X. On peut donc énoncer la proposition suivante

Supposons que, les fondions (lï) étant continues , par rapporta x, dans le voisinage de ta valeur particulière x = o , s’évanouissent toutes avec x excepté la dernière f«(x), et que f«(o) conserve une valeur finie. Alors, si Ion attribue à x une valeur infiniment petite, on aura

W) f(x) =-- — - CfW(o) + /] ,

1 désignant une expression imaginaire qui deviendra nulle en même temps que la variable x. 7

Dans le cas où la variable x reste réelle, l’équation (,4) peut être immédiatement déduite de la formule (18) [page 5i].

Sou maintenant J (x) une fonction de x , qui conserve une valeur finie, aussi p.t es déi ivées d un ordre inférieur ou égal à n , pour une valeur nulle de x ; et supposons d’ailleurs- que , pour des valeurs de x imaginaires ou de la forme

on aura encore

r(cos* 4- i/rTsin l) ,

TREIZIÈME LEÇON. *5t

les fouctions

restent continues entre les limites o et i du module r. Si, en considérant ce module comme seul variable, on désigne par <p(r) , x(f’) deux fonctions réelles de r, propres à vérifier l’équation

(26) f [r (cos t -f- iTi sin*)] = ? (r) + V7' x(r) »

on aura, pour une valeur entière de m ,

(cos t [/Z sin [r (cos t -f- [/~i sin /)] = (r) -f- ^/Ti ^ 0*0 (r) ,

(cosf + V/^8*n0"/’c,"î(o)==Ÿ(",J(o) + l/nxw(°) .

D’autre part, la formule (8) de la huitième Leçon donnera entre les limites r = o , r=k.

* M = 1 (°) + -f t» + 77j »'(«)+•• + ■, » 0,-0 (o) +TYsYr (9' r)

' X<»~) = »(<>) +{^X»+~+ x(:— )(o)+-,^nx^(8,’-)

0. , 0a désignant deux nombres inférieurs à l’unité. Par suite on tirera de l’équation (26) combinée avec la seconde des formules (27) ,

(*9) /[r(cost + tZ-sint)] =/(«) + r(” /» + .

ou , ce qui revient au même ,

a?" ?W(ô,r) + |/rlXC« (0,r)