Ïhéobême. Soient

(2) x — r (cost + sint)

une variable imaginaire , r le module de cetle variable , et ç(0 , ^(t) deux fonctions de t qui restent non-seulement continues , mais encore réelles et positives , pour toutes les valeurs de t comprises entre les limites t = t, , t = t2. Soit de plus

(3) /(*)=/I> (cos t 4- v/Tsint)]

une fonction de x qui reste finie et continue, ainsi que ses dérivées des divers ordres, entre les limites

et supposons que jamais les dérivées de f(x) ne s'évanouissent toutes à la fois. Si Con peut choisir l’angle t entre les limites t, , t2 , et le module x, entre les limites <p(T) , 'K7) » de telle sorte que l'expression (3) conserve toujours un module supérieur à celui de

(56) /Kcost -f sinr)] ,

tandis que l'on fait varier r entre les limites <p(0 , 'HO» 6n attribuant à t l'une des valeurs t, , t, , ou t entre les limites tl , t2 , en attribuant à r l'une des valeurs <p [t ) , ^ ($) y l'équation ( 1 ) admettra%me ou plusieurs racines réelles ou imaginaires , correspondantes à des valeurs de r eide t comprises entre les limites (35).

QUATORZIÈME LEÇON. *7

Scholie. Si , dans le théorème qui précède, on réduit les angles f, , t, aux deux

quantités tt , -b71- » ^ deviendra nécessaire de supposer que chacune des fondions

?(0. +(0 reprend la meme valeur pour « = — * et pour t = ir. Si, dans cette hypothèse , on avait ?(t) = o , on se trouverait évidemment ramené au théorème 3.

Scholie 2. Si, dans le 4.” théorème, on réduit les fonctions ?(t) , + (») à deux

quantités constantes r, , r, . on obtiendra la nouvelle proposition que je vais énoncer.