GG

on trouvera

f'{x) = il, (cos T, + 1/7, sin T,) , f( cos y \/^i sinv) = a -j- p[/Ti ,

i {R-\-Mi)[cos(T + bT)-\-[/7lsm(T-\-i>T)]=R(cosT+[/7iS\nT)

^ ( 4“ P [rti[cos(y + T*) + l/^x sin -f- ïTi)] + «-h^V/'*| »

ou , ce qui revient au même ,

( (/J-fA/î)cos(T-hAT) = /îcosr4->[7îIcos(y + TI) +«] ,

( (/î -f- A 7?) sin (T AT) = 7î sin T -{- p[iî, sin (u -|- T, ) 4“P1 •

De plus, si l’on combine entre elles, par voie d'addition , les formules (G8) , après avoir ^élevé chaque membre au carré, et en faisant, pour abréger,

(G©) V — 2 Æ (*cos T -J-^sinT) -j-p | [71, cos (y -f- T,) 4" “]a ■+■ [Tii sin(v -\-Tt) 4-p]* ] »

on en conclura

{70) (71 4- AT?)* = 71* 4“ P [2 7? 71, cos (v j y, T) -f- y] .

Cela posé, comme les valeurs de a, (3, 7, déterminées par les formules (GG) et (69), seront infiniment petites, on tirera de l’équation (70), en extrayant les racines carrées positives des deux membres, ayant égard à la formule (55), et désignant par J une quantité qui s’évanouisso avec le module p ,

(71) /f + ^« = » + f[2«/î.cos(v + r.-r) +7](I + #) .

Dans cette dernière équation qui suppose 7?* > o , le produit

[2/?/?, cos (y + T, — T) 4" 7) — h

diffère très -peu du suivant

Donc celte même équation pourra être présentée sous la forme

(72) A 71 ?= p [ 71 , cos (y 4- T, — T) 4- »] „

désignant encore une quantité infiniment petite j cl par conséquent le produit fr3) p 71, cos (y 4- T, — T)

i58 CALCUL DIFFÉRENTIFX.

fera la valeur approchée de l’accroissement ^R , c’est-à-dire que le rapport de cet accroissement au produit (73) différera très-peu de l’unité. On doit seulement excepter le cas où 1 on attribuerait à la variable x une valeur qui rendrait nulle ou infinie l’un des deux modules R , /?, , ou, ce qui revient au même, l’une des deux fonctions f(x) , f'{x) .

Supposons maintenant que, pour une valeur donnée de x , les fonctions

s’évanouissent, mais que f{x) et fw(x) obtiennent des valeurs finies différentes de zéro. Alors le produit (75) sera nul, ainsi que le module R, de f'{x). Mais, si l’on désigne par Rn le module de f<n>{x) , et par Tn , « , p des quantités réelles propres à vérifier les équations

(?5) (*) = Rn(cos T„ -f ÿ7x sin Tn ) ,

(76) /(cosu -f- [/~i sinu)" = <*4“Pi/-» t

on tirera des formules (64) et (6i) , combinées entre elles,

(R + A R) [cos [T + *T ) + sin (T + AT)] = R{ cos T -f- j/TT sin T)

+ -, 2f5„ „■ J *.[««• (». + r„) + v/Tsin (n„ + T,)] + « + f ,/- j ,

ou, ce qui revient au meme,

1(7? ~\~ A/?) cos (T + AT) 3= /?cos7'-| - - [7?„cos(no -j- 7’„) -f- «] ,

(/? 4- A/») sin ( 7 -f- AT) = 7?sin T 4 - — - [/?„sin(ny -|- Tn) -4- èl ;

puis , en substituant les équations (78) aux équations (68) , on obtiendra , au lieu des formules (6y) , (7o) , (72), de nouvelles formules , que l’on peut déduire des premières

en remplaçant le module a par la fraction - - R par Rn , et le binôme

v 4“ 7'» par le binôme wv-f- Tn. Donc, en supposant R' > o , et désignant toujours par w une quantité infiniment petite, on aura

(79) aÆ~ fi-co,(n“ + r. — r) + »] .

Pur conséquent, dans l’hypo thèse admise, le produit

(80) . — — cos (n » + r„ — T )

sera la valeur approchée de l’accroissemenl A B , c’est-à-dire que le rapport de cet

accroissement au produit (80) différera très -peu de l’unité.

Lorsque , pour une valeur donnée de x , la fonction f[x ) s’évanouit avec son module R , et qu’en môme temps la première des fonctions (2 5) qui diffère de zéro conserve une valeur finie , on lire des formules (68) ou (78) , 1 ,° en supposant //,» > 0 ,

l A/î.cos(T + AT) = P[iîlcos(u-f T,)4-«], ( Afi.sin(T+ AT) =p[/?Isin(u + T.)+p],

a.* en supposant

/J„, = o et /?„” > o.

| A/?, cos ( T -f A T) — t 2P5 [Rn cos (nu -j-L) 4. z] ,

[ s*n ( T + A 7’) = — ^ - [/?„sin (n„ + 2*.) + É>3 .

On en conclura, par des raisonnements semblables à ceux dont nous nous sommes servi» plus haut, que l’accroissement A R du module B peut être, dans le premier cas présenté sous la forme

(83) 4R = P(fl, + o,),

et dans le second cas, sous la forme

w> lS=7£r‘"’+“)'

W désignant, dans l’une et l’autre hypothèse, une quantité infiniment petite. Pour que l’accroissement de la variable œ , savoir.

A» = i = p (cosv -f- p/., srau)

j Go CALCUL DIFFÉRENTIEL.

soit infiniment petit , il est nécessaire et il suffit que le module p de cet accroissement soit lui-même infiniment petit, l’arc « pouvant d’ailleurs être une quantité finie quelconque. Or, si l’on détermine cet arc de manière à vérifier l’équation

(85) COs(u-f 7’,— 7’)=— î , ou bien la suivante

(86) cos (nv-j- T, — 7’) = —

ce qui aura lieu, par exemple, si l’on prend

ou bien

(2m + i)ir+T-Tn

désignant un nombre entier inférieur h n , on verra la formule (72) sc réduire à

ou la formule (79) se réduire à

De plus, la valour de \x donnée par l’équation (65) prendra l’une des formes (91) iæ = — f[cos(7’— T,) + j/Tsin [T — T ,)],

T I amt 1 J7T1-Z ~ J. n . y— •

(92) A a; = pi COS — - - - {-ÿ-xSin-

D’ailleurs, en vertu de la formule (89) ou (90), l’accroissement A/? du module R aura pour valeur approchée la quantité négative

Donc cet accroissement sera négatif , et l’on pourra énoncer la proposition suivante.

5.e Théorème. Supposons que les fonctions («5) restent finies et continues dans le voisinage d’une valeur de x qui ne réduise pas la fonction f[x) à zéro. Faisons d’ailleurs

f{x) = R (cos T + |/rr sin T) ;

et soit

/w(*) = /?„ (cos + ^/“sin Tn) , le premier terme de la suite

/'(®)* /"(*)» f"'{x) > etc...,

qui ne s'évanouisse pas pour la valeur donnée de x. Enfin concevons que, p désignant une quantité positive très-petite, on attribue à x un accroissement tsx déterminé par la formule (91) ou par la formule (g2) , suivant que l'on aura n = 1 , ou n> 1. La valeur correspondante de A R sera négative , c’est- à dire que, le module de

/(cc+Aaj)

deviendra, pour de très-petites valeurs de la quantité p , inférieur au module de

Au reste, pour que le module de f(x-\-\x) devienne inférieur au module de f[x), il n’est pas nécessaire de supposer la valeur de Ax déterminée par la formule (91) ou (92), et il suffit d’assigner à l’angle u, dans la formule (63), une valeur propre h rendre négatif le dernier facteur de l’expression (y3) ou (80) , savoir,

cos(u-f 7\ — T) ou cos (nu -\-Tn—T).

Or c’est une condition qu’il est toujours facile de remplir, attendu que ce facteur change

de signe , tandis que l’angle v reçoit un accroissement égal à ^ ou à — .

En terminant cette Leçon , nous ferons observer que , dans beaucoup de cas , les relations établies par les formules (6) , (26) , (36) entre les fonctions désignées par les lettres f, / et les fonctions réelles ?(r) , x(r) » * (p) , x(p) continuent de subsister quand on remplace \/~ par — \/ZT . C’est en effet ce qui aura généralement lieu si la fonction f(æ) ou f{x) se présente sous forme réelle, c’est-à dire, si elle ne renferme pas dans son expression le signe y/~ . Ainsi, par exemple, si l’on prend pour f[x) l’une des fonctions simples représentées par les notations

a-\-x, a — x , ax , , x" , Ax , h[x) ,

sin# , cosx , arcsinx , arccosæ ,

i6a • CALCUL DIFFÉRENTIEL.

ou l’une des fonctions composées que l’on peut exprimer en combinant ces mêmes notations , l’équation (26), dans laquelle r désigne le module de x , s un arc réel , et <?(r) , x{r) deux fonctions réelles de r, entraînera généralement la suivante

(94) /[r(cos«— • i/TTsin«)] = ?(»•) — \/~x{r)

On aura donc alors

f \T (cos t+ |/“i si n 0]+/[r (cos t- ,

<f [r) = - - - , et

, v f [r (cos t + \/~i sin ^ )] - yfr (cos t - \/~i sin f )]

QUATORZIÈME LEÇON

Sur la résolution des équations algébriques et transcendantes. Décomposition des fondions entières en facteurs réels du premier ou du second degré.

A l’aide des principes établis dans la treizième Leçon , on peut aisément démontrer la proposition suivante.

Théorème. Soit /( x) une fonction de x, qui reste finie, et continue, ainsi que scs dérivées des divers ordres , pour toutes les valeurs finies réelles ou imaginaires de x , et qui devienne toujours infiniment grande , lorsque le module de la variable x devient infini. Supposons d'ailleurs que les dérivées de f[x ) ne puissent s'évanouir toutes à la fois. Il existera une ou plusieurs valeurs de x , réelles ou imaginaires , et propres à vérifier l'équation

Démonstration. Soient r etü les modules de la variable x et de la fonction f(x) , en sorte qu’on ait généralement

^ x — r (cost -+• v/-> 8,n0

^3) f(x) = f\r (cost v/" sin<)3 = R (cos T + {/~ sin T) ,

t, T désignant deux arcs réels. Comme , en vertu de l’hypothèse admise, la fonction f(x) devra rester finie pour toutes les valeurs finies du module r , et devenir toujours infiniment grande pour r = oo; il est clair que le module B remplira les mêmes conditions. Il est aisé d’en conclure que, parmi les valeurs de B , il en existera une plus petite que toutes les autres , et correspondante h une ou plusieurs valeurs finies de x. J’ajoute que cette plus petite valeur de B sera précisément égale à zéro; et

en effet .toutes les fois qu’une valeur finie de x produira pour la fonction /(x) un

module différent de zéro , on pourra , en vertu du théorème 5 de la Leçon précédente,

attribuer <i x un accroissement infiniment petit ix , tel que le module de /(x + éx)

i64 CALCUL DIFFÉRENTIEL.

devienne inférieur à celui de f{x). Donc alors le module de f(x) n’aura pas la plus petile valeur possible. Par conséquent, lorsque les conditions énoncées dans le théorème i.er seront remplies , la plus petite valeur de R sera nulle, et les valeurs finies de x qui correspondront à une valeur nulle de R vérifieront l’équation (1).

Le théorème i.er s’applique immédiatement aux fonctions entières delà variable x. En effet, soit f{x) une fonction entière du degré n , c’est-à-dire de la forme

(4) f{x) = ao&" -4~ alxn~" -f- ayxn~"1 4* ... -|- an,£C -4“ an ,

n désignant un nombre entier, et a0 , a, , aa , .... a„, , an des constantes réelles ou imaginaires dont la première ne pourra être nulle. Cette fonction f{x) restera finie et continue, ainsique ses dérivées des divers ordres, pour toutes les valeurs finies réelles ou imaginaires de x ; et sa dérivée de l’ordre n , savoir,

sera constante, mais différente de zéro. De plus, si l’on représente par p0 , p, , ... p„ es modules des coefficients a0 , a, , ... an , et si l’on pose en conséquence

(6) 0o=po(cosTo4-l/r,sinTo) , a, =0,(0087, l/risinr,) , ... fl„ = p„(cosT„ -{- l/“i sin-r„) , on conclura de l’équation (4) , combinée avec les formules (2) , (3) , (6) ,

(7) jR(cosT-4- l/'-'isin T) = p0r" [cos (n* + r0) + y/Tx sin(n* t0)]

-f-p,*-"-* |cos[(n — 0* + T«] 4" l /“isin[(n — -f.p„[cosT„-f- \/~\ sinr„] ,

ou, ce qui revient au même,

RcosT = p0rr,cos(nt -f- t0) + pirB-‘cos[(n — i)t -f- ... p„ cost„ ,

TîsinT = p0rBsin(af -f-r0) +Pir',”aS'u[(« — 0* 4" Ti] + 4-pnsinT„ .

On trouvera par suite

(9) R* = | p0rBcos (nt -j- r0) 4-p,rn-* cos [(n — i)f 4"Ti] 4" ••• -f-pnCOSr„}a

+ {pornsin(nf -f- rQ) -f- p,rB“Isin[(n — i)t 4- t,] 4- ... 4" p/.sinrn}a.

ou plus simplement

QUATORZIÈME LEÇON

(10) jr r"|rov| 3P»P-cos^+T»-T0 1 P»a + ap0paCQS (af + 70 - ra) ^ \ .

Or, si l’on attribue au module r de la variable x des valeurs infiniment grandes , le premier des deux facteurs , que renferme la valeur précédente de R* , croîtra indéfiniment, tandis que le second s’approchera d’une limite finie et différente de zéro, savoir, de la quantité p0a. Donc la valeur de R 3 et sa racine carrée ou le module R de la fonction f[x) deviendront infinis ainsi que la fonction elle -même. Donc, en vertu du théorème i.er, il existera une ou plusieurs valeurs réelles ou imaginaires de x propres à vérifier l’équation

(11) aaxn +aI£cn”1 + aa£c"“* -f* ... + an^tx an = o .

On doit seulement excepter le cas où l’on aurait

et dans lequel toutes les dérivées de f{&) deviendraient nullcs.

Soit maintenant xa l’une des valeurs réelles ou imaginaires de x propres à vérifier l’équation (n). La fonction entière f{x) sera divisible par le facteur linéaire x — xa; et si l’on effectue la division , l’on obtiendra pour quotient une autre fonction entière qui sera elle-même divisible par un nouveau facteur. En continuant de la sorte , on finira par décomposer la fonction f{x) du degré n en autant de facteurs du premier degré qu’il y a d’unités dans le nombre n. D’ailleurs, le produit de ces facteurs ne deviendra jamais nul sans que l’un d’eux s’évanouisse; et, comme en égalant chaque facteur à zéro , on déterminera une racine réelle ou imaginaire de l’équation

(II) , on pourra évidemment énoncer la proposition suivante.

2.® Théorème. Quelles que soient les valeurs réelles ou les valeurs imaginaires des constantes a0 , at , ... a„, , an , l'équation

(IJ) aaxn -f- a,xn~~x -{- ... -f- a„, x -j- a„ = o

« toujours n racines réelles ou imaginaires , et n'en saurait avoir un plus *rand nombre.

Lorsque la fonction ffa) cesse d’être entière, on peut encore, dans un grand nombre de cas, constater la possibilité de résoudre l’équation (1) en s’appuyant sur l’un des théorèmes que nous allons faire connaître.

3® Théorème. Soit f{x) une fonction de x qui reste finie et continue, ainsi

l66 CALCUL DIFFÉRENTIEL.

que ses dérivées des divers ordres, pour toutes Les valeurs finies réelles ou imaginaires de x , et supposons que les dérivées de f{x) ne puissent s'évanouir toutes à la fois. Soit de plus une fonction déterminée de l'angle t, qui demeure non-seule¬

ment continue, mais encore réelle et positive entre les limites tr= tc , t — n, et qui reprenne la même valeur à ces deux limites. Si, tandis que l angle t varie entre les limites — 7r , -J- t , le module de C expression

(12) /[(cosl •+■ v/Tsin*)Ÿ(0]

reste constamment supérieur au module de f{ o) , on pourra en conclure que l équation (1) admet une ou plusieurs racines réelles ou imaginaires et de la forme

(i5) x — o{cost 4- |/rTsin<)4*(c) ,

ô désignant un nombre inférieur à l'unité.

Démonstration. En effet , si dans la fonction

f(x) =/[r(cos« -|- v/Tsinf)] ,

on fait varier r et t par degrés insensibles entre les limites r=o, r — y(0» t — — 7r, 1=. ir , on obtiendra pour cette fonction f[x) une infinité de valeurs dont l’une offrira un module plus petit que toutes les autres. Soient r0 , t0 les valeurs de r et de t correspondantes à ce plus petit module, et xa la valeur correspondante de x. r0 devra être inférieur et non pas égal à 4 (<<>)• Car, si l’on avait

le module de l’expression

04) /(®0) =/[(cos*04- v/”sin «„)*(*«.)]

resterait, en vertu de l’hypothèse admise, supérieur au module de /(o) , c est-à-dire, au module quvon obtient pour f(x) en posant r = o quel que soit t. J’ajoute que l’expression 04) sera précisément nuHe>* et en effet» s* contraire arrivait, on pourrait, en vertu du théorème 5 de la Leçon précédente, attribuer à la valeur

( 1 5) x0 ~ ra (cos t0 -4- sin t0)

de la variable x , un accroissement infiniment petit t tel que le module de devînt inférieur à celui de /(x0). D’ailleurs, r0 étant inférieur h ’Kfo)» et l’accroissement t étant très-peu différent de zéro , la valeur J(x0-\-i) de f{x)

QUATORZIÈME LEÇON. 167

serait encore l’une de celles qu’on obtient lorsqu’on fait varier r et t entre les limites t* = o, r — t = — t-*- Donc, parmi ces dernières valeurs f{x „) ne

serait pas celle qui offrirait le plus petit module. Donc, toutes les fois que les conditions énoncées dans le théorème 3 pourront être remplies, l’expression (i4) s’évanouira' ainsi que son module, et la valeur de x ci-dessus désignée par x0 vérifiera l’équation (1). Or cette valeur de x sera du nombre de celles que représente la formule (i3) , puisque le module r0 sera compris entre les limites 0 et ^ (*<>)•

Scholie. Pour que le théorème 3 subsiste , il n’est pas nécessaire que la fonction désignée par $(«) conserve la même forme pour toutes les valeurs de t. Celte remarque fournit le moyen de surmonter les difficultés que pourrait offrir l’application du théorème à des cas particuliers. Supposons , pour fixer les idées ,

On trouvera , dans celle hypothèse ,

(17) /(o)=yj

(18) R [cos 7*4- v/T3in7’)=erc"‘+rMn‘V'-, — (rcos«-hrsintv/”);

RcosT = erco,/cos(rsin<) — rcost ,

RsinT = erc0,*sin (rsint) — rsint;

(20) i?* = e*rc#“ — 2rerco,tcos(rsint — t) 4 • r* ,

(ai) R' > ear-* —

puis on en conclura , i.° en supposant r> 2 et cos* négatif (22) R > r — ere0,t > r — 1 > 1 ,