COS
c’est-à-dire , une quantité positive. Donc, si , dans le premier membre de la formule (24), on remplace les parenthèses doubles par des parenthèses simples, on devra en même
temps réduire l’expression ((1 — X*)Y . à celle de ses deux valeurs qui offre une partie réelle positive. Si , pour fixer les idées , on prend æ = 7 y/7? , on trouvera
d. arcsinoi/TT = ,
ou, ce qui revient au même [voyez la formule (121) de la Leçon précédente],
rfl(* + V77^') = J/^T •
puis on en conclura , en substituant la lettre x à la lettre 7 ,
Il serait facile do vérifier directement cette dernière équation.
Dans le cas particulier où, la variable x étant réelle, la valeur numérique de cette yariable surpasse l’unité, aucune des deux valeurs de l’expression
DOUZIÈME LEÇON
n’offre une partie réelle positive, puisqu’elles se réduisent respectivement à
(*’ — i)VT. —(»•—!) ys »
Mais alors aussi l’expression arcsinæ doit être bannie du calcul [voyez la Leçon précédente, page 126], et par conséquent il n’y a plus lieu de chercher la diflérentielle de arcsinæ. Ajoutons que, dans le même cas, on tirera de l’équation (22) combinée avec la formule (117) de la précédente Leçon ,
dx
(31) d. arcsin((x)) = d= {/^d\ (x + ’) = =*= y/—' •
On peut d’ailleurs vérifier l’exactitude de l’équation (3i) en établissant directement la formule
Quant à la différentielle de l’expression arccosæ , elle se déduira immédiatement de l’équation (129) do la Leçon précédente. On aura donc, dans tous les cas,
(33) cfarccosæ = — darcsinæ.
Soient maintenant s, u, v, w . . diverses fonctions de la variable imaginaire
x, et As, Au, A-o , Au>,... les accroissements simultanés que reçoivent ces mêmes
fonctions , quand on attribue à la variable x un accroissement infiniment petit , réel ou imaginaire, savoir, A£c = t. Si la fonction s est la somme de toutes les autres . en sorte qu’on ait •
on trouvera successivement
A$= Au -f- + ••• *
et
As Au A v àx A#
puis on en conclura, en faisant converger Asc vers la limite zéro
et par conséquent
ds du dv dx dx Hx
dw
~dï +“* ’
ds — du -{- dv 4- div
Remarquons d’ailleurs que l’équation (35) peut être présentée sous la forme
Des équations (36) et (3j) , comparées à l’équation (34), il résulte que la différentielle ou la dérivée de la somme de plusieurs fonctions est la somme de leurs différentielles ou de leurs dérivées, dans le cas même où la variable x devient imaginaire. En partant de ce principe, on pourra évidemment étendre au cas dont il s’agit la plupart des formules établies dans la seconde Leçon. Ainsi, par exemple, on trouvera, en désignant par m un nombre entier, et par a, b, c,...q,r des constantes imaginaires,
(38) d (au 4- bv 4~ cw 4- •••) =adu 4- bdv 4* cdw 4- ... ,
(39) d(ax"‘ bxm~' 4-... -{-qx-\-r) = [maxm~l -\-(m — i)axm~'1 4 -q]dx.
De plus, comme on aura généralement
on en conclura, en différenciant,
d(uvw...) uvw.. .
et par suite
(4o) d[uvw ...) = uvw
On trouvera en particulier
(40 d (uv) — udv 4- vdu ,
d[uvw) =vwdu -j- wudv 4" uvdw ,
et
d (—] =d(u— ] = — du 4- ud — = — — te — , \v J \ v J v v v v *
ou plus simplement
DOUZIÈME LEÇON
J u \ vdu- udv
\v J~ va
De même, comme, en supposant la partie réelle de u positive, et désignant par k un nombre entier quelconque , on aura
1 ((«-)) =vl(«) ±2^1/17 ;
on en conclura
l^lL=v — +\{u)dv ,
Uv u
et par suite
(43) d.uv— du -4-l(u)<Èü j .
Si , dans la formule (43) , on remplace v par — , on trouvera , en supposant tou jours la partie réelle de u positive ,
Enfin , si, dans les formules (4i) et (44) » on prend u=zv'==x , et si Ton suppose la partie réelle de x positive , elles donneront
(45) d.xx —x*[i -{-\(x)]dx , d.xx = — — — xxdx.
Nous ne pousserons pas plus loin ces calculs; et, pour terminer la douzième Leçon , nous dirons ici quelques mots sur les différentielles et les dérivées du second ordre ou des ordres supérieurs, relatives aux fonctions d’une variable imaginaire.
Comme une fonction y ou f{x) de la variable imaginaire x a pour différentielles d’autres fonctions f{x) et f'[x ) dx de cette même variable, il est clair qu’on peut déduire de f{x) une multitude de fonctions nouvelles dont chacune soit la différentielle ou la dérivée de la précédente. Ces fonctions nouvelles sont ce qu’on nomme les dérivées ou les différentielles des divers ordres de y ou /( x) . On indique les dérivées des divers ordres à l’aide des notations
ou
et les différentielles des divers ordres de la fonction j' à l’aide des notations d’j, d3J, .... dny.
Cela posé, en raisonnant comme dans la troisième Leçon , on obtiendra immédiatement les formules
dy —y'dx , d*y —y^dx2 , d*y =y'"dx* , ... dny =y(n>dxn ,
qui subsistent dans le cas même où la variable indépendante x et la différentielle dx deviennent imaginaires. De plus on étendra sans peine au cas dont il s’agit les diverses formules établies dans la troisième Leçon , par exemple , les suivantes
dne*-=z txdxn , d'*sina? = 8in(a;-4" \m:)dxn , dncasx = cos(x-{-'-nrt)dxn , dnxa—a{a - 1) .. [a-n-\-i)xa~'ndxn , dn\{x) = (-i)w~1 — il dxn , etc...,
et l’on trouvera encore
pour J—f{x + à)t y 00 = fw 4- a) , dny = /<"> [x 4- a) dxn ;
pour y = f(ax) , yw == anf™[axj \ dny — an/c"> [ax) dxn ,
etc....
TREIZIÈME LEÇCTN.
Relations qui existent entre les fonctions d'une variable imaginaire x\ et leurs dérivées ou différentielles des divers ordres. Développements de ces fonctions suivant les puissances ascendantes de x , ou de la différence x — a , dans laquelle a désigne une valeur particulière de x.
Soient
une variable imaginaire, et f(ce) une fonction de cette variable. Soit en outre
le module de la variable x. La valeur de x pourra s’écrire comine il suit
(3) as = ?*(cos< 4- v/^sinj) , t désignant un arc réel; et, si, dans la fonction
(4) f(a>) =f[r (cos« -J- i/“sin*)] ,
on considère le module r comme seul variable, cette fonction pourra être présentée sous la forme
<p(r), x(r) désignant deux fonctions réelles de r. Cela posé , si l’on différencie plusieurs fois de suite par rapport à r l’équation
(6) f [r (cos 1 4- V/-1 sin 01 = f (r) 4- V7' Z (»’) >
en ayant égard aux principes établis dans la Leçon précédente, on trouvera
(cos 1 + 1/.1 si n 0 f' [r (cos f + siu f )] = ?'(r) -f j/T, x'(r) ,
(cosf +|/r;sinO*f*[r(co8f + v/ri5inl)]==Ÿ#(r)4. |/TlZ#(r) ,
etc... J ; ^
et généralement
(8) (cosf -f- |/rtjinr)"f(a)[r(co8^4> l/-‘îsinï)] = <p<n>(r) + V*Zw(r) >
w étant un nombre entier quelconque. Concevons maintenant que les fonctions
s évanouissent toutes pour une valeur nulle de cc , en sorte qu’on ait
On tirera des formules (7), en y posant r — o,
(i°) y (o) + V/-1x(0)=« , y'(o) + V/T, x'(o) = o , ... *<»— 0(0) + V/Hx^-OCo) = o >
puis on en conclura
et
(la) x(o) = 0 , x'(o) = ° j . x("-0 (°) = °.
D’ailleurs, si les fonctions
sont continues , par rapport à te , dans le voisinage de la valeur x — o , les fonctions
( x'(r), . xc"7°(r)» Z«(r),
seront elles-mêmes continues, par rapport à r , dans le voisinage de r = o; et la formule (9) de la page 55 donnera , au moins pour des valeurs de r positives mais inférieures 5 une certaine limite A ,
8. , 8, étant deux nombres plus petits que l’unité. Par suite, l’équation (6) donnera
(.6) f[r(cos( + ^-sint)]= + V/'xW(M]-
Pour que cette dernière formule subsiste entre les limites r o , r évidemment que, les fonctions (i3) étant continues , par rapport h * , le module r reste compris entre ces limites , le rapport
= k , il suffit dans le cas où
f (g) <?M + l/rix(r)
(*7) xn~l rn~l(cost+ [/~i sin<)n—I
s’évanouisse avec r. En effet, comme ce rapport est équivalent au produit
(18) [cos(n— i)* + [/~sin(n — i)t] £-^7- 4- 7^r] »
il ne pourra s’évanouir pour une valeur nulle de r , à moins que cette valeur ne vérifie la formule
r"-, v rn~l
et par conséquent les deux conditions
ïirL = „, j£L = o.
Or si ces conditions se trouvent vérifiées pour r = o, elles entraîneront les équation,
(. .) et (.a) [v#z la cinquième et la sixième Leçons]. Donc alors les formules ( 1 5) , et par suite la formule ( 1 6) subsisteront entre les limites r = o , r = h.
Pour que la variable x devienne infiniment petite , il est nécessaire . et il suffit que le module r soit lui-mème infiniment petit. Or on trouvera , dans cette hypothèse , en admettant que ?«(») . X°°(o) conservent des valeurs finies, et désignant par *, p des quantités infiniment petites ,
f 00 (r) = f»(o)+«, Zw (r) = Xw («) + P •
i5° CALCUL DIFFÉRENTIEL.
Par conséquent la formule (iG) donnera
(20) f[r(coS( + i/Tsin<)] = — [?W(o) + |/^z«(o) + « + % l^T] .
D’ailleurs on tirera de la formule (8) , en y posant r = o ,
(21) ?(,°(P) + V/:*X<,,;)(0) = (cosf-f-v/r1sinf),,fC/0(o) ,
Donc, si l’on fait , pour plus de commodité,
Fos' + t/'.siixj" = (t' + fV/-,)(c°s»' — »/-■ sinn«) ,
(23) f[r(cosf + t/TTsinQ] = I>8,+ [fW(o) + /],
ou , ce qui revient au même,
f(a)= cfw(o)+/].
Dans celle dernière équation , 1 désigne une nouvelle variable qui s’évanouit avec
