Théorème. Soit
cc = r(cos« + v/~s'nt)
une variable imaginaire, dont r désigne le module. Soit de plus /(*) une fonction de x qui reste finie et continue, ainsi que ses dérivées des divers ordres, entre les limites
et supposons que jamais les dérivées de f{x) ne s évanouissent toutes à la fois. Si Von peut choisir le module t- entre les limites r, , r, , et l'angle ? entre les limites f, , t,, de telle sorte que la fonction
(5^- f{x) = [r (cos« + v/Tsint)]
conserve toujours un module supérieur à celui de l'expression (56), tandis que Von fait varier r entre les limites r,, r, , en attribuant à t l'une des valeurs l, ,
t7 , ou t entre les limites tt , <a , en attribuant à r l'une des valeurs r, ,
r7; l'équation (1) admettra une ou plusieurs racines réelles ou imaginaires, correspondantes à des valeurs de t comprises entre les limites (37).
On pourrait encore au théorème 5 joindre la proposition suivante qui se démontre aussi facilement et de la môme manière que les théorèmes 3 et 4.
6.e TnûonÊME. Soient x une variable imaginaire, et p,q deux variables réelles liées à la première par l'équation
Soit de plus
une fonction de x qui reste finie et continue, ainsi que ses dérivées des divers ordres , entre les limites
et supposons que jamais les dérivées de f(x) ne s' évanouissent toutes a la fois. Si
l'on peut choisir la quantité X entre les limites pt , />, , et la quantité p entre les limites qx , <7, , de telle sorte que la fonction (59) conserve toujours un module supérieur à celui de l'expression
MO /(»+i* V~).
tandis que l'on fait varier p entre les limites px , p 3 en attribuant à q l'une des valeurs qx,q2, ou q entre les limites qt,q2. en attribuant à p l'une des valeurs px , p2 ; l équation (1) admettra une ou plusieurs racines imaginaires correspondantes à des valeurs de p et de q comprises entre le-s limites (4o). »
Lorsque 1 équation (1) admet des racines réelles ou imaginaires dont les modules sont très-considérables, les théorèmes 4 et 5 peuvent servir à constater l’existence de ces racines , et à en fournir des valeurs approchées. Pour donner la preuve de cette assertion , posons de nouveau
Alors à chaque racine de l’équation (1) correspondront des valeurs de r et de t propres à faire évanouir le module II déterminé par la formule (20) , ou, ce qui revient au même, par la suivante
(4a) R * =. [e, c,“ — rcos(rsin£ — «)]a 4. [rsin(rsini — «)]*.
De plus , la somme de deux carrés ne pouvant être nulle qu’autant que chacun d’eux se réduit séparément à zéro, l’équation R = o entraînera les deux formules
(43) rsin(rsin* — t) =0 , ertolt = rcos (rsin/ — t) ,
que l’on pourra réduire à
(44) rsine — « r= ± 2 7177 , 6r«o.t __ r ,
en désignant par n un nombre entier , et en observant que pour satisfaire à la seconde des formules (43) , il est nécessaire de supposer le module r différent de zéro , et la quantité cos(rsin* — t) positive.
Concevons maintenant que l’on attribue au nombre entier n et par suite au module r une très-grande valeur. Comme l’expression réelle
QUATORZIÈME LEÇON. i73
qui admet un seul maximum correspondant à r = e, décroît indéfiniment à partir de ce maximum , pour des vateurs croissantes de r ; cette expression , ou la valeur de cost tirée de la seconde des formules (44)» deviendra sensiblement nulle. Donc
l’angle t, compris entre les limites mules (44) donneront à très-peu près
— ■ 7r , -f- TT , différera peu de 1 ^an7r+-^-
cost == -
tr
ztz , etlesfor-
Nous sommes donc conduits à penser que, si l’équation (î) admet des racines dont les modules soient très* considérables , ces racines correspondront à des valeurs de r et de t peu différentes de celles que fournissent les équations (45). Or on constatera sans peine l’existence des racines dont il s’agit h l’aide du théorème 5, en opérant comme il suit.
Supposons, pour fixer les idées, l’angle t positif. Alors, si l’on désigne par t et par t les valeurs de r et de t que fournissent les équations (45) , on aura
(46) t, = 2 717T 4“ On trouvera par suite
t = arccos
t-COSr
et l’on tirera de l’équation (20) , en prenant r = v , t = r ,
» (48) /?’ = va[a — 2cos(vsinr — t)] = 4t,»sin> [— sinT~T ] ,
ou, ce qui revient au même,
D’ailleurs, pour de très-grandes valeurs du nombre entier n , cost acquerra une valeur numérique très -petite, ainsi que la différence — — r , et l’on pourra en dire autant non-seulement du produit
['H+tIT
vcos*r =
mais encore des deux expressions
tSUlT — r — 2 nrc = - -
. / vsinT-r
(5s) sm - —
IÎDT-T \ , . i 1 / 7T t,COS*T
-T-)=±,,n — TTIiïïT
Donc la valeur de — , tirée de l’équation (49) , sera sensiblement nulle. Faisons
(53) /=t4 -u, cos< = (i — 'u)cosr.
Soient de plus r, , ra , , ea les valeurs que prennent les variables r et t quand
on pose successivement
en sorte qu'on ait
u = ît, v = — 1, v — 1 ;
COSt, = 2COSr, cosf, =0,
ou, ce qui revient au même.
Le module * sera évidemment compris entre les modules r, , ra , et l’angle t entre les limites t, , t, . Or, si l’on renferme la valeur de u entre les limites — tt , 4-tt , on tirera de la formule (21) , i.# en supposant t = t, ,
« (ir>|H+cM.+f)ï.
