n (cost+ v/-~, siii

Il suit de la formule (3o) que la fonction f[x) peut être considérée comme composée d’une fonction entière de x, savoir,

i ~ri

et d’un reste, savoir,

g" TW(8,r).n/:,xW(fl,r)

' ' 1.2.5 ... m [cost + \/~\ sin/)"

Lor.ojuo ce reste décroît indéfiniment pour des valeurs croissantes du nombre entier n , la série

(33) /(o), y /'(«), etc....

est convergente , et la somme de celte série est précisément la fonction f{x) , en sorte qu’on a

(34) f{x) = /(o) + ± /'(o) + -il /"(o) + etc. . . .

L’équation (34) n’est que la formule de Maclaurin étendue au cas où la variable x devient imaginaire.

Concevons encore que, la lettre a désignant une valeur particulière de la variable x , les fonctions (25) conservent, pour x = a , une valeur finie, et restent continues tant que le module p de la différence x — a demeure compris entre les limites o et k Alors, si l’on fait

(35) x — a — z = p(cosu -|- \/~\ sinu) ,

•j désignant un arc réel , et

(36) /(« + *) =/[« + o (cosu -f l/r, sinu)] = *(pJ-H l/~i X(p) , on trouvera

I (cosu {/~i sinu )«yc«)[a -|-p (cosu \/Tv sinu)] = -f" V~l xC"°(p) >

(cosu + [/r, sinu )mf™{d) = «^(o) 4- X<"0(o) ;

De plus , comme la formule (8) de la page 70 donnera

| • to = * «+7 ♦'("> +T7t'(°>+" + (0) + 7ES3r *W(9'f) ’

[ x(f.) =x(o)^X'(o)f-Cx>)H-f , .,^r(i-.r^"~,>(ol+Ti^rxW(l>’p)'

O, , 0 3 étant deux nombres inférieurs h l’unité, on tirera de 1 équation (3G) , combinée avec la seconde des formules (37) ,

/[a -f- p (cos u -f- y/~ sinu)] —

(39) î /(«) + p(C0Sa+rSlH /'(«) + ... + /"-’M

ou , ce qui revient au même,

(sj-b)" »^(6,p) + y/riXW(0,p)

(cosu + yi] sinu)'*

En vertu de la formule (4o) , la fonction f{x) peut être considérée comme composée de la fonction entière

qui se trouve ordonnée suivant les puissances ascendantes de x — a, et d’un reste représenté par le produit

Q v -a)* tW(8,p) + t/".X»)(8lP)

(42) 1.2.5... n (co8ù+ [/~i sinu)"

Lorsque ce reste décroît indéfiniment pour des valeurs, croissantes du nombre entrer n , la série

(x-ay

/*(«) , etc..

rsl nécessairement convergente, et l’on tire de l’équation (4o)

M4) /W =/(«) + —/'(«) + /*(«) + etc.'. .

ou, ce qui revient au même,