -f- \/p'-x ) »

ONZIÈME LEÇON.' ï*

•/.° en supposant p < o ,

(i34) arccos ((;>)).= q=(2 A ± 1)*^ v^U— P 4- i/^~) .

Dans le cas ou l’on suppose p = o , on tire des formules ( 1 20) , ( 1 2 1 ) , et ( 1 27) ,

( 1 55) arccos((<7i/“ )) ==£ 2/ctt ± j - V/”l(7 "H l/F+T) j »

(i36) arcco s(q[/~) = — \/~ 1 (7 + v/^+T ) •

Nous avons précédemment observé que les formules (72) , (73) , (74) , (75) , etc . .

qui expriment les propriétés connues des fonctions A* , cosaî , sinæ , .... peuvent être étendues à des valeurs imaginaires quelconques des variables x , y. Si l’on considère, au contraire, des formules dans lesquelles entrent les fonctions inverses

l(a;) , L(x) , arcsinæ , arccosa; ,

on trouvera le plus souvent que ces formules, étendues au cas où les variables deviennent imaginaires, ne subsistent qu’avec des restrictions considérables. Par exemple, si l’on fait

(137) x = p+q\/~, ^ = + , z=pt + qaÿ~ , etc...;

et, si l’on désigne par a une quantité réelle quelconque, la formule connue

(1 38) L(a>) + L(j) + L(») + ... = L{xyz...) ,

subsistera seulement dans le cas où, p , p1 , p% ... étant positifs, la somme ( 1 3g) arctang 4- arctang y- 4“ arctang y- 4- etc.*.

restera comprise entre les limites - — , 4- ~ » et la formule

L(£c“) = aL(x) ,

a arctang —

dans le cas où le produit

sera compris entre les mêmes limites. Ajoutons que, si, dans l’équation (i38), on remplace les parenthèses sin.ples par des parenhèses doubles, la formule ainsi obtenue savoir,

(142) L{(xjz ...)) = L((a?)) -1- L((j)) + L((z)) 4.,.. ,

devra être considérée comme exacte , parce qu’à chacune des valeurs du second membre on pourra faire correspondre une valeur égale du premier. Quant b la valeur générale de L((arfl)) , elle se déduira immédiatement des deux équations

M(*a))=î((«aK')))=al(®)±2^l/7 ,

A désignant un nombre entier quelconque, et le produit (141) étant toujours renfermé

entre les limites — — 4. JL

Pour terminer ce que nous avions à dire sur les valeurs que prennent les fonctions simples de la variable x , quand cette variable est imaginaire , il nous reste à chercher ce que deviennent les expressions

lorsque les constantes a , A cessent d’étre réelles. Or, si l’on étend la formule (5a) au cas où, la partie réelle de x étant positive , l’exposant a devient imaginaire cette formule suffira évidemment pour fixer, dans le cas dont il s’agit, la valeur de là notation x". Nous admettrons désormais cette extension de la formule (5a); mais nous cesserons d’employer la notation x*. toutes les fois que la partie réelle’ de la variable x sera négative. Quant à la notation ((x))*, on ne peut en faire usage ,

lorsque I exposant a n'est pas réel , à moins de la considérer comme propre h représcriter une infinité d’exprcssîoqs imaginaires.

Supposons maintenant que la constante A se présente sous la forme (»44) A = tx + py/~ f

a, P désignant des quantités quelconques. Dans ce cas , si la quantité « e^L positive, il suffira , pour fixer le sens de la notation A*, de concevoir que la formule (65) continue de subsister. Alors, en faisant, pour abréger,

(•45) p = [/(«’ 4- P*) » « = arctang— ,

on trouvera

A = p (cosu v/^sin u) , I {A ) = 1 (P) + u yfa ,

Ax = exX M+”Vr' = ex] M . evxVri ,

et par suite

( 1 46) A* = px(cosu£c+ vATs*nu£B) •

On arriverait au même résultat, en remplaçant, dans la formule (52),

x — r(cosr + [/~ s*nT) Par d = P (cosu + V/” s*Dy) * et a Par x’

Si , dans le premier membre <le la formule (65) , on remplaçait I ( A ) par 1 (( A )) , l’expression qui en résulterait , savoir,

offrirait une infinité de valeurs que l’on pourrait toujours calculer, quel que fut d’ailleurs le signe de la partie réelle de la constante A . Donc , si l’on admet dans le calcul la notation ((^))*> il faudra la considérer comme propre à représenter chacune des valeurs dont il s’agit , et par conséquent une infinité d’expressions imaginaire*.

Quant aux notations

L indiquant un logarithme pris dans un système dont la base A est imaginaire , elles désigneront nécessairement des valeurs de z propres à vérifier l’équation (77) , et par conséquent elles ne devront être employées que dans le cas où l’on pourra faire usage de la notation A ‘, c’est-à-dire, lorsque la partie réelle de A sera positive. 11 est d’ailleurs aisé de s’assurer que, dans ce même cas, les valeurs des notations L((œ)) , L(x) se déduiront à l’ordinaire des formules (78) et (88).

Il est aisé de voir comment les formules connues , qui expriment les propriétés des fonctions xa , A* , L(sc) , doivent être modifiées lorsque les constantes a, A deviennent imaginaires. Par exemple , si l’on fait

1 3a CALCUL DIFFÉRENTIEL,

la formule (i38) et la suivante

.(*47) xayaza ... = [xyz ...)a

subsisteront seulement dans le eas où , p * pt , p* . étant positifs, la somme ( 1 3g)

restera comprise entre les limites — — , -}- ~ . Au contraire, si la partie réelle de A est positive, la formule

(148) AxA’rA*...=Ax+r+t —

subsistera sans aucune modification pour toutes les valeurs possibles réelles ou imaginaires des variables x , y, z .... Il est encore facile de s’assurer , i.° que , si l’on fait

a = a + Pl/:» f a; = r(cosT -j- y/r,sinr) ,

a , p , p désignant des quantités réelles et t un angle renfermé entre les limites

- — , -f- — , la formule (i4<>) subsistera seulement dans le cas où le binôme

(149) «T + pl (r)

restera compris entre les^jafemes limites; 2.° que la formule (i4a) subsistera pour des valeurs quelconques des 'variables x , y , z ... , et les formules (i43) pour toutes les valeurs de x qui offriront une partie réelle positive.

Les valeurs que prennent les fonctions simples d’une variable x , quand cette variable devient imaginaire, étant fixées, comme on vient de le voir, on déterminera facilement les valeurs que peuvent prendre des fonctions composées d’une ou de plusieurs variables réelles ou imaginaires. Parmi les fonctions de cette dernière espèce , il en est quelques-unes que l’on rencontre souvent dans l’analyse. Telles sont, par exemple, les quatre fonctions

(150) tanga;, cota;, séca;, coséca;,

que l’on peut considérer comme composées et définies par les formules

sina; cosa; i

(lui) tanga; == - , cota:= — : - , séca: = - , coséca;

Cosa; sina; cosx

Tels sont encore les arcs de cercle dont la tangente , la cotangenlc , la sécante ou la cosecante seraient représentées par x. Pour faire voir comment on peut fixer les valeurs des arcs dont il s'agit , désignons par

sina; *

(iÔ2) 3 = arctang((æ))

l’un quelconque de ceux dont la tangente est égale à x , On aura ^

i erY^-i

(i53) æ = tang« = -

puis on en conclura (.54)

et par conséquent

2- j/7 = 2 {T, . arctangæ = 1 ( (7^7=-) ) = 1 ((1 + æ V~)) - • (( > — *V/~ )) , ou , ce qui revient au même , ^

(.55) arclapg(H) = -t^)) .

Observons d’ailleurs que, dans le cas où la variable x reste réelle, l’équation (i55) subsiste , lors même qu’on y supprime les doubles parenthèses. Alors en effet on tire de l’équation (85)

1 ( 1 + a; |/rr ) = -^-1(1 +x') + \/Tl arctangæ, 1 (î -æy/^) = -i- 1 (i +æ’) - i/T arctangæ, et par suite

( 1 56) arctangæ as\/-l)~H1 ~XV 0

Or il suffit évidemment d’étendre celte dernière formule au cas où la variable x devient imaginaire, pour fixer, dans ce dernier cas, le sens de la notation

(i5j) arctangæ.

C’est ce que nous ferons désormais. On trouvera donc , en prenant x = p -J- q y/77 ,

( . 58) arctangæ = ;

puis on en conclura, en supposant 7* < i ,

(.59) arc tanga = -1 jarcUDg + arctang-^ j+-^-l |:^((|‘^))‘ j .

Si l’on supposait, au contraire, 7* > 1 , il faudrait renoncer à se servir de l’une des notations

*('— 9+pt/?). H< + ?— rV~)-

et par conséquent de la notation arctangx.

Lorsque la condition 7* < 1 se trouve remplie, chacune des différences

* (C 1 +*1/m)) — I ( 1 4 ’XV~) * KO — aV“)) — 1 (1 —

est de la forme

dz s/cr r^/., ,

k désignant un nombre entier , et par suite la différence arclang((æ)) - arclang* =

est de la forme

±tk*.

On a donc alors

(1G0) arctang((;r)) = arctangx db A * ,

ou, ce qui revient au même,

(161) arctang((a;)) = arctanga; + arctang((o)) .

Lorsqu’on suppose en même temps p = o et q' < 1 , on tire de la formule (108)

(162) arctang(7 v/-7) = +q) = 1 [-jzjj ’

Après avoir déterminé, par la formule (i55), la valeur de l’un quelconque des arcs qui ont x pour tangente , on en déduira sans peine la valeur de l’un quelconque de ceux qui ont x pour cotangente. En effet, si l’on désigne par

(i65) z = arccot ((x))

l’un de ces derniers arcs, on aura