COS Z
sin* tangz
et par suite
ou, ce qui revieut au même.
arccot((æ)) = arctang^— j j .
Lorsque, dans le rapport ~ , le coefficient de [/TT a une valeur numérique plus
petite que l’unité, alors, en supprimant les doubles parenthèses dans le second membre de la formule (164) , on obtient une valeur particulière de arccot((cc)) que nous désignerons par arccotcc , ensorte qu’on aura
(if>5) arccotcc = arctang -1- .
Par des raisonnements semblables à ceux qui précèdent , on pourrait encore ramener la détermination des arcs qui ont x pour sécante ou pour cosécante, à la détermination des arcs dont on connaît le sinus ou le cosinus , et l’on établirait les formules
(166) arcséc((x)) = arccos^-Lj) , (167) arccoséc((£c)) = arcsin ((v)) ■
(168) aresée* = arccos , (169) arccoséc* = arcsin (-1) .
Concevons que l’on étende les définitions que nous avons données- pour les différentielles et les dérivées des variables et des fonctions réelles , au cas même où ces variables et fonctions deviennent imaginaires. Alors , en partant des principes exposés dans la Leçon précédente, on déterminera sans peine ces différentielles et ces dérivées, ainsi qu’on va le faire voir.
.l’observerai d’abord que, si l’on représente par
(0 i = a -f” Pl/** ==p(cosv -f" l/âsinv)
une expression imaginaire infiniment petite, a, (3 , p , u désignant quatre quantités réelles dont les trois premières soient infiniment petites et la quatrième positive , on aura, en vertu des formule^' (6*) et (Ci) de la onzième Leçon,
i +-— + — — =- + ••• = i +-^-(cosv + i/“ sinv) + — (cos2w+i/rTsin2u)+..., I 1.2 1:2.3 1.2 * V ' 1.2.3 V V '
'ÎT‘== 1 — TXT + ••• = ’— 7X3 (oo5!1'' + V/"®1113'") -t -
Or on tirera de ces dernières , en faisant converger la quantité p , et par conséquent l’expression (î) vers la limite zéro,
(a) lim — — — " = i > (3) lim-^p- » i #
puis, en remplaçant i par 1 1 (^ ) , ' on trouvera
et par suite
DOUZIÈME LEÇON
Hm
-=iM) .
A désignant une constante réelle ou une constante imaginaire dont la partie réelle soit positive. De plus , si l’on fait
on aura
7 — el-\ I J *
ou lim. 1 ( î -f- 1 )* = i ;
et par suite
puis on en conclura
■h» iüiiU*,.
Hm (î -j- 1*)‘ = c .
Enfin , comme , dans le cas où la partie réelle de la constante A est positive , on tire de l’équation (88) de la onzième Leçon
la lettre L indiquant un logarithme pris dans le système dont la base est A , aura , dans ce môme cas ,
lim
Mi+0
Les diverses formules qui précèdent s’accordent avec celles que nous avons données dans les Préliminaires, lorsque l’expression infiniment petite désignée par t se réduit h une quantité réelle. Mais il était important de s’assurer quelles subsistent, lors même que t devient imaginaire. Ajoutons que , si l’on représente par = t l’accroissement infiniment petit d’une variable imaginaire x , la dérivée de la fonction
c’est-à-dire, la limite vers laquelle converge le rapport t
tandis que i s’approche de zéro , pourra toujours être désignée par la notation
Quant aux différentielles dx , dy , elles ne seront autre chose que des expressions imaginaires dont le rapport sera équivalent à la dernière raison des accroissements infiniment petits ax , A y, et par conséquent des expressions imaginaires liées entre elles par l’équation
—y' , ou dy—y'dx.
Or, en vertu de cette équation, la différentielle dy sera complètement déterminée, quand on aura fixé la forme de la fonction y — f{x) et la différentielle dx de la variable indépendante. Mais cette dernière différentielle restera entièrement arbitraire , et pourra être une expression imaginaire quelconque.
Cela posé , en faisant usage de raisonnements semblables à ceux que nous avons employés dans la première Leçon , et ayant égard h la formule
He)
on trouvera, i,° pour des valeurs imaginaires quelconques de la variable x et de la constante a ,
d (a -f- x) = dx , d(a — x) = — dx, d(ax)=adx, d = - - »
(q) 1 d.cx — cxdx,
i dsinæ = cosxdx = sin (x -J- — j dx, dcosx= — sinxdx=i cos [x -f--— j dx ;
2.0 pour des valeurs de la constante A dont la partie réelle sera positive,
(îo) d. Ax = AX\{A) dx ;
3.° pour des valeurs de x dont la partie réelle sera positive,
DOUZIÈME LEÇON
(n) d.xa = axa~'dx , (12) dL(aj) = L(c) — ,
et, pour des valeurs the x dont la partie réelle sera négative, (i4) d.(-x)a = -a(-x)a~1dx, (i5) dL(-æ)=L(e) — ,
De plus on tirera de l’équation (86) ou (87) [page 122] combinée avec la formule (i3) ou (16) ,
(.7) rfl((*))=V*
dx T . . dx = L(e) — '
et de la formule (78) [page 120] ,
(«») dL^=mr^
On établira encore sans dilficirfté les deux premières des équations (i3) de la page 20, savoir ,
dx , dx
d tanga; =
cos* a;
d cota: = -
et l’équation (10) de la page 21, savoir,
(.20) dY{y) = Y\y)dy ,
y étant une fonction quelconque de x \ puis on déduira immédiatement de cette équation la plupart des formules contenues dans les pages 22 et 23, avec quelques-uues de ces mêmes formules légèrement modifiées. On trouvera en particulier
( d[a+y) = dy, d{—y)=—y, d[ay)=ady.
dy
, etc...
\yl y
si nxdx
cos xdx
cos * x
acosecæ —
sin*#
De plus, si l’on pose
y==xa,
puis, en différenciant et ayant égard à l’équation (17), on retrouvera, comme à l’ordinaire [voyez la page 22], les formules
dy ^ dx dy ^ 21 a-m\
y x dx x
et par conséquent la formule (11).
De même, si l’on prend
on en conclura
y = arctang((cc)) , ou y = arccot((a?)) ,
langj = x , ou co ly = x ,
puis, en différenciant, et ayant égard aux équations (19) , on obtiendra la formule
dy = cosiydx, ou dy = — sin *ydx, de laquelle on tirera
(23) darctang((a;)) = ““~r » ou darccot ((*).) — - .
Si l’on posait au contraire
y = arcsin ((ce)) ,
en en conclurait
siny = x , dy -
D’ailleurs, si, dans la première des équations (74) de la page 120, on remplace x par — y, cette équation donnera , pour une valeur quelconque réelle ou imaginaire de la variable y ,
cos 'y -f sin’jas 1 .
On aura donc, dans le cas présent.
3 J — 1 — sin*^ == 1 — xa , cos y = ((1 — »*))’ ,
D’ailleurs , si l’on suppose
i4» CALCUL DIFFÉRENTIEL.
p , q désignant des quantités réelles, la valeur de arcsinæ sera donnée par la formule (108) de la Leçon précédente, ou
y =s= arcsinæ = (£ + ,
$ , ^ désignant des quantités réelles dont la première vérifiera les équations (110) de la même Leçon. En conséquence la partie réelle de
cos.r = cos(£ + ^iA‘) ~ ~ (e?L + e‘^)cos£ — ~ (e^ — e^)sin<£. .
savoir,
—■ (e^ + e'^Ocos# , sera une quantité de même signe que
