AC, AE
CD
VINGTIÈME LEÇON, s’évanouiront , et par suite on aura nécessairement ou
ou
ou bien
ii — 2 Dx 2 Ey F ,
A = o, B = o, D = o, u = Cy* +'a Ey + F ,
u= Ax * + 2 Dx-\-F .
Or il est clair que la fonction u , déterminée par l’équation (4a) . n'admet ni maximum , ni minimum ; tandis que les fonctions (44) et (46) admettent , la première . une
infinité de maxime ou de minimu égaux !> et correspondants k une valeur
finie de y , mois à des valeurs quelconques de x , la seconde une infinité de maxima ou do minime égaux à — ~A~ <=‘ correspondants k une valeur finie de x , mais k des valeurs quelconques de y.
Pour montrer une seconde application des formules précédemment obtenues, prenons
(47) u = {cy — bz 4- /)* + (<** — ex + ™)' + {bx — ay + n)\
a , b , c , l , m , n désignant des constantes dont les trois premières diffèrent de zéro. Les équations (10) donneront seulement
cy-bz+l az-cx + m bx-ay + n
D’ailleurs à chacun des systèmes de valeurs de x , y , » qui vérifieront les équations
(48) , correspondront des valeurs positives de d'u , égales à celles que détermine la
formule
Donc les valeurs correspondantes de u , port
d*u = ( cdy — bd* y 4- {ad* — cdxy 4- {bdx — ady)*.
qui seront toutes égales entre elles et au rap-
. ( al+bm+cn )■
pourront être considérées comme représentant chacune un minimum de la fonction proposée.
Nous terminerons cette Leçon, en établissant une proposition digne de remarque, et dont voici l’énoncé.
2,® Théorème. Soit f{z ) une fonction de z qui se présente sous forme réelle , de telle sorte que, x , y , Il , T désignant des quantités réelles, C équation
(51) f[x = R{cosT + l/-** sinT)
entraîne toujours la suivante
(52) /(* — y\f“) = R(co*T — \Z^smT).
Si la fonction f{z) et ses dérivées des divers ordres restent finies et continues , pour des valeurs finies quelconques réelles ou imaginaires de z , si d'ailleurs ces dérivées, savoir ,
(53) /'(*). /'(*)• /*W. clc- •
ne peuvent s'évanouir toutes à ta fois, U module R n admettra point de valeur minimum qui ne se réduise à zéro.
Démonstration. Les valeurs minima du module R , s’il en existe , seront évidemment les racines carrées minima du produit
(54) s = f{x-\-y\/^)f{x—y\/Tx) = R'.
Cela posé, concevons que le module R admette un minimum correspondant à une certaine valeur réelle ou imaginaire de
et soit, pour cette même valeur, /c">(2) la première des dérivées de f[z) qui ne s’évanouira pas. Comme on aura nécessairement
(56) f(x+y\/r.)=t>, /'(*+jV") = o, etc*., /<’—>(x+jrlr;) = o,
et par suite
(57) '/'(■-n^)=#' /'(*-:>V") = °. etc..., f«-’>(x-y\/-) = o,
si , dans la formula (»o) de la dix-huitième Leçon, on remplace F par /, cette formule donnera , pour la valeur de a en question ,
(58) ds = o, d‘s = o, d3» = 0, etc..., d s o,
(Sp) «.=/<»(?+, v
puis , en représentant par r , P , les modules des expressions imaginaires
x+y\/^ , dx + dyy/~, /c">(x + y\/-' ) * et posant en conséquence
(Go) x +y\/~ = r(cost •+• (/~sin() , dx + dyj/~ = p(cosv + pCTsinv) ,
(G!) +jv/“) = -ffI.(cos7,„4- ✓n-nr.) *
on tirera de l’équation (Sq)
(G2) dn s =z *IÎ lincos{Tn — 7’ +
Or, si la valeur minimum de /f n’était pas nulle, l’expression (6a) serait évidemment la première des différentielles ds , d*s, d* s , etc. , qui ne s’évanouirait pas , et cette expressiou devrait rester toujours négative, quelles que fussent les valeurs attribuées aux différentielles dx , dy , et par conséquent h l’angle t. Mais il arrive , au contraire , que , dans le cas où Ii diffère de zéro , ainsi que Rn , le second membre de la for-
mule (62) change de signe, tandis que l’on remplace t par t -j ~ » m an
un nombre entier quelconque. Donc chaque valeur minimum de s ou de R ne saurai différer de zéro.
Nota. Lorsque le module R de la fonction (G5) f(t) = R{co»T + [/-ûttT)
devient infini pour des valeurs infiniment grandes du module r de (m peui affirmer que R admet une valeur minimum ou des valeurs mmtma correspondantes 5 des valeurs finies de r, et il résulte du *.• théorème que l’équation
admet une on plusieurs racines réelles ou imaginaires. On se trouve ainsi ramené au i.er théorème de la quatorzième Leçon.
VINGT-UNIÈME LEÇON
Des conditions gui doivent être remplies pour gu une différentielle totale ne change pas de signe, tandis gue l'on change les. valeurs attribuées aux différentielles des variables indépendantes.
D après ce qu on a vu dans la Leçon précédente , si l’on désigne par u une foncv
tion des variables indépendantes x, y, » , . et si l’on fait abstraction des valeurs
de ces variables qui rendent discontinue l’une des fonctions u , du , d3u , etc... , la fonction u ne pourra devenir un maximum ou un minimum que dans le cas où l’une
des différentielles totales d3u , d^u , dGu , . , savoir, la première de ceUes qui ne
seront pas constamment nulfes, conservera le même signe pour toutes les valeurs possibles des quantités arbitraires dx , dy , dz , ... , ou du moins pour les valeurs de ces quantités qui ne la réduiront pas à zéro. Ajoutons que ,* si quelques systèmes de valeurs de dx , dy , dz , ... sont propres à faire évanouir la différentielle totale dont il s agit, chacun de ces systèmes devra changer une autre différentielle totale d’ordre pair en une quantité affectée du signe que conserve la première différentielle, tant qu’elle ne
s’évanouit pas. D’ailleurs les différentielles d'u, d^u , d6u . . . se réduisent, pour des valeurs données de x , y , z , , h des fonctiuns entières et nomogènes des quantités arbitraires dx , dy , dz,... De plus , si l’on appelle r, s, «... les rapports de
la première, de la seconde, de la troisième de ces quantités . à la dernière d’entre
elles, la différentielle
(i) d*mu =
dx3'
- dx3m+~
dy31
- dy3m+ - dz31
dx 31
~'dy
dx3nx-'dy\...
sera évidemment affectée du même signe que la fonction entière de r , s , « . à la¬
quelle on parvient en divisant d3mu par la puissance 2 m de la dernière des quantités dx , dy , dz , ... , c’est-à-dire, du même signe que le polynôme
dx31
dy*‘
dz *'
d3m~ldy
En substituant un polynôme de cette espèce à chaque différentielle d’ordre pair, on re*
VIN GT-U N IÈ ME LEÇON. *4
connaîtra que la recherche des maxima et minima exige la solution des questions suivantes.
, « problême. Trouver les conditions qui doivent être remplies , pour qu'une fonction entière des quantités r , s , l ... ne change pas de signe , tandis que ces quantités varient.
Solution. Soit F(r,M...) la fonction donnée, et supposons d’abord les quantités r, s, t... réduites à une seule r. Pour que la fonction F{r) no change jamais de signe , il sera nécessaire et il suffira que 1 équation
n’ait pas de racines réelles simples, ni de racines réelles égales en nombre impair. En effet, si, r0 désignant une racine réelle de l’équation (3) , m un nombre entier, et H un polynôme non divisible par r — r0 , on avait
F^^ir-r^R , ou F(r) = (r — r.y+'R ,
il est clair que , pour deux valeurs de r très-peu différentes de r0 , mais 1 une plus grande, et l’autre plus petite, la fonction F(r) obtiendrait deux valeurs de signes contraires. De plus , comme une fonction continue de r ne saurait changer de signe , tandis que r varie entre deux limites données, sans devenir nulle dans 1 intervalle, il est permis d’affirmer que, si l’équation (3) n’a pas de racines réelles, son premier membre conservera toujours le même signe , sans jamais s’évanouir , et qu’il s’évanouira quelquefois sans jamais changer de signe, s’il est le produit de plusieurs facteurs de la forme (r — roym par un polynôme qui ne puisse se réduire à zéro, pour aucune valeur réelle de r.
Revenons maintenant au cas où les quantités r, s, t... sont en nombre quelconque. Alors , pour que la fonction F{r,s,t, ...) ne puisse changer de signe , il sera nécessaire et il suffira que l'équation
résolue par rapport à r , ne fournisse jamais de racines réelles simples , ni de racines réelles égales en nombre impair, quelles que soient d’ailleurs s , t....
Corollaire i." La fonction F{r) ou F{r,s,tf...) conserve constamment le même signe, lorsque l’équation (3) ou (4) n’a pas de racines réelles. D’ailleurs, les conditions qui expriment qu’une équation algébrique n’a point de racines réelles, peuvent être aisément déduites de la méthode que j’ai développée dans le dix-septième cahier du Journal de l'École Polytechnique , page 4^7*
24/i CALCUL DIFFÉRENTIEL
Corollaire 2.* Soit a = f(x,y). La différentielle totale
d'u = - f/x2 -f— — dy' 4- 2 ..—dandy
dx ' dy 2 ^
“ 1 dy' J ' dxdy
conservera constamment le même signe , si l’équation
- r' 4- 2 , , r - rr~ ~ °
dx 2 dxdy dy 2
n’a pas de racines réelles, c’est-à-dire, si l’on a
/ d'u y ^ dx 2 rfy* \ dxdy J
La même différentielle pourrait s’évanouir sans jamais changer de signe , si le premier membre de la formule (7) se réduisait à zéro; et admettrait des valeurs de signes opposés , si ce premier membre devenait négatif.
Corollaire 3.* Soit u = f{x,y, s) . La différentielle totale
conservera constamment le même signe , si l’équation *
/ d'u rf*q \ . d*u
résolue , par rapport à r , n’a jamais de racines réelles , c’est-à-dire , si l’on a , quelle que soit s ,
l d'u vis-
j dx* dy 2
V=iF7 |
+ J dx'
~dydz dxdy dxdz
j dx'
3 dernière condition sera
elle-même
satisfaite, quand
on aura
et
dx 2
dy' \
dxdy ) ^
[ \~dx* dy*
\dxdy J j
| dx' dz%
\ dxdz J j (
dx' dydi
VIN GT-UNIÈME LEÇON
Scliolie Soit u = une fonction de n variables indépendantes x,
y , z , y et posons
d'u . . d»tt . d'u , l. 2 -£-0- rs -J- 2 -j“T~ r* “i" 2 77" 4” • • • J
+ «F* ^ -r dxdz djdz
en sorte qu’on ait
('5) nr.s)=^'' + *^rS + ^*' + *(^r + ~*)+^'
Soit de plus D„ le polynôme qui a pour premier terme le produit d'u d'u d'u
( 1 4) dx r dy^ dz '
et qui représente le dénominateur commun des valeurs de dx , dy , dz , .... tirées des n équations
£?-dx+ — dr+-^d: + ..
dx' ^ dxdy J dxdz
!ïlydX+— y+T* ldZ+-
J^dx + J^dy + ^d, + ..
| dxdz ‘ dydz J dz
en sorte qu’on ait
1 rf*u </aa
\ dxdy j
d'U fi
DtZ=Zdâ* ’dÿ7 dz'
dx' \i
etc.
Pour que le signe de la différentielle totale d'u ou de la fonction F(r,s, <...) reste indépendant des valeurs attribuées à dx , Ay , dz , ... il suffira que les rapports
/ \ D, Di D\ Dn
~dF * ~dT* Di4 * Dtn
soient tous positifs, c’est-à-dire, que, parmi les expressions
celles qui correspondent à des indices pairs, soient positives, les autres étant affectées du même signe que Z), . C’est ce que l’on démontrera sans peine à l’aide des considérations suivantes.
Supposons d’abord que les variables x, y, z , .... se réduisent à deux x et y. Alors', si la quantité
ne s’évanouit pas, il suffira d’attribuer à la variable r de très-grandes valeurs numériques, pour que cette quantité D , et la fonction
(.o) F(r)=^r-+,^, + JpL=,.(j^ + A^L , L.£M
dx' dxdy ^ dy' \ dx' ^ r dxdy ^ r ' dy ' )
soient affectées du même signe, ou, en d’autres termes, pour que le rapport
soit positif. Ajoutons que ce rapport, qui varie avec r par degrés insensibles, croîtra indéfiniment avec ra. Donc il admettra une valeur minimum correspondante à une valeur finie de r, et sera toujours positif si cette valeur minimum est positive. Or la valeur minimum dont il est ici question sera nécessairement déterminée par la formule
<mr)
dr
de laquelle on tirera , en la combinant avec l’équation (20) ,
VINGT-UNIÈME LEÇON
et par conséquent
d'u . dTu
dx2 dxdy
dxdy ^
Dt DS
Donc le rapport (21) restera positif, quel que soit r , et la fonction F(r) sera constamment affectée du même signe que Dt, si la première des fractions (17) est positive , ou , ce qui revient au même , si l’on a
Cette dernière condition coïncide avec la formule (7).
Considérons en second lieu le cas où la fonction u renferme trois variables indépendantes a? , y , 2. Alors , si l’on suppose Dt différent de zéro , et D a positif, la fonction F(r) , d’après ce qu’on vient de dire , restera toujours affectée du même signe que Dlt et l’on pourra en dire autant de la fonction
|,fIt )=n^r +ii^7ra+
dj'
Cela posé , il suffira évidemment d’attribuer aux deux quantités r , s r ou seulement ii l’une des deux , des valeurs numériques très-considérables , pour que la quantité Dx et la fonction
soient affectées du même signe, ou, en d’autres termes, pour que le rapport
Ül
soit positif. Ajoutons que ce rapport, qui varie avec r et s par degrés insensibles, croîtra indéfiniment avec r* et avec 5*. Donc il admettra une valeur minimum correspondante à des valeurs finies de r et de s , et sera toujours positif si celte valeur minimum est positive. Or la valeur minimum dont il est ici question sera nécessairement déterminée par les formules
dF{r,s) dF(r,s) ^
dr ds *
desquelles on tirera, en les combinant avec l’équation (28) ,
dx2 dxdy dxdi ’
(Si)
dxdy dy 2 dydi *
et par conséquent
TïTz r +~dïdr8 + ’
Donc le rapport (29) restera positif, quelles que soient les valeurs de r, s, et la fonction F{r, s) sera constamment affectée du même signe que Z), , si les deux premières des fractions (17), savoir.
Di D<
Ds ’ D,3 ’
sont positives, ou, ce qui revient au même, si l’on a
(34) D2> o, D,Dz>o.
11 est d ailleurs facile de s’assurer que les conditions (34) coïncident avec les formules (11).
VINGT-UNIÉME LEÇON. 249
En étendant les mêmes raisonnements et les mêmes calculs au cas où la fonction « renfermerait quatre, cinq, six, .... variables indépendantes, on prouvera généralement i.° que les maxima ou minima des fonctions
sont égaux aux différents termes de la suite
D , Di Dn
(36) ~d7' 1)7 ’ D 3 ' . Dn-r '
2.0 que, si ces différents termes sont des quantités affectées du même signe que /), , on pourra en dire autant de chacune des expressions (35). D’ailleurs , pour que Dt et le» expressions (36) soient des quantités de même signe , il suffit évidemment que les rapports (17) soient tous positifs.
s.e Problème. Étant données deux fonctions entières des variables r , s , t . ,
trouver les conditions qui doivent être remplies , pour que la seconde fonction conserve un signe déterminé , toutes les fois que la première s'évanouit.
Solution. Soit F[r, s,t,..) la première fonction , et H == g{r, s,t, ..) la seconde. On éliminera r entre le» deux équations F(r, s, t, ..) = o , et R = ${r,s, t, ..) . L’équation résultante , étant résolue par rapport à R , devra fournir pour cette quantité une valeur affectée du signe convenu , toutes les fois que l’on attribuera aux variables s , t... des valeurs réelles auxquelles correspondra une valeur réelle de la variable r.
VINGT-DEUXIÈME LEÇON
Usage des facteurs indéterminés dans la recherche des maxima et minima.
Soit
une fonction de n variables as, y , z , . Mais concevons que ces variables , au
lieu d’être indépendantes les unes des autres, comme on l’a supposé dans la vingtième Leçon , soient liées entre elles par m équations de la forme
(2) d=o, w = o, etc .
Pour déduire de la méthode que nous avons indiquée les maxima et les minima de la fonction a , il faudrait commencer par éliminer de cette fonction m variables différentes à l’aide des formules (2). Après cette élimination, les variables qui resteraient, au nombre de n — m ^ devraient être considérées comme indépendantes ; et il faudrait chercher les systèmes de valeurs de ces variables qui rendraient la fonction u ou la fonction du discontinue , ou bien encore ceux qui vérifieraient , quelles que fussent les différentielles de ces mêmes variables , l’équation
(3) du — o.
Or, la recherche des maxima et minima qui correspondent à l’équation (3) peut être simplifiée par les considérations suivantes.
Si Ton différencie la fonction u , en y conservant toutes les variables données x , y , z , ... , l’équation (5) se présentera sous la forme
et renfermera les n différentielles dx , dy,dz,... Mais il importe d’observer que , parmi ces différentielles, les seules dont on pourra disposer arbitrairement seront celles des n — m variables regardées comme indépendantes. Les autres différentielles se
ViNGT-DEUXIÈME LEÇON. a5i
trouveront déterminées en fonction des premières et des variables elles-mêmes par les formules dv—o, div = ot... qui, lorsqu’on les développe, deviennent respectivement
. . dv . , dv . dv ,
(5) —dx+-dy + -dz +
dw , dm , .dm
etc...
Cela posé, puisque l’équation (4) doit être vérifiée, quelles que soient les différentielles des variables indépendantes , il est clair que , si l’on élimine de celte équation un nombre m de différentielles à l’aide des formules (5), les coefficients des n — m différentielles restantes devront être séparément égalés à zéro. Or, pour effectuer l’élimination , il suffit d’ajouter à l’équation (4) les formules (5) multipliées par des facteurs indéterminés , > , — p , etc . , et de choisir ces facteurs de manière h faire disparaître
dans l’équation résultante les coefficients de m différentielles successives. Comme d’ailleurs l’équation résultante sera de la forme
et qu’après y avoir fait disparaître les coefficients de m différentielles, il faudra encore égaler à zéro ceux des différentielles restantes, il est permis de conclure que les valeurs de x , p , v , ... tirées de quelques-unes des formules
du dv dw
dx dx ^ dx
du dv dw dy ~~l dy ~~V' dy
o , etc... ,
devront satisfaire à toutes les autres. Par conséquent, les valeurs de œ , y , z , .
propres à vérifier les formules (4) et (5), devront satisfaire aux équations de condition que fournit l’élimination des indéterminées X , p , v , ... entre les formules (7). Le nombre de ces équations de condition sera n — ?n. En les réunissant aux formules (2), on obtiendra en tout n équations, desquelles on déduira pour les variables données x ,
y , . . plusieurs systèmes de valeurs , parmi lesquels se trouveront nécessairement
ceux qui , sans rendre discontinue l’une des fonctions « et du, fourniront pour la première des maxima ou des minima.
Il est bon de remarquer que les équations de condition produites par l’élimination de \ , ^ t v , ... entre les formules (7) ne seraient altérées en aucune manière, si l’on échangeait dans ces formules la fonction u contre une des fonctions v , m.... Par suite, on arriverait toujours aux mêmes équations de condition, si, au lieu de chercher les maxima et minima de la fonction u , en supposant v = o , w = o, ... , on cherchait les maxima et minima de la fonction v , en supposant u = o , w=o , ... ,
calcul différentiel.
ou bien ceux.de la fonction w, en supposant u = o,v = o,.,.; etc. On pourrait même, sans altérer les équations de condition, remplacer les fonctions u , v , w , ... par les suivantes , u — a, v — b, w — c , etc., a , b, c , ... désignant des constantes arbitraires.
Dans le cas particulier où l’on veut obtenir les maxima ou les minima de la fonction u , en supposant x , y , s , ... assujetties à une seule équation
les formules (7) deviennent
du ^dv du ^dv ^
dx dx ’ dy dy *
du ^ dv dz dz
etc . .
et l’on en conclut , par l’élimination do > ,
Celte dernière formule équivaut à n — 1 équations distinctes, lesquelles, réunies à l’équation (8) détermineront les valeurs cherchées de x , y , z . .
i.w Exemple. Supposons que, a , b , c , ... r désignant des quantités constantes, et x , y , z , ... des variables assujetties à l’équation
x3 -J-/3 -j- z* -f- ... = /•* , ou x* -{-y3 + z3 -f- ... — r*=o,
on demande le maximum et le minimum de la fonction u = ax -j- by -J- cz -f- .
Dans cette hypothèse, la formule (10) se trouvant réduite à
on en conclura [voyez V Analyse algébrique, note II]
aa>+by+cz+... y/(qa + 6a + ca + ...) \/(a* + b' + c3 + ..)
æ3+y3 + z3+... """ ^/(a;a+/,+z, + ...) * °U ra r
et par conséquent
=5 dfc»V(«* + 6> + c- + ...) .
VINGT-DEUXIÈME LEÇON. *53
Pour s'assurer que les deux valeurs de u données par l’équation ( 1 a) sont un maximum et un minimum , il suffit d’observer qu’on aura toujours
j {ax 4- by 4- es -+• . , . . . ) 1 + (bx — aj) * + (c* — az) * + • ■ • 4* {py — b z) » + • • •
et par 6uite
à moins que les valeurs de », jr ne vérifient la formule (i i).
ti. Exemple. Supposons que , a , b t c , .... k désignant des quantités constantes , et x , y , a , ••• des variables assujetties à l’équation
ax *+• by 4" cz “1“ ••• = ^ »
on cherche le minimum de la fonction u = x' -\-y* + *• + . Daijs celte ^7P0' >
thèse, on obtiendra encore la formule (il) de laquelle on conclura
T - Vï ’
et par suite
(*4) tt‘ a3 + 63 + c3 + ...
Si les variables x , y , * , . ee réduisent à trois, et désignent des coordonnées rec¬
tangulaires , la valeur do y/7, donnée par l’équation (i4), représentera évidemment la plus courte distance de l’origine à un plan fixe.
5.° Exemple. Supposons que, a, b, c . k, p, q, r . désignant des cons¬
tantes positives .et », J des variables assujetties h l’équation
ax by + cz -f- ... = k ,
on cherche le maximum de la fonction
u — xPy‘,zr .
du dx..dy dz
On trouvera
a54 CALCUL DIFFÉRENTIEL,
et par suite on tirera de la formule (10)
JL — JL — ___ p + q + r+ ...
ax by cz k
Comme les valeurs précédentes de x , y, z , ... rendront du constamment nulle, et <fau constamment négative, elles fourniront un maximum de la fonction «.
4 * Exemple. Concevons que l’on cherche les demi-axes d’une ellipse ou d’une hyperbole rapportée à son centre et représentée par l’équation
Ax * -1- 2 Bxy -f- Cy * = K.
Chacun de ces demi-axes sera un maximum ou un minimum dn rayon vecteur r , mené de l’origine à la courbe, et déterminé par la formule r’ z=x' -{-y*. Cela posé, comme on aura
dr — ~ (xdx -4 • y dy) ,
on ne pourra faire évanouir dr qu’en supposant r = oo ou xdx -\-ydy = o . La première hypothèse ne peut être admise que pour une hyperbole. En admettant la seconde , on tirera de Ia*formule (îo)
Æ — r r> jï y K *
Ax+By Cy+Bx x(Ax+By)+y(Cy+Bx) K ’ r* x ' ra ~ y ’
Observons maintenant qu’à des valeurs réelles de r correspondront toujours des valeurs positives de r* , et que l’équation (i 5) fournira , pour ra, deux valeurs positives , si l’on a AK > o , AC — Z?a > o ; une seule, si l’on a AC Z?a < o . Effectivement, la courbe, étant une ellipse dans le premier cas, aura deux axes réels; tandis que, dans le second cas, elle se changera en hyperbole, et n’aura plus qu’un seul axe réel.
VINGT- TROISIÈME LEÇON
VINGT-TROISIÈME LEÇON
Développement des fonctions de plusieurs variables. Extension du théorème de Taylor, à ces mêmes fonctions.
Soit
une fonction de plusieurs variables indépendantes x , y , z . et posons , comme
dans la dix-neuvième Leçon ,
(a) F(a)='/(l + a</a!J + £!C(r) z + arfz,...).
La formule (8) de la page 70 donnera
0 désignant un nombre inférieur à l’unité. D’ailleurs, comme on l’a remarqué dans la dix-neuvième Leçon ,
seront des fontions de x, y, *,../et a, qui renfermeront les seules quantité* variables
(5) x + adx, y 4- xdf, z-4-arfz, etc..., et qui, pour « = o, se réduiront à
(6) F[o)=u, F'(o) = rfa, F"(o) = d*u , ... ^w(o) = dnu.
Donc , pour déduire de la différentielle totale dnu les valeurs de Fc">(a) et de F<n>(9x) , il suffira de remplacer dans cette différentielle les variables x , y , z , .... par les expressions (5) , ou par les suivantes
(7) x-\-Qctdx , y-\-Qa.dy} z-j-ôarf^, .
Si, pour abréger, on désigne par j£)„ la valeur de F^(ôa) ainsi obtenue, l’équation (3) , combinée avec les formules (2) et (6) , donnera
(8) f(x+QLdx,Y+xdY,z+ctdz,.,)=u+- du+ - d3u+.. + - - rd/,-'u+ — - - 0„.
Donc, si l’on attribue aox variables x , y , z , ... les accroissements
(9) A<r = acfo?, A yz=zudy} A z = ctrfz, etc...,
l’accroissement correspondant de la fonction uz=z f(x,y,z, ...) , savoir,
(10) Aa = /(*+A^+Ajr,I + A*,...)~/(^,î5...)
= f(x-{-a.dx,y-^-ady,z-\-<zdz,...) — ci,
pourra être développé suivant les puissances ascendantes de a à l’aide de la formule
(11) Att = — du 4- d7u 4- ... -f~ ~
Si l’on suppose en particulier » = 1 , alors , en faisant
du . du du
(12) — = ?(*, — =x(x,y,t,-) , — = ^/(x,y,z,...), etc...,
on trouvera
( 13) du = «p (xfy, z,...)dx 4- x (3, J, 2, • ) dy + ^ (*, j, z, ..,) dz 4- etc. . . ;
et les deux formules (8), (n) donneront respectivement
(14) f(x + adx, y+udy, « + a^,...) = u-|-a«0> ,
(15) Aa = a<0,,
«0, représentant le polynôme dans lequel se transforme le second membre de l’équation (i 3) , quand on y remplace x par x + Qxdx, y par / + * par
z 4- Qadz , etc .
Lorsque , dans la formule (8) , le produit
VINGT-TROISIÈME LEÇON
décroît indéfiniment pour des valeurs croissantes de n , alors, en posant n = cc on tire de cette formule
(17) f(x + *dx,y + «dy,z + a*,...) = a + y du + — <*’« + etc....
Concevons maintenant que l’on prenne a = 1. Les accroissements nas, t>y , 4s .... des variables indépendantes se réduiront b leurs différentielles dx , dy , di , ... , l’on pourra d’ailleurs considérer comme représentant des quantités finies quelconques > 1 . Alors aussi on tirera des formules (8) et (n)
, du , rf* u , , dn~lu t £)„
(18) f(x + dx.y + djrtz + dz,..)=u+ — + —+■•+ + ’
du d'u d"-'u , £>»
(19) Att = T4- — + 2.3... (fi-ï)" ‘ I.2.3...n '
^ étant ce que devient la différentielle totale quand on y remplace a: par
x + 0dx, jparj-f-Orfy, : par î + od:r.. Si l’on suppose en particulier »=l, on trouvera
(20) /(a+da;,y + rfy,z+dz, •••) *»•■•)
Ajoutons que, si £)„ s’approche indéfiniment de zéro pour des valeurs croissantes de n , les formules (18) et (19) entraîneront les suivantes
(ai)
f{x -4- dx,y -t- dy, s 4- = M -
rf’u
rf3M
-f-etc... ,
L’équation (2 1 ) , et celle qu’on en déduit, lorsqu’on y remplace x , y, z , . . . par zéro , puis dx, dy, dz,... par x,y, fournissent le moyen d’étendre les théorèmes
de Taylor et de Maclaurin , ou plutôt de Stirling*, aux fonctions de plusieurs variables.
’ M. Pcacock a remarqué que le théorème , généralement attribué au géomètre anglais Maclaurin , avait été donné, dès 1717, par son compatriote Stirling, dans l’ouvrage intitulé : Lineœ tertii ordinis Newtonien* .
Concevons à présent que , dans la formule (3) ou (8) , la quantité a devienne infiniment petite; il en sera de même de la différence
0»3) — FW(o)=^„- d"u ;
et, en désignant par p cette différence, c’est-à-dire, en posant
on conclura des formules (8), (n)
{*5)f{x+xdx,y+*df,z+xdz,..) = u+-du+—d’u+..+ - - — Tdn"u+ — — — (d'‘u+ 6),
(*6) Att = t + TT d‘“ + - + d~‘- +-rfbr + » •
S’il arrive que, pour certaines valeurs de x , y , z , ... les différentielles
(27) du , d*u , ... dn~lu s’évanouissent toutes , la formule (26) donnera simplement
(28) Au===— (d"a4-p) .
Si l’on suppose en particulier n= 1 , les équations (26) et (28) coïncideront avec la suivante
(29) ùui^=a(du-\-p) ,
et par conséquent avec la formule (3) de la seizième Leçon. Ajoutons que les formules (*8), (29) comprennent la théorie des maxima et minima des fonctions de plusieurs variables, et que le théorème i.er de la vingtième Leçon pourrait être immédiatement déduit de la formule (28).
NOTE SUR LA RÉSOLUTION DES ÉQUATIONS ALGÉBRIQUES ET TRANSC. 2 5g
