Y /'(«) + ~ /'(<*) + CIC

Si , dans colle dernière, on remplace a par x et z par h , on obtiendra la suivante

(4«) /(* + *)=/(«) + i. /'(*1 + -AA /'(*)+ etc...

c est-h - dire, la formule de Taylor étendue au cas oii la variable x et son accroissement h deviennent imaginaires.

Lorsque, dans l’équation (4o) , le module p devient infiniment petit, le rapport

diffère très-peu du rapport

*w(0,p) + j/7lxW(Q,p) (cosu + [/~i sinuj'1

(cosu + -i sinu)" J \

Donc, si l’on pose alors

(47) ♦w(t,f)txM(>l>)

(cosu + \/-i sinu)*

7 sera, ainsi que x — a, une expression imaginaire infiniment petite, et la formule (4o) donnera

(48) /(x) =/(«) + -^ /'(«)+... («) + -AfAil [/«(„) + /] .

puis on en conclura , en faisant x — a = t ,

Si , dans I équation (49) , on remplace a par x , on se trouvera immédiatement conduit h la proposition suivante.

TREIZIÈME LEÇON. i55

Tnâor.ÈME 2. Supposons que Con attribue à la variable x une valeur , dans le voisinage de laquelle les fondions (25) restent continues , et à la variable imaginaire i une valeur infiniment petite. On aura

(S») /(»+ «WM + 7 f'W +- + ..ôl'li-.T ^T.1, («) +/] •

/ désignant une expression qui deviendra nulle en môme temps que i.

Celte proposition comprend évidemment, comme cas particuliers, le premier théorème et celui que nous allons énoncer.

TitioREME 5. Supposons que Con attribue à la variable imaginaire x une valeur dans le voisinage de laquelle la fonction f{x) reste continue , ainsi que sa dérivée J'(x) , et à la variable imaginaire i une valeur infiniment petite. On aura

/ devant s’évanouir avec i.

Exemples. Si l’on prend successivement pour f(x) les fonctions ex , sincc , cos as , x% , x*,* I (as) , arclanga? , etc...,

on tirera de la formule (5i)

(53) sin (os 4— ê) = sincc —J— t (eot> a? — f- ^ ) » (54) cos [x -f- * ) — 008 x — *(s‘ux '!)•

(55) (as 4- i)’==*4+ * (56) [x 4“ i)1*— x* 4" i(^x^~l + f) *

(57) 1 (cc -J- i) == 1 (as) 4t|“ + ^) . (58) arctang(a>+i) =arctangas+»

etc .

Lorsque plusieurs termes de la suite

(Sy) /'(<*) . /'(«) • /*'(«) • e,c-- '

s’évanouissent, alors, en admettant que /<n)(rt) s0‘l premier de ceux qui diffèrent de zéro, on tire de l’équation (49)

(Go) f(a + «•)=/(«) -f [ /<"> («) + /).

On peut donc encore énoncer la proposition suivante.

1hIcoreme4« Supposons que les fondions (a5), continues par rapport à x dans

le voisinage île la valeur particulière x = a , s'évanouissent toutes avec x a

excepté la première /( x) et la dernière /<"> [x) . Admettons en outre que f{x) et /<** (æ) conservent , pour x = o, des valeurs finies : alors, si l'on attribue à la variable i une valeur infiniment petite , on aura , pour x~a ,

(g . ) , /(* + ■') = /(*) + „ fy« (*) + /],

/ désignant uns expression imaginaire qui deviendra nulle en meme temps que la variable i .

Concevons h présent que, la variable x étant imaginaire , on nomme fl le module de la fonction f{x) ; en sorte qu’on ait

M f{x) = il(oosT + [/TisinT) ,

T désignant un arc réel. Soient d’ailleurs Ml , A T les accroissements que reçoivent les quantités II, T, quand on attribue h la variable x l’accroissement infiniment petit

(G5) ' A x — i = p (cos y + wnu) .

On fixera aisément, h l’aide de la formule (5i) ou (Oi), la valeur approchée de A/?. En effet, on tirera de l’équation (62)

(84) (R + A il) [cos ( T -f A T) + xTi »in ( T A T)] = /(« + i) •

puis en combinant celte dernière avec la formule (5i) , nommant //, le module de f\x) , et représentant par Tt , a , p des quantités réelles propres h vérifier les équations