e Thêorême. Concevons que t La quantité i on pose

(4o) b = a + i, et (4i) y==-

ètant déterminée par La formule (34),

Soient d'ailleurs A la plus petite valeur numérique que puisse acquérir la fonction f\x) entre les limites x = a , x = a 4- 2 t , ef B , C les plus grandes valeurs numériques que puisse nt acquérir, entre les mêmes limites, les fonctions f"(x) ,

Si les rapports

iBi zCi* ’i.Ci'1

A * ~~Â ’ A ± iBi

restent, abstraction faite des signes, inférieurs à l'unité, la valeur numérique de ne surpassera pas celle du produit

et C équation, (i) admettra une racine réelle comprise non-seulement entre les limites a , a -}- 2 t , mais encore entre les limites b , b -f- zj.

Démonstration . Si, comme on le suppose, les valeurs numériques des rapports (42) restent inférieures à l’unité, les expressions (35) seront des quantités de même signe, et leurs valeurs numériques surpasseront le produit 2 Ci*. Donc, en vertu du théorème 4, l’équation (1) offrira une racine réelle, mais une seule, renfermée entre les limites a , a-\- 2t. De plus, en désignant par 0 un nombre inférieur à 1, et ayant égard à la formule (6) , on trouvera

(44) /(ft)=y(«+0=/(«)+f//W + ^/*(a)+TT

/"'(a+ôt),

puis on tirera de cette dernière, combinée avec les formules (4o), (40 »

/"'(a+QQ 3 /'(a+i)

/"(«+o /'"(«+eo ;

D’autre part , comme les valeurs numériques des quantités /"(a -f t) , f"\a + Oi) ne surpasseront pas les nombres B , C ; la valeur numérique de l’expression

NOTE SUR LA RÉSOLUTION

i3 /"(« + «) /'"(a+SQ 3 /'(a+0 /'(«+ 0

ne surpassera pas celle du produit

i aBt aCt»

il A A

inférieure elle-même , en vertu de l’hypothèse admise » à la fraction

Par suite, la valeur numérique de j ne surpassera pas celle du produit

ni , à plus forte raison , celle du produit

Donc la quantité 2 j sera renfermée entre les limites

2 2 Ci3 . 2 2 .

auxquelles on pourra substituer les deux suivantes

et la somme b -f- ij = a -f- i y entre les limites

par conséquent entre les quantités a , a -f- 2 1 . Donc , si l’on fait varier x entre les limites b, b y , les fonctions f'(x), f“(x), f"'{x) resteront [abstraction faite des signes] la première supérieure 5 A , la seconde inférieure h B , la troisième inférieure à C ; et les deux expressions

serout des quantités de même signe, dont les «leurs numériques, supérieures au plus petit des deux nombres x

A, A±*Bj>[i — ^A.

surpasseront, à plus forte raison, le produit

/ / \ 2C1* < - Ci1 < ■ • A .

(.47) J îai 121

Cela posé, on prouvera , par des raisonnements semblables à ceux à l’aide desquels on a établi le théorème 4, que la racine réelle déjà mentionnée est comprise entre les limites 6, 6 + 2.;.

Corollaire î." On voit , par ce qui précède , comment, étant donnée la valeur approchée a d’une racine de l’équation (î) , on peut, à l’aide de la formule (6) ou (54), obtenir de nouvelles valeurs approchées, et resserrer de plus en plus les limites entre lesquelles la racine se trouve comprise. C’est dans l’emploi de cette formule que consiste la méthode de Halley pour la résolution approximative des équations numériques. Il est bon d’observer que les différences entre la racine cherchée et ses deux premières valeurs approchées a , b , seront respectivement inférieures l’une à la valeur numérique de 2t , l’autre à la valeur numérique de a j , et à plus forte raison à celle du produit

Donc , si l’on désigne par p la valeur numérique de i , et celle de la quantité

les différences dont il s’agit ne surpasseront pas les nombrès

De même, si l’on nomme c , d , ... les troisième, quatrième . valeurs approchées

27o note sur la résolution

de la racine en question, elles n’en différeront que de quantités qui ne surpassetont pas les nombres

— i£-(psa)3 = 2pe8, (pe8.)* 3= a p •».?.- etc....

Donc les erreurs que l’on pourra commettre en substituant à la racine cherchée ses valeurs approchées successives

a , b , c , d , etc.,. ,

seront respectivement inférieures aux divers termes de la suite

(49) 2P> 2pc», 2pes , 2 ps’6, etc .

Ajoutons que ces termes se réduisent à

(50) Ae , A«3, Aeî>, Aea7 , etc...,

lorsqu’on y transporte la valeur de p tirée de l’équation (48) , en supposant £ positif, et faisant pour abréger

Concevons maintenant que le nombre c ne surpasse pas une unité décimale de l’ordre n , en sorte qu*on ait

Si l’on suppose d’ailleurs

tn désignant un nombre entier quelconque , les termes de la série (5o) seront respectivement inférieurs aux nombres

^ 1 jnzhm ^ 1 j5n±m ^ 1 n±m ^ 1 j 2çn±.m

etc....

Donc , parmi les chiffres qui suivront les unités de l’ordre m , si l’on a

ou les unités décimales de l’ordre m , si l’on a

(56) /r<(io)'",

•il! v ; jpv. ;> ...îH . àtf.': ;ri»;j .

le nombre de ceux sur lesquels on pourra compter sera égal à n dans la première valeur approchée de la racine réelle de l’équation (1) , à 3 n dans la seconde valeur approchée, à 9/1 dans la troisième, etc. Donc ce nombre sera triplé à chaque opé ration nouvelle.

les termes de la série (54) deviendront respectivement

« fer- fer fer f*r, «-'•

et par conséquent le nombre des décimales sur lesquelles on pourra compter sera triplé pour le moins à chaque opération nouvelle.

Corollaire 2." Il est bon d’observer encore que, si les conditions énoncées dans le 5.° théorème sont remplies , si d’ailleurs la fonction f"'(x) ne change pas de signe entre les limites x = a , x = a -4- 2 £ , la valeur de

déterminée par l’équation (45), sera une quantité affectée du même signe que le produit

Donc , si le rapport

est positif, les différences

seront des quantités de.même signe , et les valeurs approchées a, b , c, d , .... formeront une série croissante ou décroissante. Le contraire arriverait si le rapport (59) devenait négatif.

Des raisonnements semblables à ceux que nous avons développés ci - dessus suffiraient

NOTÉ Sim LA RÉSOLUTION

pour faire voir que les formules (7) et suivantes, appliquées à la détermination approximative des racines de l’équation (1), fournissent pour ces racines, et sous certaines con dilions , des valeurs approchées successives dans lesquelles le nombre des chiffres exacts est quadruplé, quintuplé, etc... , à chaque opération nouvelle.

Il nous reste à montrer de quelle manière on doit modifier les principes que nous venons d’exposer, pour les rendre applicables à la recherche des racines imaginaires des équations algébriques ou transcendantes. Nous établirons, à ce sujet, les propositions suivantes.

Lemme i.*r Si Con désigne par « , p , 7 , S quatre quantités réelles, la somme

(60) «7 + P* sera toujours comprise entre les limites

Démonstration. On aura identiquement

(62) («7+ft°T + («* — Pv)a — («a 4- P)(7J -H*) *

et par suite

(63) (a7 + P^)*= oa <(“,-i-P,)C7I,4"ôï)

Donc la valeur numérique de la somme

sera inférieure ou tout au plus égale au produit

et par conséquent cette somme sera renfermée entre les limites (61).

Scholie. On prouverait de même que la somme

(64) «*i + PP» + 7ï*4--

offre une valeur numérique inférieure ou tout au plus égale à celle du produit

(65) («>-i-p» + 7* + ...)*(a,a-4-Px’ + 7i*4--)î» 1

quelles que soient les valeurs réelles de * , p. » 7 , ••• “ V P* » Ÿ» * ***

DES ÉQUATIONS ALGÉBRIQUES ET TRANSCENDANTES. a73

Lemme 2. La somme de deux expressions imaginaires offre , ainsi que leur différence , un module compris entre la somme et la différence de leurs modules.

Démonstration. En effet soient

les expressions imaginaires proposées. Leur somme et leur différence

offriront pour modules les deux quantités

(68) 0a + Pa4a(a7 4^) -Ha + tfa]7> [«* + ?* — a(a7 + ^)4*7ï4'^’]ï>

qui, d’après le lemme 1.“, seront l'une et l’autre renfermées entre les deux limilcs

[ [a«4.p*-2 v/^+T7 1/7*+^+ 7* + *•]* = :£ Lv/o» 4- P7— vV 4-^] »

c’est-à-dire, entre la somme et la différence des modules des expressions (66).

Lemme 5. Si l'on désigne par a , $ , u , v des quantités réelles, et par 6 un nombre inférieur à l'unité , le module de l'expression imaginaire

(70) a4-®“4“ (P4- ®p) Vi

sera compris entre les modules des deux suivantes

(71) a4pv/ri> «4-M4- (P4-»)V/ri •

Démonstration. Comme le module de l'expression (70) , savoir ,

(72) «* 4Pa + aô(aa4£c)-Ha(a,4-üa)

peut être présenté sous la forme

[(tta + b *) 0 + au + a + («v - (3a)a

il est clair qu’il croît ou décroît constamment, tandis que l’on fait croître 0 entre les

NOTE SUR LA RESOLUTION

limites ô = o , fl= i. Donc la plus grande et la plus petite des valeurs qu’il reçoit alors sont celles qui correspondent à ces limites, c’est-à-dire, les modules des expressions (71).