entre les limites t = — {r — v) , t
AT
sin(-f) ’
5.* entre les limites ( = — n , t — — (* — v), ou bien entre les limites t=ir — v,
QUATORZIÈME LEÇON
n ÏT + — + 7T-U
sin(7r-u)
et si de plus on choisit le nombre n de telle sorte que la plus petite des valeurs de |(«) fournies par les équations (27) , (5o) , savoir,
vérifie la condition (3»)
sinv
D’ailleurs, quoique la fonction 'HO déterminée par le système des équations (27) , (28) , (29) , (3o) , change de forme avec la valeur de t , elle reste non-seulement finie et positive , mais encore continue entre ces limites , c’est-à-dire qu’elle varie par degrés insensibles, tandis que l’on fait croître ou décroître l’angle t. Ajoutons qu elle reprend la môme valeur pour t — — et pour t = * , et que les dérivées de
&x x , savoir ex 1 , ex ne sauraient s’évanouir en môme temps. Donc, en vertu
du 3.® théorème, l’équation
ex — a> —
admet des racines réelles ou imaginaires, parmi lesquelles il en existe au moins une dont le module ne surpasse pas la plus grande des valeurs de 'HO fournies par les équations (27), (28), (29), (3o).
-Si l’on prend N = 2 , l’équation (a4) donnera
u = arccos arccos (0,549306...) =0,98926... ,
et la condition (5i) sera vérifiée, môme lorsqu’on supposera »i = o. Alors la plus grande des valeurs de *(0 déterminées par les formules (27) , (28) , (29) , (3o) sera
Donc parmi les racines de l’équation (1) , il en existe au moins une qui offre un module inférieur au nombre 4*4^5 .
Ce qu’on vient de dire indique suffisamment le parti qu’on peut tirer du théorème 3 pour s’assurer qu’une équation transcendante admet des racines réelles ou imaginaires , et pour découvrir une limite supérieure au plus petit de leurs modules. Parmi les équations , pour lesquelles l’existence d’une ou de plusieurs racines peut être ainsi constatée, nous citerons encore les suivantes :
(33) ex — x\/~, e~x-\-x* = o, sinx = 2 , etc .
et
(34) e~x = x, e~x — x*, tx — e”x = sinx, etc....
II serait d’ailleurs facile de reconnaître que les équations (32) et (33) admettent seulement des racines imaginaires.
Au reste , par des raisonnements semblables à ceux que nous avons employés pour établir le théorème 3 , ou peut encore démontrer la proposition suivante.
