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D’autre part, la valeur de d*u , fournie par l’équation (17), pourra être présentée soîis la forme

(20) rfau=2^| (dx + ^-dyj 4- {AC — B*)(^-dy^

à moins que la constante A ne s’évanouisse. Cela posé , il est clair que la fonction (i5) admettra un maximum ou un minimum , Tsi la condition

(21) AC — B* > o

est remplie, savoir, un minimum , dans le cas où l’on aura

(22) A> o, AC — B* > o ,

et un maximum dans le cas où l’on aura

(25) A< o, AC — B2 > o.

En effet les équations (19) fourniront, dans l’un et l’autre cas, des valeurs finies et déterminées de x , y ; et de plus l’expression (20) restera positive dans le premier cas , négative dans le second , quelles que soient les valeurs attribuées aux différentielles dx , dy . Ajoutons que la condition (21) ne peut subsister qu’aulant que la constante A diffère de zéro.

Concevons maintenant que les constantes A, B, C vérifient la condition (,4) AC — B' <o,

qui se réduit, quand A s’évanouit , à »

Les équations (19) fourniront encore des valeurs finies et déterminées de x , y. Mais l’expression (17) ou (20) changera de signe, tandis qu’on changera les valeurs des différentielles dx , dy. lin effet, si l’on a

(26) Az= °> ^*>0,

l’expression (17), réduite au produit

(27) 2(2 Bdx + Cdy)dyt

changera de signe avec dx , lorsque dy differera tris-peu de zéro; et , si l'on a

(28) A-> o, AC-B-<o.

l’expression (20) acquerra deux valeurs de signes contraire» quand on prendra snccossi-

dx-+- — dy = o ,

dy * > 0 ,

(dx + ^dyy> o, dy — o.

Il suit de ces remarques que, si la condition (24) est satisfaite, la fonction (i5) n’admettra plus ni maximum , ni minimum.

Concevons enfin que les constantes A, D . C vérifient la condition

Si l’on n’a pas en même temps